资源简介

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章末复习　考法探究&素养提升
知识技能
1. 能用向量语言表述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．
2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系．
3. 能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理．
4. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、平行直线、平行平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．
思想方法
类比平面向量的“基本套路”，得出利用空间向量研究立体几何问题的一般方法，培养学生的理性精神与创新精神；通过向量法、坐标法与综合几何法的比较和选择，尝试从不同视角分析问题，感受数形结合的思想方法．
核心素养
通过本章内容的学习，重点提升逻辑推理、直观想象和数学运算素养(具体表现见表格)．
教学重点：用向量的方法解决空间图形的有关问题．
教学难点：用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；用向量方法解决线线、线面、面面的夹角及点线、线线、线面、面面的距离等计算问题．
一、 要点回顾
(一) 本章知识结构图
(二) 本章中涉及的数学核心素养
核心素养 在空间向量与立体几何中的具体表现
逻辑推理 在类比平面向量的过程中完成空间向量相关理论的建构，体会平面向量与空间向量的共性与差异．
直观想象 在对空间中点、线、面位置关系的研究和空间中的角与距离求解方法和探究过程中，借助几何直观发展空间想象能力．
数学运算 在判断空间位置关系和求解角与距离的过程中，选择合适的方法，生成解决一类问题的算法程序．
(三) 本章方法规律归纳
1. 空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则、三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广．
2. a·b＝0 a⊥b是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、运算律联系来解决垂直的论证问题．
3. 公式cos〈a, b〉＝是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两条异面直线所成的角(但要注意两条异面直线所成角与两条直线的方向向量的夹角在取值范围上的区别)；再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角．
4. 直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系．
5. 平面法向量的求法
(1) 几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直．
(2) 几何体中没有给出具体的有向线段，此时可采用待定系数法求平面的法向量，具体步骤如下：
① 建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为n＝(x, y, z)；
② 找出平面内的两个不共线的向量：p＝(a1, b1, c1), q＝(a2, b2, c2)；
③ 建立方程组　　
④ 解方程组，取其中一个解，即得n.
6. 用空间向量判断空间线面的位置关系
(1) 线线平行
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.
(2) 线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量的数量积为0.
(3) 线面平行
① 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
② 证明平面内某条直线的方向向量与已知直线的方向向量是共线向量；
③ 利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两个不共线的向量来线性表示直线的方向向量．
(4) 线面垂直
① 证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
② 利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
(5) 面面平行
① 证明两个平面的法向量平行；
② 利用面面平行的判定定理转化为线面平行、线线平行问题．
(6) 面面垂直
① 证明两个平面的法向量垂直；
② 利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直问题．
7. 运用空间向量求空间角
(1) 求两条异面直线所成的角
利用公式cos〈a, b〉＝，但务必注意两条异面直线所成角θ的范围是，故实质上应有cosθ＝|cos〈a, b〉|.
(2) 求直线与平面所成的角
① 先求出直线及直线在平面内射影的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成的角；
② 先求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝|cosφ|.
(3) 求二面角
① 利用平面角的定义，在两个平面内先求出与公共棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；
② 转化为求这两个平面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补.
8. 运用空间向量求距离
(1) 求点到平面的距离
先求点P与平面α内任意一点A连线的方向向量和平面α的法向量n，通过数量积求得两向量夹角的余弦值cos〈， n〉，再用||乘以|cos〈， n〉|可得点P到平面α的距离d.具体公式为d＝||·|cos〈， n〉|＝||·＝.
注：直线与其平行平面之间的距离、两平行平面之间的距离，都可以转化为点到平面的距离来求解．
(2) 求点到直线的距离
方法一：先求点P与直线l上任意一点A连线的方向向量和直线l的方向向量e，再通过数量积求得两向量夹角的余弦值cos〈， e〉＝，则点P到直线l的距离为d＝||·sin〈， e〉.
方法二：已知A为直线l上一点，先在点P和l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，再通过数量积求得与n夹角的余弦值cos〈， n〉＝，从而点P到直线l的距离为d＝||·|cos〈， n〉|＝.
二、 考法探究
考法1　空间向量及其运算
例1　已知P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD, M, N分别为PC, PD上的点，且＝2， ＝，求满足＝x＋y＋z的实数x, y, z的值．[1]
(见学生用书课堂本P26)
[处理建议]　结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用， ， 表示出来，即可求出x, y, z的值．
[规范板书]　解法一　如图(1)，取PC的中点E，连接NE, AC，则＝－.
　　　　　　
例1(1)
因为＝＝＝－，
＝－＝－＝＝(－)＝(＋－)，
所以＝－
＝－－(＋－)
＝－－＋，
所以x＝－， y＝－， z＝.
解法二　如图(2)，在PD上取一点F，使＝2，连接MF，则＝＋.
例1(2)
因为＝＝－，　
＝－＝－＝＝(－)，
所以＝－－＋，
所以x＝－，y＝－，z＝.
解法三　＝－＝－＝(＋)－(＋)＝－＋－(－＋＋)＝－－＋，
所以x＝－， y＝－， z＝.
[题后反思]　选择空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功．要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解．空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量可以表示出空间任意一个向量，而且系数是唯一的．
题组训练
1. 在空间四边形OABC中，G, H分别是△ABC, △OBC的重心．设＝a, ＝b, ＝c，那么向量＝－a.(用向量a, b, c表示)
2. 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设＝a, ＝b, ＝c, M, N, P分别是AA1, BC, C1D1的中点，试用a, b, c表示下列向量：
(第2题)
(1) ；　(2) ；　(3) ＋.
解　(1) 因为P是C1D1的中点，
所以＝＋＋
＝a＋＋
＝a＋c＋
＝a＋c＋b.
(2) 因为N是BC的中点，
所以＝＋＋
＝－a＋b＋
＝－a＋b＋
＝－a＋b＋c.
(3) 因为M是AA1的中点，
所以＝＋
＝＋
＝－a＋
＝a＋b＋c.
又＝＋＝＋
＝＋a＝c＋a，
所以＋＝＋＝a＋b＋c.
[题后反思]　用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则；向量加法的平行四边形法则在空间中也成立．
3. (根据教材P15第6题改编)已知A, B, C三点不共线，平面ABC外一点O，问：在下列条件下，点P是否一定与A, B, C共面？
(1) ＝＋＋；
(2) ＝2－2－.
解　(1) 原式变形为＝＋(＋)＋(＋)＝＋＋，所以由共面向量定理的推论知P与A, B, C共面．
(2) 原式变形为＝2－2(＋)－(＋)＝－－2－，所以P与A, B, C不共面．
[题后反思]　点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P, A, B, C四点共面，只要能证明＝x＋y，或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可．以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的必要条件．
考法2　空间向量的数量积
例2　如图，在 ABCD中，AB＝AC＝1, ∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角，求点B, D之间的距离．[2]
(见学生用书课堂本P27)
　?　
(例2)
[规范板书]　解　因为∠ACD＝90°，所以·＝0.　
同理·＝0.
因为AB和CD成60°角，所以〈·〉＝60°或120°.
因为＝＋＋，
所以 2＝2＋ 2＋2＋2·＋　2·＋2·
＝2＋2＋2＋2B·
＝3＋2×1×1×cos〈， 〉，
所以||＝2或，即B, D间的距离为2或.
[题后反思]　用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求两条异面直线所成的角，求两点间的距离或线段的长度以及证明线线垂直、线面垂直等典型问题．
(1) 求向量m和n所成的角：首先应选择合适的基底，将目标向量m和n用该组基底表示出来，再求其自身的数量积及长度，最后利用公式cos〈m, n〉＝.
(2) 由于线段的长度是实数，实数与向量之间如何转化，是常见的思维障碍．向量性质中的|a|2＝a·a提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可将线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题．
题组训练
1. 已知向量a＝(x, 4, 1), b＝(－2, y, －1), c＝(3, －2, z)．若a∥b, b⊥c，则a＋c与b＋c所成角的余弦值为－.
2. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E, F分别为D1D, BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点．
(1) 求异面直线EF与C1G所成角的余弦值；
(2) 求FH的长．
解　如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，则有E， F， C1(0, 1, 1), G.
(第2题)
(1) ＝， ＝，
所以||＝， ||＝，
·＝0×－×＋1×＝，
所以cos〈， 〉＝＝.
所以异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
(2) 由点F， H，
知＝，
所以||＝＝，
即FH的长为.
3. 如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.
(第3题)
(1) 求证：C1C⊥BD；
(2) 当的值为多少时，A1C⊥平面C1BD
解　(1) 设＝a, ＝b, ＝c, |a|＝|b|＝r, |c|＝t，
则a·b＝r2, a·c＝rt, b·c＝rt.
而·＝·(－)＝－c·(b－a)＝a·c－b·c＝rt－rt＝0，
所以C1C⊥BD.
(2) 由题意及(1)知＝＋＋＝－－－＝－(a＋b＋c), ＝－＝a－c, ＝－＝b－c.
因为A1C⊥平面C1BD，
所以即
所以
即
得r2－rt－t2＝0，解得r＝t.
因此，当＝1时，A1C⊥平面C1BD.
[题后反思]　当空间图形不适合建立空间直角坐标系时，一般选用基向量法．
考法3　用空间向量求空间角
例3　如图，已知三棱锥O ABC的侧棱OA, OB, OC两两垂直，且OA＝1, OB＝OC＝2, E是OC的中点．
(例3)
(1) 求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
(2) 求二面角A BE C的余弦值．[3]
(见学生用书课堂本P28)
[规范板书]　解　(1) 如图，以O为坐标原点，OB, OC, OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O xyz，
(例3答图)
则知点A(0, 0, 1), B(2, 0, 0), C(0, 2, 0), E(0, 1, 0)，
所以＝(2, －1, 0), ＝(0, 2, －1)，
所以cos〈，〉＝＝－.
由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是.
(2) ＝(2, 0, －1), ＝(0, 1, －1)．
设平面ABE的一个法向量为n1＝(x, y, z)，
则由n1⊥， n1⊥，得
令x＝1，则n＝(1, 2, 2)．
易知平面BEC的一个法向量为n2＝(0, 0, 1)，
所以cos〈n1, n2〉＝＝＝.
由于二面角A BE C的大小是n1与n2的夹角的补角，所以其余弦值是－.
[题后反思]　(1) 两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得，即cosθ＝|cosφ|；
(2) 直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sinθ＝|cosφ|；
(3) 二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角．
题组训练
1. 在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2, AA1＝1，则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.
2. 如图，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE, AB＝AE, DB＝DE, ∠BAE＝∠BDE＝90°.
(第2题)
(1) 求异面直线AB与DE所成角的大小；
(2) 求二面角BAEC的余弦值．
解　设BE的中点为O，连接AO, DO.
由于AB＝AE, BO＝OE，
所以AO⊥BE.同理DO⊥BE.
又因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，所以AO⊥平面BCDE，所以AO⊥OD.
由题意得BE2＝2AB2＝2DB2，所以AB＝BD＝DE＝AE.
(1) 不妨设OA＝a，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则知点A(0, 0, a), B(0, －a, 0), C(a, －2a, 0), D(a, 0, 0), E(0, a, 0)．
(第2题答图)
所以＝(0, －a, －a), ＝(－a, a, 0)．
因为cos〈， 〉＝＝＝－，
所以与的夹角为120°，
所以异面直线AB与DE所成角的大小为60°.
(2) 设平面ACE的一个法向量为n1＝(x, y, z)．
由(1)知＝(0, a, －a), ＝(a, －3a, 0)，
而所以取y＝z＝1，得x＝3，所以n1＝(3, 1, 1)．
易知平面ABE的一个法向量为n2＝(1, 0, 0)．
设二面角BAEC的大小为θ，则cosθ＝＝＝.
因此，二面角BAEC的余弦值为.　
3. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC, AB＝3, AC＝4.动点P满足＝λ(λ＞0)，且当λ＝时，AB1⊥BP.　
(第3题)
(1) 求棱CC1的长；
(2) 若二面角B1ABP的大小为，求λ的值．
解　(1) 以A为坐标原点，AB, AC, AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图)．
(第3题答图)
设CC1＝m，则知点B1(3, 0, m), B(3, 0, 0), P(0, 4, λm)，　
所以＝(3, 0, m), ＝(3, －4, －λm), ＝(3, 0, 0)．
当λ＝时，有·＝(3, 0, m)·＝0，解得m＝3.
即棱CC1的长为3.
(2) 设平面PAB的一个法向量为n1＝(x, y, z)，
则所以
即
令z＝1，则y＝－，所以n1＝.
易知平面ABB1的一个法向量为n2＝(0, 1, 0)．
因为二面角B1ABP的大小为，
所以|cos〈n1，n2〉|＝＝，结合λ＞0，解得λ＝.
考法4　用空间向量求距离
例4　如图，边长为2的等边三角形ABC所在的平面与菱形A1ACC1所在的平面互相垂直，A1C＝AC1, M为线段AC的中点．
,(例4))
(1) 求证：平面BMC1⊥平面A1BC1；
(2) 求点C到平面A1BC1的距离．[4]
(见学生用书课堂本P29)
[处理建议]　(1) 首先根据四边形A1ACC1为菱形，A1C＝AC1得到△ACC1为等边三角形，从而易证AC⊥C1M, AC⊥BM，得到AC⊥平面BMC1.又因为AC∥A1C1，所以A1C1⊥平面BMC1，再利用面面垂直的判定定理即可得到平面BMC1⊥平面A1BC1.
(2) 首先根据平面A1ACC1⊥平面ABC，且C1M⊥AC得到C1M⊥平面ABC，再以点M为原点，MB, MC, MC1所在直线分别为x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系，最后利用向量法求解点到平面的距离．
[规范板书]　(1) 证明　因为四边形A1ACC1为菱形，所以A1C⊥AC1.
又因为A1C＝AC1，所以∠ACC1＝60°，故△ACC1为等边三角形．
因为AC1＝CC1, M为线段AC的中点，所以AC⊥C1M.　
因为AB＝BC, M为线段AC的中点，所以AC⊥BM.　
又因为C1M∩BM＝M，所以AC⊥平面BMC1.
又因为AC∥A1C1，所以A1C1⊥平面BMC1.
又因为A1C1 平面A1BC1，所以平面BMC1⊥平面A1BC1.
(2) 解　因为平面A1ACC1⊥平面ABC，且交线为AC，而C1M⊥AC，所以C1M⊥平面ABC.
以点M为原点，MB, MC, MC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则知点C(0, 1, 0), B(， 0, 0), C1(0, 0, ), A1(0, －2, )，则＝(0, 2, 0), ＝(－， 0, ), ＝(0, －1, )．
(例4答图)
设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x, y, z)，
则令x＝1，则n＝(1, 0, 1)．
所以点C到平面A1BC1的距离d＝＝＝.　
[题后反思]　第(1)问考查面面垂直的判定；第(2)问考查运用向量法求点到平面的距离，同时考查计算能力，关键在于理解平面法向量的作用．
题组训练
1. 如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2, AB＝BC＝1，动点P, Q分别在线段C1D, AC上，则线段PQ长度的最小值是(C)
(第1题)
A. B.
C. D.
提示　建立如图所示的空间直角坐标系，则知点A(1, 0, 0), B(1, 1, 0), C(0, 1, 0), C1(0, 1, 2)．设点P的坐标为(0, λ， 2λ), λ∈[0, 1]，点Q的坐标为(1－μ， μ， 0), μ∈[0, 1], 则PQ＝
＝
＝，
(第1题答图)
当且仅当λ＝， μ＝时，线段PQ的长度取得最小值.
2. 在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2, AD＝1, F, G分别是AB, CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为.
提示　以D为原点，DA, DC, DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则知点D1(0, 0, 2), G(0, 2, 1), F(1, 1, 0), 所以＝(－1, －1, 2), ＝(－1, 1, 1), 所以点D1到直线GF的距离为
(第2题答图)
d＝||·
＝×＝.
3. 如图，在三棱锥S ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC, SA＝SC＝2， M, N分别为AB, SB的中点．求点B到平面CMN的距离．
(第3题)
解　如图，取AC的中点O，连接OS, OB.
(第3题答图)
因为SA＝SC, AB＝BC, 所以AC⊥SO, AC⊥BO.　
因为平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，所以SO⊥平面ABC.又因为BO 平面ABC, 所以SO⊥BO.　
以{， ， }为正交基底建立空间直角坐标系O xyz，
则知点B(0, 2， 0), C(－2, 0, 0), S(0, 0, 2), M(1, ， 0), N(0, ， )，
所以＝(3, ， 0), (－1, 0, ), ＝(－1, ， 0)．设n＝(x, y, z)为平面CMN的一个法向量，则取z＝1，则x＝， y＝－， 所以n＝(， －， 1)．
所以点B到平面CMN的距离d＝＝＝.
4. 如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝3, AB＝BC＝2, E, F分别为棱BC, B1C1的中点．
(第4题)
(1) 求证：平面BD1F∥平面C1DE；
(2) 求平面BD1F与平面C1DE之间的距离．
解　(1) 如图，分别以DA, DC, DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则知点D(0, 0, 0), C(0, 2, 0), D1(0, 0, 3), C1(0, 2, 3), B1(2, 2, 3), B(2, 2, 0), E(1, 2, 0), F(1, 2, 3)，　
(第4题答图)
所以＝(1, 2, 0), ＝(1, 2, 0), 　
所以∥， 所以D1F∥DE.
又因为＝(－1, 0, 3), ＝(－1, 0, 3)，
所以∥， 所以BF∥EC1.
所以平面BD1F∥平面C1DE.
(2) 由(1)可知平面BD1F与平面C1DE之间的距离等于点D1到平面C1DE的距离．
设平面C1DE的一个法向量为n＝(x, y, z)，
由得令x＝6，得y＝－3, z＝2，所以n＝(6, －3, 2)．
而＝(0, 2, 0)，所以点D1到平面C1DE的距离为
d＝＝＝，
所以平面BD1F与平面C1DE之间的距离为.
考法5　空间向量在立体几何中的应用
例5　如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.
(例5)
(1) 求证：PA∥平面EDB；
(2) 求证：PB⊥平面EFD；
(3) 求二面角C PB D的大小．[5]
(见学生用书课堂本P31)
[规范板书]　解　(1) 连接AC，交BD于点G，连接EG.以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.设DC＝a，则知点A(a, 0, 0), P(0, 0, a), E， G，
(例5答图)
所以＝(a, 0, －a), ＝，
所以＝2，则PA∥EG.而EG 平面EDB且PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.
(2) 依题意得点B(a, a, 0)，所以＝(a, a, －a)．　
而＝，
故·＝0＋－＝0，所以PB⊥DE.
又因为EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD.
(3) 设点F的坐标为(x0, y0, z0), ＝λ，
则(x0, y0, z0－a)＝λ(a, a, －a)，
从而x0＝λa, y0＝λa, z0＝(1－λ)a，
所以＝＝.
由EF⊥PB知·＝0，
即－λa2＋a2－a2＝0，
解得λ＝.
所以点F的坐标为，
且＝，
＝，
所以·＝－－＋＝0，
即PB⊥FD，
故∠EFD即为二面角C PB D的大小．
因为·＝－＋＝，
且||＝ ＝a，
||＝ ＝a，
所以cos∠EFD＝＝＝，
所以∠EFD＝60°，即二面角C PB D的大小为60°.
[题后反思]　(1) 证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．
(2) 证明线面平行的方法：
① 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
② 证明平面内某条直线的方向向量与已知直线的方向向量共线；
③ 利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．
(3) 证明面面平行的方法：
① 转化为线线平行、线面平行处理；
② 证明这两个平面的法向量是共线向量．
(4) 证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量的数量积为0.
(5) 证明线面垂直的方法：
① 证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；
② 证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．
(6) 证明面面垂直的方法：
① 转化为线线垂直、线面垂直处理；
② 证明两个平面的法向量互相垂直．
题组训练
1. 如图，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB∥CD, ∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1, M是PB的中点．
(第1题)
(1) 求证：平面PAD⊥平面PCD；
(2) 求异面直线AC与PB所成角的余弦值；
(3) 求平面AMC与平面BMC所成角的余弦值．
解　建立如图所示的空间直角坐标系，则知点A(0, 0, 0), D(1, 0, 0), P(0, 0, 1), B(0, 2,0 ), C(1, 1, 0), M.
(1) 因为＝(0, 0, 1), ＝(0, 1, 0)，故·＝0, 所以AP⊥DC.
由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥平面PAD.
而DC 平面PCD，故平面PAD⊥平面PCD.
(2) 因为＝(1, 1, 0), ＝(0, 2, －1)，
所以||＝， ||＝， ·＝2，
所以cos〈， 〉＝＝.
所以异面直线AC与PB所成角的余弦值为.
(3) ＝， ＝(1, 1, 0), ＝(1, －1, 0), ＝.
设平面AMC的一个法向量为n1＝(x1, y1, z1)，则所以取x1＝1，得y1＝－1, z1＝2，故n1＝(1, －1, 2)．
设平面BMC的一个法向量为n2＝(x2, y2, z2)，则所以取x2＝1，则y2＝1, z2＝2，所以n2＝(1, 1, 2)．
因为cos〈n1, n2〉＝＝＝，
所以平面AMC与平面BMC所成角的余弦值为.
2. 如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD, AB＝AP＝2, E为棱PD的中点．
(第2题)
(1) 求证：CD⊥AE；
(2) 求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；
(3) 求点A到平面PBD的距离．
解　(1) 因为PA⊥底面ABCD，而CD 底面ABCD，所以PA⊥CD.
因为AD⊥CD, PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.
因为AE 平面PAD，所以CD⊥AE.
(2) 以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，可知点B(2, 0, 0), C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1)．所以＝(0, 1, 1), ＝(－2, 2, 0), ＝(2, 0, －2)．　
(第2题答图)
设平面PBD的一个法向量为n＝(x, y, z)，
则即
令y＝1，可得n＝(1, 1, 1)．
所以|cos〈， n〉|＝＝，故直线AE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3) 由(2)知＝(0, 1, 1)，平面PBD的一个法向量为n＝(1, 1, 1), 所以点A到平面PBD的距离为d＝＝＝.
3. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝1, E为CD的中点．
(第3题))
(1) 求证：B1E⊥AD1.
(2) 在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由．
(3) 若二面角AB1EA1的大小为30°，求AB的长．
解　以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图．设AB＝a，则知点A(0, 0, 0), D(0, 1, 0), D1(0, 1, 1), E， B1(a, 0, 1)，故＝(0, 1, 1), ＝， ＝(a, 0, 1), ＝.　
(第3题答图))
(1) 因为·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以B1E⊥AD1.
(2) 假设在棱AA1上存在一点P(0, 0, z0)，使得DP∥平面B1AE，此时＝(0, －1, z0)．
设平面B1AE的一个法向量为n＝(x, y, z)．
由得
令x＝1，则n＝.
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，故有－az0＝0，解得z0＝.
又因为DP 平面B1AE, 所以在棱AA1上存在一点P，使得DP∥平面B1AE，此时AP＝.
(3) 连接A1D, B1C.由长方体ABCD A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.
因为B1C∥A1D, 所以AD1⊥B1C.
又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，
所以AD1⊥平面DCB1A1，
所以是平面A1B1E的一个法向量．
设与n所成的角为θ，
则cosθ＝＝.
又因为二面角A B1E A1的大小为30°，
所以|cosθ|＝cos30°，即＝，
解得a＝2，即AB的长为2.
二、 课堂小结
1. 空间向量及其运算，运用向量的方法解决有关空间直线及平面的平行、垂直、夹角和距离等问题．
2. 利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤：
[1] 考查空间向量的加法与减法法则的运用．
[2] 空间中两点之间的距离可看作向量的模长，进而运用空间向量的数量积的性质求解向量的模长．
[3] 抓住直线的方向向量，以空间向量的坐标运算为工具，即可解决异面直线所成的角的问题；抓住平面的法向量，以空间向量的坐标运算为工具，即可解决二面角的大小问题．
[4] 面面垂直的判定，可利用立体几何中相关性质判定，也可利用空间向量法判定；点到平面的距离的求解，可结合平面的法向量，运用空间向量法按照程序求解．
[5] 运用空间向量法判定线面的平行、垂直关系；运用空间向量法求解二面角的大小，一般抓住两个平面的法向量的夹角求解，其实，还可以运用向量数量积的性质找到两个半平面所成的角，进而求解．
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