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第 11课时 空间距离的计算(1)
知识技能
1. 了解各种距离的定义．
2. 能用空间向量法求点到平面的距离．
3. 能将两平行平面之间的距离和直线与其平行平面之间的距离转化为点
到平面的距离．
思想方法
利用空间向量的坐标表示把向量问题转化为代数运算，沟通了几何与代数的
联系，体现了数形结合的思想；利用化归的方法将直线与其平行平面、两平行平
面之间的距离转化为点到平面的距离．
核心素养
在借助具体几何体发现空间中的各种距离的过程中，提升数学抽象素养；在
利用空间向量法求距离的过程中，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养．
教学重点：各种距离的定义，点到平面的距离公式的推导和应用．
教学难点：点到平面的距离公式的推导和应用．
问题导引
预习教材 P35～36，思考下面的问题：
1. 空间中有哪些类型的距离？
2. 上一题中那些距离之间有无关系？能否转化？
即时体验
1. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1, E为 AB的中点．
(1) D1 E 3＝ ；
2
(2) 2点 E到平面 A1DCB1的距离为 ；
2
(3) 直线 AB到平面 A1DCB 21的距离为 ；
2
(4) 平面 A1C1D 3与平面 B1AC的距离为 .
3
一、 问题情境
问题 1 如图 1，已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，请找一找里面蕴
藏了哪些距离问题？
(图 1)
解 在此正方体中，我们可以发现 7种距离，分别为：两点之间的距离、点
到直线的距离、点到平面的距离、两条平行直线之间的距离、两条异面直线之间
的距离、直线和平面的距离、两个平行平面之间的距离.
问题 2 你能借助上面的正方体模型，对下列问题进行填空吗？
(1) 点 A1与点 C之间的距离为 3 ；
(2) 点 A到 B1C1的距离为 2 ；
(3) 点 A到平面 A1B1C1D1的距离为_1__；
(4) AD与 B1C1的位置关系为平行，AD与 B1C1的距离为 2 ；
(5) AA1与 BC的位置关系为异面，AA1与 BC的距离为_1__；
(6) AA1与平面BCC1B1的位置关系为平行，AA1与平面BCC1B1的距离为_1__；
(7) 平面 ADD1A1与平面 BCC1B1的位置关系为平行，平面 ADD1A1与平面
BCC1B1的距离为_1__.
问题 3 在上述问题中，我们已经能够解决“(1)两点之间的距离问题(答案
为 3)”，对于其他问题，该如何求解呢？为了研究这些距离问题，能否将这些
距离加以定义？
二、 数学建构
距 离 文字语言 图形表示
以这两点为端点的线段的
1. 两点之间距离
长度就是这两点之间的距
离.
从直线外一点引一条直线
的垂线，这一点和垂足之
2. 点到直线的距离
间的距离叫作这一点到这
条直线的距离.
从平面外一点引平面的垂
线，这个点和垂足之间的
3. 点到平面的距离
距离叫作这个点到这个平
面的距离.
两条平行线之间的公垂线
4. 两条平行直线之间的
段的长叫作两条平行线之
距离
间的距离.
和两条异面直线分别垂直
相交的直线叫作两条异面
5. 两条异面直线之间的 直线的公垂线；公垂线上
距离 夹在两条异面直线之间的
线段的长度叫作两条异面
直线之间的距离.
一条直线和一个平面平
行，这条直线上任意一点
6. 直线和平面的距离 到这个平面的距离叫作这
条直线和这个平面的距
离.
和两个平行平面同时垂直
的直线叫作这两个平行平
7. 两个平行平面之间的 面的公垂线，夹在两个平
距离 行平面之间的公垂线段的
长叫作这两个平行平面之
间的距离.
问题 4 如何利用空间向量解决这些距离问题呢？
我们知道，空间两条平行直线之间的距离、一条直线到与它平行的平面的距
离、两个平行平面之间的距离，可以转化为点到直线的距离或点到平面的距离．
因此，我们只需着力研究用向量的方法求点到直线的距离及点到平面的距离
问题即可．
首先来研究点到平面的距离．
如图 2, P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为 O, A为平面α内任意一点，设 n
→
为平面α的法向量，则A→P·n＝|A→P|·|n|·cosθ θ A→P n |A→P|cosθ AP·n，其中 ＝〈 ， 〉，从而 ＝ .
|n|
(图 2)
|A→P·n|
因为|A→P|cosθ的绝对值即为点 P到平面α的距离 d，所以 d＝ .
|n|
三、 数学运用
例 1 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，求点 B到平面 B1CD1的距
离．[1]
(见学生用书课堂本 P21)
[处理建议] 将点到平面的距离转化为斜线在平面法向量上的投影向量的
长度．
[规范板书] 解 以{D→A， D→C， D→D1}为单位正交基底建立如图所示的空间
直角坐标系 D xyz，则知点 B(1, 1, 0), C(0, 1, 0), B1(1, 1, 1), D1(0, 0, 1)，所以D→1B1＝
(1, 1, 0), C→B ＝(1, 0, 1), B→1 C＝(－1, 0, 0).
(例 1)
n·D→1B1＝0，
设平面 B1CD1 的一个法向量为 n ＝ (x, y, z)，则 即
n·C→B1＝0，
x＋y＝0，
令 x＝－1，则 y＝1, z＝1.所以 n＝(－1, 1, 1)．
x＋z＝0，
→
因为 n·B→C＝1, |n| 3 B |BC·n| 3＝ ，所以点 到平面 B1CD1的距离为 d＝ ＝ .
|n| 3
[题后反思] 本题也可以利用综合几何法(定义法或等积法)来求解，你能比
较这几种方法，说说它们各自的优点吗？
已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2, E, F, G分别是 C1C, D1A1,
AB的中点，求点 A到平面 EFG的距离．
(变式)
[规范板书] 解 以 D为坐标原点，DA, DC, DD1所在直线分别为 x轴、y
轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz，则知点 A(2, 0, 0), E(0, 2, 1), F(1,
0, 2), G(2, 1, 0)．
→
所以AG＝(0, 1, 0), G→E ( 2, 1, 1), G→＝ － F＝(－1, －1, 2)．
设 n＝(x, y, z)是平面 EFG的一个法向量，点 A到平面 EFG的距离为 d，
n·G→E＝0， －2x＋y＋z＝0， x＝z，
则 即 所以 令 z＝1，此时 n＝(1,
n·G→F＝0， －x－y＋2z＝0， y＝z.
|A→1, 1) d G·n| 1 3，所以 ＝ ＝ ＝ ，即点 A到平面 EFG 3的距离为 .
|n| 3 3 3
[题后反思] 若改为求点 B到平面 EFG的距离，应如何求解？你能发现点 A
与点 B到平面 EFG的距离之间有何关系吗？
例 2 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1, M, N分别是 BB1,B1C1的中
点．
(例 2)
(1) 求直线 MN到平面 ACD1的距离；
(2) 若 G是 A1B1的中点，求平面 MNG与平面 ACD1的距离．[2]
(见学生用书课堂本 P22)
[处理建议] 根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的
方向向量和平面的法向量，再利用公式运算求解.
[规范板书] 解 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则知点 A(1, 0, 0),
1 1 1， 1， ， 1， 1
D (0, 0, 1), C(0, 1, 0), M 2 ， N 2 ， 所以A→1 D1＝(－1, 0, 1), M→N
1
－ ， 0 1，
＝ 2 2 1， 所以M→N＝ A→D1.
2
(例 2答图)
因为直线 MN与 AD1不重合，所以 MN∥AD1. 又因为 MN 平面 ACD1,AD1
平面 ACD1，所以 MN∥平面 ACD1.故直线 MN到平面 ACD1的距离等于点 M
到平面 ACD1的距离．
A→C＝(－1, 1, 0), A→D1＝(－1, 0, 1)．
m·A→D1＝0，
设平面 ACD1 的一个法向量为 m＝ (x, y, z)，所以 即
m·A→C＝0，
－x＋z＝0，
令 x＝1，得 y＝z＝1，所以 m＝(1, 1, 1)．
－x＋y＝0，
0 1 1→ ， ，AM 2 1 5因为 ＝ ， 所以|A→M|＝ 1＋ ＝ .而|m|＝ 3，所以点 M到
4 2
→ 1
ACD |m·AM|
1＋
平面 1的距离为 ＝ 2 3＝ ，即直线 MN 3到平面 ACD1的距离为 .
|m| 3 2 2
(2) 连接 A1C1，因为 G, N分别为 A1B1,B1C1的中点，所以 GN∥A1C1.又因为
A1C1∥AC，所以 GN∥AC.
因为 GN 平面 ACD1,AC 平面 ACD1，所以 GN∥平面 ACD1.
同理可得 MN∥平面 ACD.
因为 MN∩GN＝N, MN, GN 平面 MNG, 所以平面 MNG∥平面 ACD1，
所以平面MNG与平面 ACD1的距离即为直线MN到平面 ACD1的距离，由(1)
3
知其为 .
2
[题后反思] 将线面距、面面距转化为点面距，体现了转化与化归的思想方
法，能有效提升学生的逻辑推理素养．
如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E, F分别为BB1,CC1
1
的中点，DG＝ DD1，过点 E, F, G的平面交 AA1于点 H，求 D1A1到平面 EFGH
3
的距离．
(变式)
[处理建议] 先证明 D1A1∥平面 EFGH，再把线面距转化为点面距，最后利
用空间向量来求解．
[规范板书] 解 因为 E, F分别为 BB1,CC1的中点，所以 EF∥B1C1∥A1D1.
又因为 A1D1 平面 EFGH, EF 平面 EFGH，所以 A1D1∥平面 EFGH.
(变式答图)
所以 D1A1到平面 EFGH的距离即为点 D1到平面 EFGH的距离．
以 D为坐标原点，DA, DC, DD1所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间
1 1 1 0 1 1 0 0 1， ， ， ， ， ，
直角坐标系 D xyz，则知点 E 2 ，F 2 ，G 3 ，D1(0,
0 1 1， － ， －
0, 1)，所以E→F＝(－1, 0, 0), F→G＝ 6 .
设平面 EFGH的一个法向量为 n＝(x, y, z)，
n·E→F －x＝0，＝0，
则 即 1 令 z＝6，可得 n＝(0, －1, 6)．
n·F→G 0 －y－ z＝0，＝ ， 6
1
D A →
0， 1， －
设 1 1到平面 EFGH的距离为 d，连接 D1F.因为D1F＝ 2 ，所
|D→d 1F·n| |－1－3| 4 37 D A 4 37以 ＝ ＝ ＝ ，故 1 1到平面 EFGH的距离为 .
|n| 37 37 37
四、 课堂练习
1. 已知点 A(2, 3, 1), B(4, 1, 2), C(6, 3, 7), D(－5, －4, 8)，则点 D到平面 ABC
49 17
的距离为 .
17
提示 设平面 ABC → →的一个法向量为 n＝(x, y, z)，而AB＝(2, －2, 1), AC＝(4,
n·A→B＝0， 2x－2y＋z＝0，
0, 6)，则 即 取 z＝1，则 x 3＝－ ， y＝1，所以
n·A→C＝0， 4x＋6z＝0， 2
3
－ ， －1， 1
n＝ 2 . →又因为AD＝(－7, －7, 7), 所以点D到平面 ABC的距离为 d
|A→D·n| 49 17
＝ ＝ .
|n| 17
2. 如图，在棱长为 a的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E, F分别是 BB1,CC1的
2 5
中点，则直线 AD与平面 A1EFD1的距离为 a.
5
(第 2题)
提示 如图，建立空间直角坐标系 D xyz，则知D→A＝(a, 0, 0), D→1A1＝(a, 0, 0),
所以 DA∥D1A1.
而 D1A1 平面 A1EFD1,DA 平面 A1EFD1，
所以 DA∥平面 A1EFD1.
所以直线 AD与平面 A1EFD1的距离即为点 D到平面 A1EFD1的距离．
0 a a， ，
因为点 D1 的坐标为 (0, 0, a) →，点 F 的坐标为 2 ， 所以D1F＝
0 a a a， ， － → 0， a，2 ， DF＝ 2 .
n·D→1F＝ay a－ z＝0，
2
设 n＝(x, y, z)为平面 A1EFD1的一个法向量，则 所
n·D→1A1＝ax＝0，
x＝0， 1
以 y 1
0， ， 1
z 取 z＝1，则 n＝ ， ＝ 2 .
2
|1a 1＋ a|
|D→F·n| 2 2 2 5
所以点 D到平面 A1EFD1的距离 d＝ ＝ ＝ a，
|n| 1＋1 5
4
所以直线 AD到平面 A1EFD 2 51的距离为 a.
5
3. 上题中，若取 G, H分别为 A1A, D1D的中点，则平面 GBCH到平面 A1EFD1
5
的距离为 a.
5
提示 平面 GBCH∥平面 A1EFD.
五、 课堂小结
1. 点到平面的距离的定义：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足之
间的距离．
2. 点到平面的距离的向量解法：
如图，已知 AB为平面α的一条斜线段，n 为平面α的一个法向量，则点 B到
→
平面α的距离为|B→O| |AB ·n|＝ .
|n|
故求点 P到平面α的距离分三个步骤：
① 在平面α内取一点 A，确定向量P→A的坐标表示；
② 确定平面α的一个法向量 n；
d |P
→A·n|
③ 代入公式 ＝ 求解．
|n|
[1] 体会利用空间向量求点到平面距离的一般方法．
[2] 体会利用空间向量求直线与其平行平面的距离、两平行平面之间的距离
的一般方法．

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