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第12课时　空间距离的计算(2)
知识技能
1. 能用空间向量法求点到直线的距离．
2. 能用空间向量法综合求解空间中的角与距离．
思想方法
利用空间向量把综合几何法中不易定性表示的求解距离问题转化为定量的数学运算，体现了数形结合、转化与化归的方法．
核心素养
在利用空间向量求解空间中的角与距离的过程中，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养．
点到直线距离公式的推导与应用．
问题导引
预习教材P36～39，思考下面的问题：
1. 已知AB为平面α的一条斜线段，其中A∈α， B α， n为平面α的一个法向量，则点B到平面α的距离为多少？
答案：　
2. 若已知直线l及其外一点P，如何求点P到直线l的距离？
3. 若已知直线l1与l2平行，如何求直线l1与l2之间的距离？
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1. 如图，在直平行六面体ABCD A1B1C1D1中，BD⊥DC, BD＝DC＝1，点E在AA1上，且AE＝AA1＝，则点B到平面EDC1的距离为 　.
　　　　　　(第1题)
提示　建立如图所示的空间直角坐标系，则知点D(0, 0, 0), A(1, －1, 0), B(1, 0, 0), C(0, 1, 0), C1(0, 1, 2), E，所以＝(1, 0, 0), ＝(0, 1, 2), ＝.
(第1题答图)
设平面EDC1的一个法向量为n＝(x, y, z)，
则令z＝1，则x＝－， y＝－2，所以n＝.
所以点B到平面EDC1的距离d＝＝＝.
2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，点B到直线AC1的距离为 　.
(第2题)
提示　如图，以D1为原点，D1A1, D1C1, D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则知点A(1, 0, 1), B(1, 1, 1), C1(0, 1, 0)，则＝(0, 1, 0), ＝(－1, 1, －1)．
设向量在向量上的投影向量为u，则u＝||·|cos〈， 〉|＝||·＝＝＝.所以点B到直线 AC1的距离为＝＝.
一、 问题情境
问题1　空间中点到平面的距离如何定义？怎样用向量方法求解空间中点到平面的距离？
解　点到平面的距离即点与其向平面所作垂线的垂足之间的距离，可以用该点向平面所引斜线所在向量在平面的法向量上的投影长度来求解.
问题2　空间中点到直线的距离如何定义？怎样用向量方法求解空间中点到直线的距离？
二、 数学建构
方法一：借助与直线l垂直的向量来求点到直线的距离．
如图1, P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则·n＝||·|n|·cosθ，其中θ＝〈， n〉，从而点P到直线l的距离为d＝.
注：设n＝λe＋μ(λ， μ∈R)，其中e是直线l的方向向量，根据n·e＝0，求出λ， μ的一组值，就得到n.
方法二：借助直线l的方向向量来求点到直线的距离．
(图1) 　　(图2)
如图2, P是直线l外一点，PO⊥l, O为垂足，A是l上任意一点，设e是直线l的方向向量，记φ＝〈， e〉，则cosφ＝，故点P到直线l的距离为d＝||·sinφ.
问题3　如何求两条平行直线之间的距离？
解　由于平行线之间的距离处处相等，故可将其转化为点到平面的距离来求解．
三、 数学运用
例1　已知直线l的一个方向向量为m＝(1, ， －1)，若点P(－1, 1, －1)为直线l外一点，点A(4, 1, －2)为直线l上一点，求点P到直线l的距离．[1]
(见学生用书课堂本P23)
[处理建议]　根据点P到直线l的距离为||·sin〈m, 〉，分别计算向量的模长与夹角的正弦值即可求解．
[规范板书]　解　因为P点坐标为(－1, 1, －1), A点坐标为(4, 1, －2), 所以＝(5, 0, －1)．
又因为m＝(1, ， －1)，所以cos〈m, 〉＝＝＝，所以sin〈m, 〉＝.
因为||＝，所以点P到直线l的距离为||·sin〈m, 〉＝×＝.
[题后反思]　应用点到直线的距离公式求解时，要注意余弦值和正弦值的转化．
　如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1, E, F分别是BC和CD的中点．
(变式)
(1) 求证：EF∥B1D1；
(2) 求直线EF和B1D1之间的距离．[2]
[规范板书]　解　以{， ， }为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，则知点C(0, 1, 0), B1(1, 1, 1), D1(0, 0, 1), E， F.　
(1) 因为＝， ＝(1, 1, 0)，所以＝2，所以∥，故EF∥B1D1.
(2) 由(1)知点E到直线B1D1的距离即为两条平行线EF和B1D1之间的距离．
方法1　设在平面EB1D1内与直线B1D1垂直的向量为n＝(x, y, z)，则由n⊥可得x＋y＝0.
由n与， 共面可知，存在实数m, p，使得n＝m＋p.
因为＝(－1, －1, 0), ＝，所以(x, y, z)＝m(－1, －1, 0)＋p＝，即所以x＝y＋z.
令x＝1，且x＋y＝0，则y＝－1, z＝4，故n＝(1, －1, 4)．故点E到直线B1D1的距离为d＝＝＝，即两条平行线EF和B1D1之间的距离为.
方法2　连接EB1，则＝，记θ＝〈， 〉．
因为·＝， ||＝， ||＝，所以cosθ＝＝，故sinθ＝.
故点E到直线B1D1的距离为d＝||·sinθ＝，即两条平行线EF和B1D1之间的距离.
[题后反思]　(1) 我们还可以结合平面几何知识求解：设M, N分别是EF, B1D1的中点，则＝，易证⊥， ⊥，则||就是所求的距离．
(2) 用向量法求解点到直线的距离，一般有两种方式，解题时需结合所给条件进行选择和优化，以达到简便运算的目的．
(3) 对于第(2)问，如果是异面直线，那么如何求距离呢？比如“如何求异面直线AB与CC1的距离？如何求异面直线B1D1与AC的距离？如何求异面直线B1E和AC1的距离？”
例2　如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD, AB＝， BC＝1, PA＝2, E为PD的中点．
(例2)
(1) 求cos〈， 〉的值；
(2) 在侧面PAB内找一点N，使得NE⊥平面PAC，并求出点N到AB和AP的距离．[3]
(见学生用书课堂本P24)
[处理建议]　先选择合适的位置建系，再由坐标法进行空间向量的运算．
[规范板书]　解　(1) 因为在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以以A为原点、AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴、AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则知点A(0, 0, 0 ), C(， 1, 0), P(0, 0, 2), B(， 0, 0), ＝(， 1, 0), ＝(， 0, －2), 所以cos〈， 〉＝＝＝.
(例2答图)
(2) 设在侧面PAB内找一点N(a, 0, c)，使NE⊥平面PAC，则知点D(0, 1, 0), E， ＝， ＝(0, 0, 2), ＝(， 1, 0), 所以解得 所以N点坐标为.
所以点N到AB的距离为1，点N到AP的距离为.
　如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1, AB＝2，点E在棱AB上移动．
(变式)
(1) 求证：D1E⊥A1D；
(2) 当E为AB的中点时，求点E到平面ACD1的距离；
(3) 当AE等于何值时，二面角D1 EC D的大小为？
[规范板书]　解　(1) 以点D为坐标原点，DA, DC, DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AE＝x，则知点A1(1, 0, 1), D1(0, 0, 1), E(1, x, 0), A(1, 0, 0), C(0, 2, 0)．
因为·＝(1, 0, 1)·(1, x, －1)＝1－1＝0，所以⊥，即DA1⊥D1E.
(2) 因为E为AB的中点，则知点E(1, 1, 0)，从而＝(1, 1, －1), ＝(－1, 2, 0), ＝(－1, 0, 1)．设平面ACD1的一个法向量为n＝(a, b, c)，则即得令a＝2，则n＝(2, 1, 2)，所以点E到平面ACD1的距离为d＝＝＝.
(3) 设平面D1EC的一个法向量为n＝(a, b, c), 设AE＝x，所以＝(1, x－2, 0), ＝(0, 2, －1), ＝(0, 0, 1)．
由得令b＝1, 得c＝2, a＝2－x, 所以n＝(2－x, 1, 2)．
依题意得cos＝＝，得＝， 解得x1＝2＋(舍去)，x2＝2－.
所以当AE＝2－时，二面角D1 EC D的大小为.
[题后反思]　运用向量坐标法解答立体几何问题的一般步骤是：①观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；②写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；③设出相应平面的法向量，利用两向量垂直的数量积为0列出方程组求出法向量；④将空间位置关系转化为向量关系；⑤根据定理或结论求出相应的角和距离．
四、 课堂练习
1. 在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝a, AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为(D)
A. a B.
C. D.
提示　连接BD, AC，它们交于点O，则点D1到直线AC的距离为D1O＝＝a.
2. 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为4, M, N, E, F分别为A1D1, A1B1, C1D1, B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD之间的距离为 　.
提示　以D为原点，DA, DC, DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则知点A(4, 0, 0), M(2, 0, 4), D(0, 0, 0), B(4, 4, 0), E(0, 2, 4), F(2, 4, 4), N(4, 2, 4)，从而＝(2, 2, 0), ＝(2, 2, 0), ＝(－2, 0, 4), ＝(－2, 0, 4), 所以＝， ＝， 所以EF∥MN, AM∥BF, 所以平面AMN∥平面EFBD.设n＝(x, y, z)是平面EFBD的一个法向量，从而解得取z＝1，得n＝(2, －2, 1)．因为＝(0, 4, 0)，所以点A到平面EFBD的距离为＝，即平面AMN与平面EFBD之间的距离为.
3. 如图，已知四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，且AB＝a, PD＝a.
(第3题)
(1) 求点P到正方形ABCD各顶点的距离；
(2) 求点P到正方形ABCD各边的距离；
(3) 求点P到正方形ABCD两条对角线的距离．
解　(1) 以D为原点，DA, CD, DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由已知可得点A(a, 0, 0), B(a, a, 0), C(0, a, 0), D(0, 0, 0), P(0, 0, a)．连接AC和BD，它们交于点O，则知点O.　
所以，点P到点D的距离为||＝a，
点P到点A的距离为||＝＝a，
点P到点B的距离为||＝＝a，
点P到点C的距离为||＝＝a.
(2) 因为⊥， ⊥，所以点P到AD和DC的距离都是a；因为·＝(a, 0, －a)·(0, a, 0)＝0, 所以⊥，故||＝a就是点P到AB的距离；
同理可得点P到BC的距离为||＝a.
(3) 点P到对角线BD的距离就是||＝a.因为·＝·(－a, a, 0)＝0, 所以⊥，故||就是点P到对角线AC的距离，||＝＝a.
五、 课堂小结
1. 用向量方法研究空间距离问题的一般步骤：
第一步，确定法向量；
第二步，选择参考向量；
第三步，确定参考向量到法向量的投影向量；
第四步，求投影向量的长度．
2. 点到平面的距离的求解方法：
方法一：已知P为直线l外一点，A为l上任一点，在点P与l所确定平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d＝.
方法二：已知点P为直线l外一点，PO⊥l, O为垂足，A为l上任一点，e为直线l的方向向量，则cos〈， e〉＝，故点P到直线l的距离为d＝||·sin〈， e〉.
[1] 体会用向量法求点到直线的距离的一般方法.
[2] 体会用向量法求两平行线之间的距离的一般方法．
[3] 空间中角与距离问题求解的综合应用.
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