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第7章
计数原理
计数问题是数学的重要研究对象，是后续学习概率、统计及高等数学有关分支的基础，它在生活中也有着广泛的应用，如车牌号码编排、密码设定等．本章首先学习分类加法计数原理与分步乘法计数原理；然后，从一般到特殊，学习了两类特殊的计数问题——排列、组合，并用两个计数原理推导出排列数公式和组合数公式；最后，作为一个应用，根据多项式的乘法运算法则和计数原理推导出二项式定理，并研究了二项式系数的一些性质．本章学习时应引导学生结合实例领会两个基本计数原理以及排列和组合的区别，避免机械套用公式．
本章重点提升学生的数学建模、逻辑推理、数学运算素养.
第1课时　两个基本计数原理(1)
知识技能
1. 理解分类计数原理和分步计数原理，弄清它们的区别．
2. 会运用分类计数原理和分步计数原理分析和解决一些简单的问题．
思想方法
在形成计数原理的过程中，运用从特殊到一般的思想建构数学模型．
核心素养
经历实际计数问题的解决过程，建构方法并归纳抽象出两个计数原理，提升数学抽象和逻辑推理能力．
重点：理解分类计数原理和分步计数原理．
难点：在解决具体问题中，区别使用两个基本计数原理．
问题导引
预习教材P53～54，思考下面的问题：
1. 记者今天从有关部门获悉，截至2020年底，某市城乡机动车总数已达273.79万辆，比上一年同期净增15.86万辆，成为近几年来该市新增机动车数量最多的一年．该市汽车牌照形式为“YY XXzzz”，其中“YY”为地区代码(固定)，XX可以是数字与字母的组合，zzz是数字的组合，如果按此方式编排，理论上汽车牌照数量最多为多少？该市汽车牌照的容量能否足够应对汽车数量的激增？
解　数字共10个，字母共26个，数字与字母总共36个，故理论上汽车牌照数量最多为36×36×10×10×10＝1 296 000.因此能足够应对汽车数量的激增．
2. 什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？
即时体验
1. 从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，不同的选法种数为__5__.
提示　“完成这件事”即选出1人做主持人，可分选女主持人和男主持人两类进行，分别有3种不同的选法和2种不同的选法，所以共有3＋2＝5种不同的选法．
2. 从3名女同学和2名男同学中各选1人主持本班的某次主题班会，不同的选法种数为__6__.
提示　分两步：先从男同学中选1人，有3种不同的选法；再从女同学中选1人，有2种不同的选法．由分步计数原理知共有3×2＝6种不同的选法．
3. 现有3名同学去参加同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可以自由选择其中的1个讲座，不同的选法种数是64.
提示　由分步计数原理知共有4×4×4＝64种不同的选法．
一、 问题情境
问　题　(1) 从南京到上海，可以乘火车，也可以乘汽车．若一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从南京到上海共有多少种方法？
(2) 由于临时原因某人决定先从南京坐火车到苏州，再于次日从苏州乘汽车到上海，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，他从南京到上海共有多少种不同的方法？
问题分析
(1) 因为一天中乘火车有3种方法，乘汽车有2种方法，每一种方法都可以从南京到上海，所以共有3＋2＝5种不同的方法，如图1所示．
(图1)
(2) 因为乘火车有3种方法，乘汽车有2种方法，所以从南京到上海需乘一次火车再接着乘一次汽车就可以了，共有3×2＝6种不同的方法，如图2所示．
(图2)
二、 数学建构
1. 问题探究
探究1　如果完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
推广　如果完成一件事情有 n类不同的方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？
探究2　如果完成一件事需要两个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
推广　如果完成一件事情需要n个步骤，在每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
2. 数学原理
(1) 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
(2) 分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
三、 数学运用
例1　(根据教材P54例1改编)某班共有学生48名，其中女生20名，从该班选出学生代表参加校学生代表大会．
(1) 若学校分配给该班1名代表，有多少种不同的选法？
(2) 若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，有多少种不同的选法？[1]
(见学生用书课堂本P33)
[处理建议]　考虑选择分“类”还是分“步”：分类计数原理中每种方法都可以解决这件事情；分步计算原理中连续几个步骤合起来共同完成一件事情．
[规范板书]　解　(1) 方法一　从班中48名学生中选出1名代表，共48种选法．
方法二　选出1名代表有两类方式：第一类是从男生中选出1名代表有48－20＝28种不同的选法，第二类是从女生中选出1名代表有20种不同的选法．根据分类计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法．
(2) 选出男、女生代表各1名，可以分成两步完成．第一步，男生中选出1名代表，有48－20＝28种不同的选法；第二步，女生中选出1名代表，有20种不同的选法．根据分步计数原理，选出男、女生代表各1名，共有28×20＝560种不同的选法．
[题后反思]　使用加法原理分类时，各类的每一种方法都能单独完成；使用乘法原理分步时，必须做到各步均是完成事件必须经过的缺一不可的步骤．
　某校学生会由高一年级5人、高二年级6人、高三年级7人组成.
(1) 选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？ 　
(2) 若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？
[处理建议]　解决计数问题，要善于设计完成一件事情的合理过程．根据问题情境，选择适当的原理．
[规范板书]　解　(1) 从3个年级共5＋6＋7＝18名学生中选出1名代表，共18种选法．
(2) 从每年级选1人为校学生会常委，需从每个年级中各选1人，共5×6×7＝210种选法．
[题后反思]　使用加法原理分类时，各类的每一种方法都能单独完成；使用乘法原理分步时，必须做到各步均是完成事件必须经过的缺一不可的步骤，不重不漏．有时需要分“类”和分“步”同时使用解决问题.
例2　锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这3种汤圆的外部特征完全相同．若从中任意舀取3个汤圆，求每种汤圆都取到的方法种数．[2]
(见学生用书课堂本P34)
[处理建议]　根据题目确定合适的原理来解决问题，分步是连续几个步骤合起来共同完成一件事情．
[规范板书]　解　由条件可分为3步：第一步，从6个芝麻馅汤圆中选出1个；第二步，从5个花生馅汤圆中选出1个；第三步，从4个豆沙馅汤圆中选出1个．根据分步计数原理，总共有6×5×4＝120种取法．
[题后反思]　使用乘法原理分步时，必须做到各步均是完成事件必须经过的缺一不可的步骤．
　锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这3种汤圆的外部特征完全相同．若从中任意舀取4个汤圆，求每种汤圆都至少取到1个的取法种数．
[规范板书]　解　所求事件的取法分为3类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆、豆沙馅汤圆取得的个数分别按以下3类来取，即1, 1, 2; 1, 2, 1; 2, 1, 1.故共有6×5×＋6××4＋×5×4＝180＋240＋300＝720种取法.
例3　一个袋子里有10张不同的中国移动5G卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通5G卡．
(1) 某人要从两个袋子中任取一张供自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？
(2) 某人手机是双卡双待机(两张卡同时使用)，想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡供自己使用，问：一共有多少种不同的方法？[3](见学生用书课堂本P34)
[处理建议]　判断并选择“分类”还是“分步”．
[规范板书]　解　(1) 第一类，从第一个袋中取出一张中国移动卡，有10种不同的方法；第二类，从第二个袋中取出一张中国联通卡，有12种不同的方法．
根据分类计数原理，共有10＋12＝22种不同的方法．
(2) 第一步，从第一个袋中取出一张中国移动卡，有10种不同的方法；第二步，从第二个袋中取出一张联通卡，有12种不同的方法．
根据分步计数原理，共有10×12＝120种不同的方法．
　要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问：共有多少种不同的挂法？
[处理建议]　考虑选择分“类”还是分“步”，或是需同时考虑分“类”和分“步”．
[规范板书]　解　方法一　第一步，从3幅画中选1幅挂在左边，有3种不同的挂法；第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边，有2种不同的挂法．所以共有 3×2＝6 种不同的挂法．
方法二　第一步，从3幅画中选出2幅，有(甲，乙)、(甲，丙)、(乙，丙)3种不同的选法；第二步，将选出的2幅画挂好，有2种不同的挂法．所以共有 3×2＝6种不同的挂法．
例4　(1) 掷一颗骰子两次，出现点数之和小于5的情况有多少种？
(2) 掷一颗骰子两次，共可出现多少种不同的情况？
[规范板书]　解　用横坐标表示第一次的点数，纵坐标表示第二次的点数．
(1) 有(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)共6种不同的情况．
(2) 分步计数原理：
第一步，从1～6中选择1个数，有6种不同的情况；
第二步，仍从1～6中选择1个数，有6种不同的情况．
故共有6×6＝36种不同的情况．
四、 课堂练习
1. (多选)关于计数原理，下列说法正确的是(ABD)
A. 展开(x＋y)(a＋b)共有4项
B. 用1, 2, 3, 8四个数字能组成12个不同的无重复数字的两位数
C. {1, 2, 3}的子集共有7个
D. 掷一枚硬币两次，一共有4种不同的情况
2. 学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤．
(1) 若只吃一种菜或汤，有________种不同的选择；
(2) 若要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出________种不同的品种．
提示　(1) 有5＋3＋2＝10种不同的选择．
(2) 第一步， 配1种荤菜，有3种不同的选择；
第二步， 配1种素菜，有5种不同的选择；
第三步， 配1种汤，有2种不同的选择．
故共有5×3×2＝30种不同的品种．
3. (1) 有不同的语文书7本，不同的数学书5本，不同的英语书3本，若从中选出1本书，共有多少种选法？
(2) 有不同的语文书7本，不同的数学书5本，不同的英语书3本，若从中选出不属于同一学科的3本书，共有多少种选法？
(3) 有不同的语文书7本，不同的数学书5本，不同的英语书3本，若从中选出不属于同一学科的2本书，共有多少种选法？
解　(1) 根据分类计数原理知，共有不同的选法种数为7＋5＋3＝15.
(2) 根据分步计数原理知，共有不同的选法种数为7×5×3＝105.
(3) 选语文书、数学书各1本有7×5＝35种不同的选法，选语文书、英语书各1本有7×3＝21种不同的选法，选数学书、英语书各1本有5×3＝15种不同的选法，所以共有35＋21＋15＝71种不同的选法．
五、 课堂小结
分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题．不同点在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；而分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤中方法相互独立，只有各个步骤都完成才算完成了这件事．[4]
[1] 从实例出发理解两个计数原理的概念，并弄清楚两个计数原理的区别．
[2] 通过实例选择恰当的计数原理解决问题．
[3] 灵活运用两个计数原理解决实际问题．
[4] “计数”几乎是人类一种“天生”的能力，对于简单的计数问题，最常用的方法就是“数”．计数原理这一章的存在，不是要让学生掌握一种新的技能，而是要发展学生这种“与生俱来”的能力，使之能合理地应用于复杂的计数问题．当然，在问题解决的过程中，学生需要不断地归纳、总结，形成解决计数问题的方法和技能．在实际教学过程中，要引导学生利用计数原理解决问题，并弄清楚两个原理的区别. 掌握好两个基本原理有利于培养学生分析和解决问题的能力．
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