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第2课时　两个基本计数原理(2)
知识技能
1. 进一步理解分类计数原理和分步计数原理．
2. 会用两个计数原理分析和解决一些复杂的实际问题．
思想方法
结合实例建构方法，并归纳抽象出数学原理，完善对解决问题过程的认识，从而掌握解决实际计数问题的流程．
核心素养
在运用两个计数原理解决实际问题过程中，提升数学抽象和数学建模素养．
重点：会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题．
难点：两个计数原理的综合应用．
问题导引
预习教材P55～56，思考下面的问题：
1. 某校学生会由高一年级5人、高二年级6人、高三年级7人组成，若要选出不同年级的2人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？
解　若要选出不同年级的2人参加市里组织的活动，共有3种情况：①2人来自高一、高二，有5×6＝30种不同的选法；②2人来自高一、高三，有5×7＝35种不同的选法；③2人来自高二、高三，有6×7＝42种不同的选法．故共有30＋35＋42＝107种选法．
2. 分类计数原理与分步计数原理有什么区别？
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1. 甲厂生产的收音机外壳形状有3种，颜色有4种；乙厂生产的收音机外壳形状有4种，颜色有5种．如果两厂生产的外壳不能交换使用，那么这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有32种不同的品种．
提示　3×4＋4×5＝32.
2. 一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．
(1) 从2个口袋中任取1封信，有多少种不同的取法？
(2) 从2个口袋中各取1封信，有多少种不同的取法？
(3) 把这2个口袋里的9封信分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？
解　(1) 任取1封信，不论从哪个口袋中取，都能单独完成这件事，因此用分类计数原理，共有5＋4＝9种不同的取法．
(2) 各取1封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成这件事，因此应分两个步骤完成，由分步计数原理可知，共有5×4＝20种不同的取法．
(3) 第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能，…，第九封信还有4种可能．由分步计数原理可知，共有49种不同的投法．
一、 问题情境
如图，要给地图A, B, C, D 4个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？
(图1)
解　按地图A, B, C, D 4个区域依次分4步完成：
第一步，给A涂色有3种涂法；
第二步，给B涂色有2种涂法；
第三步，给C涂色有1种涂法；
第四步，给D涂色有1种涂法．
所以根据分步计数原理，得到不同的涂色方案种数为3×2×1×1＝6.
[思考]　如果分别涂上n(n＝4, 5, …)种不同颜色呢？
二、 数学运用
例1　已知0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字．
(1) 可以组成多少个数字不重复的三位数？
(2) 可以组成多少个数字允许重复的三位数？[1]
(见学生用书课堂本P35)
[处理建议]　排数字问题要特别注意首位不能排0. 根据题目要求选择合适的计数原理，做到不重不漏．
[规范板书]　解　(1) 分3步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法．由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个．
(2) 分3步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法．由分步计数原理知所求三位数共有5×6×6＝180个．
[题后反思]　这道题的解法涉及两个基本原理的简单应用，其关键在于弄清完成事件的过程是分类还是分步进行的，从而确定是使用加法原理还是乘法原理或两个原理的综合使用，“分类则加，分步则乘”是解决排列、组合问题的最基本策略．
　已知0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字．
(1) 可以组成多少个数字不重复的三位奇数？
(2) 可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？
(3) 可以组成多少个数字不重复的大于3 000且小于5 421的四位数？
[处理建议]　对元素可重复的计数问题，一般用两个基本原理解决．
[规范板书]　解　(1) 分3步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③十位数字也有4种选法．由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4＝48个．
(2) 分3类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5＝25个；③三位数，共有5×5×4＝100个．因此，比1 000小的自然数共有6＋25＋100＝131个．
(3) 分4类：①千位数字为3, 4之一时，共有2×5×4×3＝120个；②千位数字为5，百位数字为0, 1, 2, 3之一时，共有4×4×3＝48个；③千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0, 1之一时，共有2×3＝6个；④还有5 420也是满足条件的1个四位数．故所求四位数共有120＋48＋6＋1＝175个.
例2　(教材P55例2)(1) 在图①的电路中，仅合上1只开关接通电路，有多少种不同的方法？
(2) 在图②的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？[2]
(见学生用书课堂本P36)
① ②
(例2)
[处理建议]　从电学中串并联的原理入手，串联是分步计算，并联是分类计算．
[规范板书]　解　(1) 在图①中，按要求接通电路，只要A中的2只开关或B中的3只开关中合上1只即可．根据分类计数原理，共有2＋3＝5种不同的方法．
(2) 在图②中，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的1只开关；第二步，合上B中的1只开关．根据分步计数原理，共有2×3＝6种不同的方法．
答　在图①的电路中，仅合上1只开关接通电路，有5种不同的方法；在图②的电路中，仅合上2只开关接通电路，有6种不同的方法．
　(教材P55例2改编)如图，一条电路从M处到N处接通时，可以有多少条不同的线路(每条线路仅含一条通路)
(变式)
[规范板书]　解　按要求接通电路，只要A中2只开关或B中1只开关合上1只，或C与D组合开关通路即可．因为C与D组合开关通路共有2×3＝6种不同的线路，所以M到N接通时，可以有2＋1＋6＝9种不同的线路．
例3　如图，用4种不同颜色给图中的A, B, C, D, E, F 6个点涂色，要求每个点涂1种颜色，且图中每条线段的2个端点涂不同颜色，问：不同的涂色方法有多少种？[3]
(例3)
(见学生用书课堂本P36)
[处理建议]　先分类，再分步计算．
[规范板书]　解　① B, D, E, F用4种颜色，则有4×3×2×1×1×1＝24种不同的涂色方法；
② B, D, E, F用3种颜色，则有4×3×2×2×2＋4×3×2×2×1×2＝192种不同的涂色方法；
③ B, D, E, F用2种颜色，则有4×3×2×2＝48种不同的涂色方法．
所以共有24＋192＋48＝264种不同的涂色方法．
　现用4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有多少种？
(变式)
[规范板书]　解　①C、 D相同：4×3×2＝24; ②C、 D不同：4×3×2×1＝24.所以共有48种着色方法．
例4　从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的有多少个？
[处理建议]　将符合条件的数分类计数．
[规范板书]　解　分4类：一位数中除8外符合要求的有8个；两位数中，十位上数字除0, 8外有8种情形，个位数字除8外有9种情形，故两位数中有8×9＝72个符合要求；三位数中，百位上数字为1，十位上数字和个位上数字除8外均有9种情形，故符合要求的百位为1的三位数有9×9＝81个；此外还有200符合要求．综上，从1到200，不含数字8的自然数有N＝8＋72＋81＋1＝162个．
三、 课堂练习
1. (多选)已知集合M＝{－3, －2, －1, 0, 1, 2}, P(a, b)表示平面上的点(a, b∈M)，下列说法正确的是(AC)
A. P可表示平面上36个不同的点
B. P可表示平面上9个第二象限内的点
C. P可表示30个不在直线y＝x上的点
D. P可表示5个在y轴上的点
2. 在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有45个．
提示　一个两位数由十位数字和个位数字构成，考虑一个满足条件的两位数，可先确定个位数字，再考虑十位数字有几种可能．一个两位数的个位数字可以是0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.把这样的两位数分成10类．
① 当个位数字为0时，十位数字可以是1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，有9个满足条件的两位数；
② 当个位数字为1时，十位数字可以是2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，有8个满足条件的两位数；
③ 当个位数字为2时，十位数字可以是3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，有7个满足条件的两位数；
依此类推，当个位数字分别是3, 4, 5, 6, 7, 8, 9时，满足条件的两位数分别有6, 5, 4, 3, 2, 1, 0个．由分类计数原理可知，满足条件的两位数的个数为9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＋0＝45.
3. 从1, 2, 3, …， 10中选出3个不同的数，使这3个数构成等差数列，这样的数列共有40个．
提示　由题意知构成的等差数列的公差可以为±1, ±2, ±3, ±4.当公差为±1时，满足要求的数列有8×2＝16个；当公差为±2时，有6×2＝12个；当公差为±3时，有4×2＝8个；当公差为±4时，只有2×2＝4个．由分类计数原理可知，共可构成16＋12＋8＋4＝40个不同的等差数列．
4. 将四种不同颜色分别涂入矩形A, B, C, D中，要求相邻的矩形涂色不同，共有72种不同的涂色方法．
提示　由分步计数原理可知，A有4种不同的涂色方法，则B有3种不同的涂色方法，则C有2种不同的涂色方法，则D有3种不同的涂色方法，所以共有4×3×2×3＝72种不同的涂色方法．
四、 课堂小结
1. 在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”；其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，可以避免计数的重复或遗漏．
2. 对于一些比较复杂的既要运用分类计数原理又要运用分步计数原理的问题，应先分类再分步，同时画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．[4]
[1] 考查计数原理的简单应用，提升应用数学知识解决实际问题的能力．
[2] 考查计数原理在物理中的应用．
[3] 深化对分类、分步计数原理在涂色(或种植)问题中的应用．
[4] 进一步理解分类计数原理和分步计数原理，并用两个计数原理分析和解决一些简单的实际问题．对于一些比较复杂的问题，要保持清醒的头脑，既要合理运用计数原理，又要不重不漏．
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