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第3课时　排列(1)
知识技能
1. 能理解排列的意义，能用树状图正确地写出一些简单排列问题的所有排列．
2. 能运用排列数公式进行计算．
思想方法
通过对排列数的定义的探究，渗透数形结合和化归的数学思想方法，培养观察、归纳、抽象的能力，提高推理论证能力．
核心素养
1. 在排列概念的建构中，提升数学抽象素养．
2. 在排列应用问题中，提升数学运算素养．
重点：对排列、排列数的概念理解．
难点：排列数公式的推导．
问题导引
预习教材P59～63，思考下面的问题：
1. 高二(1)班准备从甲、乙、丙3名学生中选出2人分别担任班长和副班长，有多少种不同的选法？
解　因为甲、乙、丙3名学生任何一人都有可能当班长，也都有可能当副班长．所以共有6种不同的选法：甲，乙；甲，丙；乙，甲；乙，丙；丙，甲；丙，乙．(前面为班长，后面为副班长)
2. 用怎样的数学模型来刻画上面的问题？
3. “排列数”与“排列”有何区别和联系？
4. 如何计算排列数？
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1. 甲、乙、丙3个人排成一列，写出所有的排列．
解　甲，乙，丙；甲，丙，乙；乙，丙，甲；乙，甲，丙；丙，甲，乙；丙，乙，甲．
2. 写出从a, b, c这3个字母中取出2个字母的所有可能的排列．
解　ab, ac, ba, bc, ca, cb.
一、 问题情境
问题　从a, b, c, d这4个字母中，取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？
二、 数学建构
解决这个问题分3个步骤：第一步先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的字母，从余下的3个字母中取，有3种方法；第三步确定右边的字母，从余下的2个字母中取，有2种方法．
由分步计数原理共有4×3×2＝24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．
(图1)
1. 排列的概念
从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2. 排列数的定义
从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
3. 排列数公式及其推导
由A的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，…，an中任取2个元素去填空，1个空位填1个元素，每1种填法就得到1个排列．反过来，任何1个排列总可以由这样的1种填法得到．因此，所有不同的填法的种数就是排列数A.由分步计数原理完成上述填空共有n(n－1)种填法，所以A＝n(n－1)．
由此，求A可以按依次填3个空位来考虑，
所以A＝n(n－1)(n－2)，
求A(m≤n)可以按依次填m个空位来考虑，A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，
排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m, n∈N*, m≤n)．
4. 全排列：当n＝m时，即n个不同元素全部取出的一个排列．
全排列数：A＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！(叫作n的阶乘)．
三、 数学运用
例1　(教材P62例2改编)计算：
(1) A；　　　　(2) A.[1]
(见学生用书课堂本P37)
[处理建议]　从排列数的定义入手，进行计算．
[规范板书]　解　(1) A＝4×3×2×1＝4！＝24.
(2) A＝10×9×8＝720.
　(教材P62例2改编)计算 .
[规范板书]　解　＝＝30.
[题后反思]　主要考查排列数的定义．正确理解排列数的定义，初步掌握运用定义进行计算，提高计算能力.
例2　(教材P62例3改编)规定0！＝1，求证：A＝.[2]
(见学生用书课堂本P38)
[处理建议]　用阶乘表示排列数，并进行计算．
[规范板书]　解　若m＝n，则A＝n！＝；
若m＝
＝.
[题后反思]　本题需要分情况讨论．题目中的结论可以在解题中直接使用．
　若A＝17×16×15×…×5×4，则n＝17，m＝14.
提示　A＝＝，由例2的结论知n＝17, n－m＝3，所以n＝17, m＝14.
例3　求3A＝4A中的n.[3]
(见学生用书课堂本P38)
[处理建议]　从定义出发，正确表示出两个排列数．
[规范板书]　解　原方程可化为＝，即＝，化简得n2－19n＋78＝0，解得n1＝6, n2＝13.
又因为所以n≤8.故原方程解为n＝6.
[题后反思]　本题主要考查排列数的定义．正确理解排列数的定义，初步掌握运用定义表示排列数，从而提升计算能力．
　解方程A2n2－1＝2A1n2－1，n∈Z.
[规范板书]　解　由排列数定义可知n≥或n≤－.
因为A2n2－1＝(n2－1)(n2－2)，A1n2－1＝n2－1，
所以(n2－1)(n2－2)＝2(n2－1)，
所以n＝±2或±1(舍去)．
例4　求证：A＋mA＝A.[4]
[处理建议]　从定义出发，正确表示出每个排列数是解题的关键．
[规范板书]　证明　因为A＋mA＝＋＝， A＝.
等式得证．
　求证：A＝nA.
[规范板书]　证明　A＝＝
＝n·A.　
[题后反思]　本题主要考查排列数的定义．正确理解排列数的定义，初步掌握运用定义表示排列数，能熟练应用A＝(m≤n)．
四、 课堂练习
1. (多选)下列问题中，属于排列问题的有(AC)
A. 10本不同的书分给10名同学，每人1本
B. 10名同学互相握手一次
C. 10名同学互通一封信
D. 10个没有任何三点共线的点构成线段
2. 计算：
(1) A；　　　　(2) A＋A.
解　(1) A＝5×4×3×2＝120.
(2) A＋A＝6×5×4×3×2＋5×4×3×2×1＝840.
3. 解方程A＝7A， x∈N*, x>1.
解　由题意得x(x－1)＝7(x－1)，解得x＝7或x＝1(舍去)．
4. 5本不同的书分给5名女生，每人1本，则不同的分配方法有120种．
解　A＝120种．
五、 课堂小结
在知识层面上，回顾排列数定义的探究过程，对排列数概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要3个阶段：直观感受—文字描述—严格定义．
在方法层面上，回顾知识探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合、等价转化、类比等．[5]
[1] 巩固对排列数定义的理解．
[2] 利用排列数公式化简．
[3] 利用排列数公式求值．
[4] 利用排列数公式证明．
[5] 在教学中，让学生通过对简单例子进行观察、猜测、实验等活动，初步经历简单的排列和组合规律的探索过程；通过本节课的学习，使学生初步学会排列的简单方法，锻炼学生观察、分析和推理的能力．根据学生的认知特点和规律，在本节课的设计中，注重发挥多媒体教学的作用，通过课件演示、动手操作等方式组织教学；在教学过程中，以同桌或小组合作的形式贯穿全课，充分应用分组合作、共同探究的学习模式，在教学中鼓励学生与同伴交流，引导学生展开讨论，使学生在合作中学会知识，体验学习的乐趣，思维活动也更加活跃．例题和练习题设计力求简单和有代表性，加深学生对概念的理解．
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