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第4课时　排列(2)
知识技能
能运用所学的排列知识正确地解决简单的实际问题．
思想方法
通过对排列数的探究，渗透等价转换和化归的数学思想方法，培养观察、归纳、抽象的能力，提高推理论证能力．
核心素养
通过对排列问题的探究，提升数学建模能力和数学运算素养．
重点：排列知识的应用．
难点：排列知识的应用．
问题导引
预习教材P63～64，思考下面的问题：
1. 排列问题有何特征？如何判断？
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1. 从a, b, c, d, e这5个字母中取出2个字母的排列数是20.
提示　A＝20.
2. 若用红、黄、蓝3面小旗竖挂在绳上表示信号，则不同的信号数是__6__.
提示　A＝6.
3. 从1, 2, 3, 4, 5, 6这6个数字中选取4个数字，能组成360个没有重复数字的四位数．
提示　A＝360.
4. 在一次晚会中，学生的节目有6个，教师的节目有5个．如果教师的节目不能排在第一个，那么有6A种不同的排法．
提示　第一步，教师的节目不能排第一个，则只能从6个学生节目中选一个，有6种情况；第二步，剩下的5个学生的节目和5个教师的节目有A种不同的排法，所以一共有6A种不同的排法．
一、 数学运用
例1　有6块不同的糖果，从中选出4块送给4个小朋友，每人各1块，共有多少种不同的送法？[1]
(见学生用书课堂本P39)
[处理建议]　抓住关键词或语句“不同”“选出4块”“每人各1块”等．
[规范板书]　解　从6块不同的糖果选出4块分别送给4个小朋友，对应于从6个元素中取出4个元素的一个排列．因此，不同的送法的种数是A＝6×5×4×3＝360.　
[题后反思]　对于实际问题，认真审题，弄清题意，抓住关键字、词和语句，联系学到的知识，进行推敲．本题应该抓住题意，选用排列数的知识来解答．
　6块不同的糖果送给4位小朋友，求共有多少种不同的送法．
[规范板书]　解　由分步计数原理，每一块糖有4种不同的送法，所以共有46＝4 096种不同的送法.
例2　(教材P64例7)用0～9这10个数字能组成多少个没有重复数字的三位数？[2]
(见学生用书课堂本P39)
[处理建议]　先尝试写出合乎要求的数字，发现百位上不能为0，特殊情况特殊考虑．
[规范板书]　解　方法一　如图①，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1个，有A种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有A种取法．根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为
AA＝9×9×8＝648.
图①
图②
(例2)
方法二　如图②所示，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1～9这9个数字中取出3个，有A种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有A种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有A种取法．
根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为
A＋A＋A＝9×8×7＋9×8＋9×8＝648.
解法3：从0～9这10个数字中选取3个的排列数为A，其中0在百位上的排列数为A，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为
A－A＝10×9×8－9×8＝648.
[题后反思]　对某些元素“在”或“不在”某些位置上、某些位置上“排”或“不排”，常使用“优限法” 或“排除法”．
　用1, 2, 3, 4, 5这5个数字可以组成48个不大于3000的无重复数字的四位数．
[处理建议]　尝试写出符合要求的数字，发现千位上只能是1或2.
提示　由于千位上的数字只能是1或2，因此，为了得到这个数，可以分两步完成：
第一步，先排千位上的数字，可以从1, 2这2个数字中任选1个，所以有A种选法；
第二步，再排百位、十位和个位上的数字，可以从余下来的4个数字中任选3个，有A种选法．
根据分步计数原理，所求的三位数的个数为AA＝48种.
例3　(教材P64例7改编)从0, 1, 2, 3, …， 9这10个数字中选出4个不同的数字组成四位偶数，其中小于2012的数共有多少个？[3]
(见学生用书课堂本P40)
[处理建议]　先分析题意，抓住一些关键点，试着写出一些符合题意的数字，运用分类计数原理进行讨论．
[规范板书]　解　根据题意，千位上的数字只能是1，因此，先排千位上的数字1，个位数字可以从0, 2, 4, 6, 8这5个数字中选择，百位和十位从剩下来的8个数字中选择．所以由分步计数原理可知有AA＝280个数．
[题后反思]　对于实际问题，首先要审题，弄清题意，抓住关键字、词和语句．可能有多种满足题意的，勿忘分类计数原理．对于某些限制条件繁杂且可能情况较少的题目，勿忘记计数问题最基本的“列举法”．
　从0, 1, 2, 3, …， 9这10个数字中选出4个不同的数字组成四位奇数，其中小于2012的数共有多少个？
[规范板书]　解　由于千位上的数字只能是1，因此，先排千位上的数字1，个位数字可以从3, 5, 7, 9这4个数字中选择，百位和十位从剩下来的8个数字中选择．所以由分步计数原理可得有AA＝224个数．
例4　从－3, －2, －1, 0, 1, 2, 3, 4这8个数字中任取3个不重复的数字分别作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的二次项系数a、一次项系数b及常数项c.试问：共可组成多少个不同的二次函数？[4]
[处理建议]　先分析题意，抓住关键点，优先考虑二次项的系数a，再运用分类计数原理进行讨论．
[规范板书]　解　由于二次项的系数不能是0，因此，可以分两步完成：
第一步，先排二次项的系数a，可以从－3, －2, －1, 1, 2, 3, 4这7个数字中任选1个，所以有A种选法；第二步，再排一次项的系数b和常数项c，可以从余下来的7个数字中任选2个，有A种选法．根据分步计数原理，所求的二次函数的个数为AA＝294.
[题后反思]　对某些元素“在”或“不在”某些位置上及某些位置上“排”或“不排”问题，常使用“优限法”．
二、 课堂练习
1. 从1, 2, 3, 4, 5, 6, 7这7个数字中选出3个数字，能组成120个没有重复数字的三位奇数．
提示　4A＝120.
2. 用数字1, 2, 3, 4, 5可以组成96个没有重复数字且比20000大的五位数．
提示　4A＝96.
3. (多选)从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6这七个数字中选几个数字，下列说法正确的是(ABC)
A. 能组成180个没有重复数字的三位数
B. 能组成15个没有重复数字的两位奇数
C. 能组成21个没有重复数字的两位偶数
D. 可组成30个比201小的没有重复数字的三位奇数
提示　A选项，有6A＝180个；B选项，有AA＝15个；C选项，当个位为0，有A个，当个位不为0，有AA个，共有A＋AA＝21个；D选项，满足题的三数奇数的百位是1，个位有2种可能，是3或5，十位有5种可能，所以共有2×5＝10个这样的三位数．
4. 如果6个小孩站成2排，2个女孩站在前排，4个男孩站在后排，那么有48种不同的排法．
提示　AA＝48.
三、 课堂小结
在方法层面上，回顾知识探究过程中用到的思想方法和思维方法，如优限法、排除法和列举法等．[5]
[1] 巩固对排列的应用．
[2] 提升对排列问题的应用能力.
[3] 有限制条件的排列问题．
[4] 有限制条件的排列问题．
[5] 苏霍姆林斯基曾说过，自由支配的时间是学生个性发展的必要条件，苏霍姆林斯基所说的支配时间，其实就是自主学习的时间，同样它也是探究的必要条件．比如从0, 1, 2, 3, 4, 5这6个数字中取出3个数字，组成没有重复数字的三位数，这个问题不是学生一眼就能看出的，一下子就能想明白的，它需要认真观察、思考．因此安排了学生独立思考、独立完成、小组合作交流选择最佳方案再汇报．目的是要给学生自己动脑思考的空间，从中发现一种重要的规律和思想．
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