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第5课时　排列(3)
知识技能
能运用所学的排列知识正确地解决简单的实际问题．
思想方法
通过对排列数的探究，渗透等价转换和化归的数学思想方法，培养观察、归纳、抽象的能力，提高推理论证能力．
核心素养
在运用排列方法解决实际问题过程中，提升数学抽象和数学运算素养．
重点：排列知识的应用．
难点：排列知识的应用．
问题导引
预习教材P63～P64，思考下面的问题：
1. 解决排列综合问题时，有哪些常用方法？
即时体验
1. 5个人排成一排，甲不在排头，也不在排尾，则不同的排法种数是72.
提示　3A＝72.
2. 8名学生和2名教师站成一排合影，2名教师不相邻的排法种数为AA.
3. 3名男生和3名女生共6名学生站成一排，若3位女生相邻，则不同的排法种数是144.
提示　AA＝144.
4. 5个男孩站成一列，如果甲在乙的前面，那么有60种不同的站法．
提示　＝60.
一、 数学运用
例1　4名男生和3名女生并排坐在一起，问：
(1) 4名男生必须排在一起的坐法有多少种？
(2) 3名女生不相邻的坐法有多少种？[1]
(见学生用书课堂本P41)
[处理建议]　用捆绑法把4名男生看成一个元素．
[规范板书]　解　(1) 因为男生排在一起，所以可以把所有男生看成1个元素，与3名女生共4个元素排成一排，所以不同的排法有A种．又因为4名男生排在一起有A种不同的排法，因此由分步计数原理，不同的排法共有AA＝576种．
(2) 3名女生不相邻的排列可分成两步完成：
第一步，将4名男生排成一排，有A种排法；
第二步，由于3名女生不相邻，于是可以在每2个男生之间和两端共5个位置中选择3个排3名女生，有A种．
根据分步计数原理，不同的排法共有AA＝1440种．
[题后反思]　对于某些元素“相邻”的问题，常常采用捆绑法；对某些元素彼此“不相邻(相间)”的问题，常常使用插空法．
　4名男生、3名女生排成一排，问：
(1) 男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？
(2) 男女生相间的坐法共有多少种？
[规范板书]　解　(1) 男生相邻，女生也相邻，可以把所有男女生各看成1个元素，有2个元素排成一排，所以不同的排法有A种．因为4名男生相邻有A种，3名女生相邻有A种．因此，不同的排法共有AAA＝288种．
(2) 男女生相间的排列可以分成两步完成：
第一步，将4名男生排成一排，有A种排法；
第二步，由于3名女生相间，于是可以在每2个男生之间共3个位置进行全排列，有A种．
根据分步计数原理，不同的排法共有AA＝144种.
例2　现有2个红球，3个黄球，4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列，共有多少种不同的排法？[2]
(见学生用书课堂本P41)
[处理建议]　引导学生运用除序法解题．
[规范板书]　解　将9个球任意排，共有A种排法．因为同色球不加以区分，红球重复排A次，黄球重复排A次，白球重复排A次．由除序法可得所有的排法种数为＝1260.
[题后反思]　对于某些属于同一类可以不考虑顺序的问题，常用除序法．
　今有2个红球，3个黄球，4个白球，同色球不加以区分，将9个球排成一列，但是红色球不能排在两端，求共有多少种不同的排法．
[规范板书]　解　将9个球排成一列，红色球不能排在两端，共有AA种排法．因为同色球不加以区分，红球重复排A次，黄球重复排A次，白球重复排A次．由除序法可得所有的排法种数为＝735.
例3　一排长椅共有10个座位，先坐4人，使其有6个连续的空位，共有多少种不同的坐法？[3]
(见学生用书课堂本P42)
[处理建议]　运用捆绑法解题．
[规范板书]　解　把6个连续空位看成1个元素，与4个人共5个元素排成一列，并且连续的空位不需要考虑顺序，所以有A＝120种不同坐法．
[题后反思]　捆绑在一起的元素要仔细考虑是否有序．如果有序，要进行全排列；如果无序，不需要全排列．
　一排长椅共有10个座位，先坐4人，使其恰有5个连续的空位，求共有多少种不同的坐法．
[处理建议]　运用捆绑法和插空法解题．
[规范板书]　解　把5个连续空位看成1个元素a，把单独的1个空位看成元素b，另外4人为c1, c2, c3, c4，则问题等价于这6个元素的排列，并且a, b不相邻，运用插空法，不同的坐法种数有AA＝480.
例4　用1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3和4相邻，5和6相邻，而7和8不相邻，这样的八位数共有多少种？[4]
[处理建议]　运用捆绑法和插空法解题．
[规范板书]　解　将1和2捆绑，3和4捆绑，5和6捆绑，相当于3个人全排列，共A种，又对每种情况，1和2 内部排列，3和4 内部排列，5和6内部排列，共有(A)3种，之后有4个空可插入7和8，共有A种方法．所以共有A(A)3A＝576种．
　安排7位工作人员在10月1日至7日值班，每人一天，其中甲、乙两人都不排10月1日和2日，则不同的安排方法有多少种？
[规范板书]　解　方法一(直接法)　先排甲、乙两人在后面5天值班，有A种，其余5天再排其他人，有A种，所以共有AA＝2400种．
方法二(间接法)　先不考虑甲、乙两人特殊情况，共有A＝5040种方法，不符合要求的有AA＋AAAA＝2640种，所以符合要求的有5040－2640＝2400种．
[题后反思]　对于捆绑和插空综合问题，应该先捆绑，后插空．
二、 课堂练习
1. 8名学生和2名教师站成一排合影，2名教师在一起的排法数为AA.
提示　运用捆绑法，可得AA.
2. 3名男生和3名女生共6名同学站成一排，若3名女生不相邻，则不同的排法种数是144.
提示　运用插空法，可得AA＝144.
3. 2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有360种不同的排法．
提示　运用除序法，可得＝360.
4. (多选)有4名男生和5名女生，全体排成一行，则甲不在中间也不在两端的排法数是(BCD)
A. A B. AA
C. A D. A－3A
提示　C选项，9个人全排列有A种，因为甲在每一个位置上的机会是均等的，所以甲不在中间也不在两端的排法有A＝A种；D选项，甲在两端和中间的排法有3A种，则甲不在中间也不在两端的排法有A－3A种．
三、 课堂小结
1. 解排列题的基本思路：将具体问题抽象为排列问题，是解排列应用题的关键一步，对排列问题恰当的分类是解组合题的常用方法．
2. 排列题的基本方法：优限法、位置优先法、分类处理、分步处理，插空法、捆绑法、穷举法、除序法等．[5]
[1] 考查捆绑法和插空法在排列问题中的应用．
[2] 考查除序法在排列问题中的应用．
[3] 考查捆绑法在排列中的应用．
[4] 考查捆绑法和插空法在排列问题中的灵活应用．
[5] 本节课在教学例题时，采用的是小组合作交流的形式．设计教学时，考虑到让学生在小组内动手操作，互相交流、补充，有利于活跃、启迪学生的思维，并培养合作精神．小组的汇报进一步扩大了交流的范围，集思广益，拓展思路，在讨论的过程中加深了学生对排列组合方法的认识，也锻炼了学生的语言表达能力．上课时尽量少讲，让学生多说，注意语言的精练．多表扬学生，学生做对了就及时地给予肯定和表扬，从而激发学生的学习积极性．在活动中放手学生去动手操作，让他们说出自己的真实想法和做法．学生出现的错误是课堂上很好的生成资源，要很好地抓住课堂上的生成资源进行教学．
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