2023届 高考一轮复习学案第七章第6课时 组合(1)(Word)

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2023届 高考一轮复习学案第七章第6课时 组合(1)(Word)

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第6课时 组合(1)
知识技能
1. 理解组合的概念,能写出一些简单问题的所有组合.明确组合与排列的联系与区别,能判断一个问题是排列问题还是组合问题.
2. 能利用计数原理推导组合数公式,能运用组合数公式进行计算.
思想方法
能运用组合知识分析简单的实际问题,提高分析问题的能力.
核心素养
1. 在结合具体情境教学组合的过程中,发展数学建模素养.
2. 在解决具体的组合问题的过程中,提升数学运算素养.
重点:理解组合的意义.明确组合与排列的联系与区别,理解排列数A与组合数C之间的联系.
难点:掌握组合数公式.
问题导引
预习教材P67~68,思考下面的问题:
1. 什么是组合?
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素并成一组,叫作从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.
2. 组合与排列的区别是什么?
无序选取与有序选取.
3. 如何推导组合数的计算公式?
根据分步计数原理,A=CA,所以C==.
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1. 高二(1)班从甲、乙、丙3名学生中选1名班长和1名副班长,有__6__种不同的选法.
提示 此题属于排列问题,共有A=6种不同的选法.
2. 高二(1)班从甲、乙、丙3名学生中选2名学生代表,有__3__种不同的选法.
提示 此题属于组合问题,共有C=3种不同的选法.
3. 从1, 2, 3这3个数字中选2个数字作商,能构成__6__个不同的数.
提示 此题属于排列问题,共有A=6个不同的数.
4. 从1, 2, 3这3个数字中选2个数字作积,能构成__3__个不同的数.
提示 此题属于组合问题,乘法满足交换律,共有C=3个不同的数.
一、 问题情境
从1, 2, 3这3个数字中选2个数字构成一个集合,能构成多少个不同的集合?
二、 数学建构
问题的本质是集合元素的无序性,因此从3个不同的数中取2个数并成一组即可,而无需另外排序.引导学生发现该问题与排列的区别在于有序与无序.
组合的定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素并成一组,叫作从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号C表示.
根据分步计数原理,得到A=CA,因此,我们得到组合数公式
C==
=(m≤n, n, m∈N*)
三、 数学运用
例1 (教材P69练习第1题改编)判断下列问题是组合问题还是排列问题:
① 在北京、上海、广州3个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?(往返票价相同)
② 高中部11个班进行篮球循环赛,需要进行多少场比赛?
③ 从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员3个职务,有多少种不同的选法?选出3人参加某项劳动,有多少种不同的选法?[1]
(见学生用书课堂本P43)
[处理建议] 抓住改变顺序后是否仍为同一结果来进行区分.
[规范板书] 解 ①前者为排列,后者为组合;②组合;③前者为排列,后者为组合.
[题后反思] 若两个组合中的元素都相同,则这两个组合就叫相同的组合.
例2 写出从a, b, c, d, e这5个元素中取出3个元素的所有组合.[2]
(见学生用书课堂本P43)
[处理建议] 列举所有情况,用图示法演示.
[规范板书] 解 所有的组合为abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.
 若从a, b, c, d这4个元素中取出2个元素呢?(C=6)
 若从a1, a2, a3, a4, …, an这n个元素中取出2个元素呢?(C)
例3 (教材P68例2改编)计算:
(1) C;   (2) C;   (3) C.[3]
(见学生用书课堂本P44)
[处理建议] (1) 将组合数公式完整体现;(2) 注意组合数两个公式的灵活运用.
[规范板书] 解 (1) C==20.
(2) C==252.
(3) C=
=6724520.
[题后反思] 通过简单的组合数计算熟练掌握组合数公式,并注意与排列数公式的区别与联系.
例4 设x∈N*,求C+A的值.[4]
[处理建议] 先由两公式中的限制条件出发,确定x的值.
[规范板书] 解 由题意知
解得 2≤x≤3.
因为x∈N*,所以x=2或3.
当x=2时,原式=C+A=1+6=7;
当x=3时,原式=C+A=3+24=27.
所以值为4或27.
[题后反思] 排列数与组合数公式的综合情况需系统考虑,谋定而后动.
 已知C=A,求n的值.
[规范板书] 解 由已知得n≥3,且=n(n-1),解得n=8.
[题后反思] 注意组合数公式中的分母.
四、 课堂练习
1. (多选)下列问题中属组合问题的是(AC)
A. 从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法
B. 从4个风景点中选出2个,并确定2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法
C. 从30名同学中选出3人参加问卷调查,有多少种不同的方法
D. 从5名同学中选出3人,分别参加语文、数学、物理竞赛,有多少种不同的方法
提示 A与C选项无序是组合,B与D选项有序是排列.
2. 设全集U={a, b, c, d},集合A是U的子集,若A有3个元素,且a∈A,则满足条件的集合A有(B)
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 6个
提示 因为A是U的子集,且有3个元素,其中一个元素是a,所以另外2个元素从b, c, d中取出,即有C=3种不同方法.(也可用枚举法列出所有结果)
3. 计算:(1) C; (2) C; (3) 3C+2C.
解 (1) C==35.
(2) C==35.
(3) 3C+2C=+=188.
4. 在桥牌比赛中,将一副不含大、小王的扑克牌分发给4名参赛者,每人13张牌,1名参赛者可能得到多少种不同的牌?(用排列数或组合数表示)
解 C.
五、 课堂小结
1. 组合与排列的关键区别在于是否和顺序有关,有序是排列,无序是组合.
2. 组合数公式C就是在排列数公式A上除以m!,即C==.
[1] 从生活实际问题中体验排列与组合的区别与联系.
[2] 用枚举法写出组合,加深对组合定义的理解与运用.
[3] 对组合数公式的记忆与应用.
[4] 与排列数公式一样,组合数公式也有其限制条件,即公式中的m≤n, (m, n∈N*).
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