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第6课时　组合(1)
知识技能
1. 理解组合的概念，能写出一些简单问题的所有组合．明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题．
2. 能利用计数原理推导组合数公式，能运用组合数公式进行计算．
思想方法
能运用组合知识分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．
核心素养
1. 在结合具体情境教学组合的过程中，发展数学建模素养．
2. 在解决具体的组合问题的过程中，提升数学运算素养．
重点：理解组合的意义．明确组合与排列的联系与区别，理解排列数A与组合数C之间的联系．
难点：掌握组合数公式．
问题导引
预习教材P67～68，思考下面的问题：
1. 什么是组合？
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合．
2. 组合与排列的区别是什么？
无序选取与有序选取．
3. 如何推导组合数的计算公式？
根据分步计数原理，A＝CA，所以C＝＝.
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1. 高二(1)班从甲、乙、丙3名学生中选1名班长和1名副班长，有__6__种不同的选法．
提示　此题属于排列问题，共有A＝6种不同的选法．
2. 高二(1)班从甲、乙、丙3名学生中选2名学生代表，有__3__种不同的选法．
提示　此题属于组合问题，共有C＝3种不同的选法．
3. 从1, 2, 3这3个数字中选2个数字作商，能构成__6__个不同的数．
提示　此题属于排列问题，共有A＝6个不同的数．
4. 从1, 2, 3这3个数字中选2个数字作积，能构成__3__个不同的数．
提示　此题属于组合问题，乘法满足交换律，共有C＝3个不同的数．
一、 问题情境
从1, 2, 3这3个数字中选2个数字构成一个集合，能构成多少个不同的集合？
二、 数学建构
问题的本质是集合元素的无序性，因此从3个不同的数中取2个数并成一组即可，而无需另外排序．引导学生发现该问题与排列的区别在于有序与无序．
组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合．
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
根据分步计数原理，得到A＝CA，因此，我们得到组合数公式
C＝＝
＝(m≤n, n, m∈N*)
三、 数学运用
例1　(教材P69练习第1题改编)判断下列问题是组合问题还是排列问题：
① 在北京、上海、广州3个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？(往返票价相同)
② 高中部11个班进行篮球循环赛，需要进行多少场比赛？
③ 从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员3个职务，有多少种不同的选法？选出3人参加某项劳动，有多少种不同的选法？[1]
(见学生用书课堂本P43)
[处理建议]　抓住改变顺序后是否仍为同一结果来进行区分．
[规范板书]　解　①前者为排列，后者为组合；②组合；③前者为排列，后者为组合．
[题后反思]　若两个组合中的元素都相同，则这两个组合就叫相同的组合.
例2　写出从a, b, c, d, e这5个元素中取出3个元素的所有组合．[2]
(见学生用书课堂本P43)
[处理建议]　列举所有情况，用图示法演示．
[规范板书]　解　所有的组合为abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.
　若从a, b, c, d这4个元素中取出2个元素呢？(C＝6)
　若从a1, a2, a3, a4, …， an这n个元素中取出2个元素呢？(C)
例3　(教材P68例2改编)计算：
(1) C；　　　(2) C；　　　(3) C.[3]
(见学生用书课堂本P44)
[处理建议]　(1) 将组合数公式完整体现；(2) 注意组合数两个公式的灵活运用．
[规范板书]　解　(1) C＝＝20.
(2) C＝＝252.
(3) C＝
＝6724520.
[题后反思]　通过简单的组合数计算熟练掌握组合数公式，并注意与排列数公式的区别与联系．
例4　设x∈N*，求C＋A的值．[4]
[处理建议]　先由两公式中的限制条件出发，确定x的值．
[规范板书]　解　由题意知
解得 2≤x≤3.
因为x∈N*，所以x＝2或3.
当x＝2时，原式＝C＋A＝1＋6＝7；
当x＝3时，原式＝C＋A＝3＋24＝27.
所以值为4或27.
[题后反思]　排列数与组合数公式的综合情况需系统考虑，谋定而后动．
　已知C＝A，求n的值．
[规范板书]　解　由已知得n≥3，且＝n(n－1)，解得n＝8.
[题后反思]　注意组合数公式中的分母．
四、 课堂练习
1. (多选)下列问题中属组合问题的是(AC)
A. 从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法
B. 从4个风景点中选出2个，并确定2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法
C. 从30名同学中选出3人参加问卷调查，有多少种不同的方法
D. 从5名同学中选出3人，分别参加语文、数学、物理竞赛，有多少种不同的方法
提示　A与C选项无序是组合，B与D选项有序是排列．
2. 设全集U＝{a, b, c, d}，集合A是U的子集，若A有3个元素，且a∈A，则满足条件的集合A有(B)
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 6个
提示　因为A是U的子集，且有3个元素，其中一个元素是a，所以另外2个元素从b, c, d中取出，即有C＝3种不同方法．(也可用枚举法列出所有结果)
3. 计算：(1) C； (2) C； (3) 3C＋2C.
解　(1) C＝＝35.
(2) C＝＝35.
(3) 3C＋2C＝＋＝188.
4. 在桥牌比赛中，将一副不含大、小王的扑克牌分发给4名参赛者，每人13张牌，1名参赛者可能得到多少种不同的牌？(用排列数或组合数表示)
解　C.
五、 课堂小结
1. 组合与排列的关键区别在于是否和顺序有关，有序是排列，无序是组合．
2. 组合数公式C就是在排列数公式A上除以m！，即C＝＝.
[1] 从生活实际问题中体验排列与组合的区别与联系．
[2] 用枚举法写出组合，加深对组合定义的理解与运用．
[3] 对组合数公式的记忆与应用．
[4] 与排列数公式一样，组合数公式也有其限制条件，即公式中的m≤n, (m, n∈N*)．
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