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第7课时　组合(2)
知识技能
1. 进一步掌握组合数公式，运用组合数公式进行计算．
2. 运用组合知识分析并解决简单的实际问题．
思想方法
运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．
数学素养
1. 在从具体情境中抽象出组合数问题的过程，发展数学建模素养．
2. 在分析、解决组合数问题的过程中，提升逻辑推理素养．
重点：组合数性质的应用．
难点：用构造法证明组合数的性质．
问题导引
预习教材P69～71，思考下面的问题：
1. 组合的定义是什么？如何计算组合数？
2. 组合数有哪些重要的性质？
即时体验[1]
1. 计算：C＝21,_C＝21.
提示　C＝＝＝21，C＝＝
＝21.
2. 计算：C＋C＝120.
提示　C＋C＝＋＝120.
3. 计算：C－C＝120.
提示　C－C＝－
＝120.
一、 问题情境
【引例】　(教材P69例3)在歌手大奖赛的文化素质测试中，选手需要从5个试题中任意选答3题，问：
(1) 有几种不同的选题方法？
(2) 若有1道题是必答题，有几种不同的选题方法？
二、 数学建构
问题1　从5题中选出3题作答还可以理解为摒弃2题不答，从中可以得到什么启发？
学生活动：对(1) 还可以换一个角度考虑：从5道题中剔去2题，将剩下的3题取出，这样有C种不同的方法．由此可见，C＝C.
问题2　可以推广得到一般性结论吗？
推广1　从 n个不同元素中取出 m个元素的每一个组合，与剩下的n－m个元素的每一个组合一一对应，所以从 n个不同元素中取出 m个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n－m 个元素的组合数，即C＝C.
注意到(2)与(1)的关系．
问题3　C种方法中包括含必答题与不含必答题两类方法，方法数分别为C和C，可以得到什么结论？(C＝C＋C)
推广2　C＝C＋C.
1. 组合数的两个性质：
(1) C＝C；
(2) C＝C＋C.
注：①为简化计算，当m>时，通常将计算C改为计算C；
②规定：C＝1；
③C＝C x＝y或x＋y＝n.
④组合数性质(2)的证明：
C＋C＝＋
＝
＝
＝＝C.
⑤性质(2)的特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数；
⑥恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
三、 数学运用
例1　(1) 已知C＝C，求n.
(2) C＋C＝A.[2]
(见学生用书课堂本P45)
[处理建议]　根据组合数公式和其两个性质，化简变形再求解．
[规范板书]　解　(1) 由组合数性质知，
3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，
即n＝8或n＝2.
因为所以则n≤4，
所以n＝8不合题意．
故n值为2.
(2) 由组合数性质，原方程可化为C＝A，
即C＝A，
即＝，
即x2－x－12＝0，
解得x＝4或x＝－3(舍去)，
经检验，x＝4是原方程的解．
[题后反思]　在求解的时候，注意化简要准确．
　求C＋C的值．
[规范板书]　解　由题意知
得≤n≤.因为n∈N*，所以n＝10，
故原式＝C＋C＝C＋C＝C＝465.
[题后反思]　注意组合数上标与下标间的隐含不等关系，确定n值后再综合运用两个性质求解.
例2　计算：(1) (C＋C)÷A；(2) C＋C＋…＋C.[3]
(见学生用书课堂本P45)
[处理建议]　本题如果直接计算组合数，运算比较繁．本题应努力在式子中创造条件使用组合数的性质，第(1) 题中，C＝C，经此变形后，可继续使用组合数性质．第(2)题有两个考虑途径，一方面可以抓住项的变形C＝C－C，求和；另一方面，变形C＝C，接着C＋C＝C，C＋C＝C，…，反复使用公式．
[规范板书]　解　(1) 原式＝(C＋C)÷A
＝C÷A
＝÷A
＝1÷A＝.
(2) 方法一　原式＝C＋(C－C)＋(C－C)＋…＋(C－C)＝C＝330.
方法二　原式＝C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋…＋C
＝C＋C＋…＋C
＝…＝C＋C＝C＝330.
[题后反思]　利用第(2)小题的方法，我们可以得到组合数的一个常用的结论：C＋C＋C＋…＋C＝C.证明过程：左边＝C＋C－C＋C－C＋…＋C－C＝C＝右边．
　m！＋＋＋…＋
[规范板书]　原式＝m！(1＋C＋C＋…＋C)
＝m！(C＋C＋…＋C)
＝m！(C＋C＋…＋C)
＝…＝m！C＝
[题后反思]　对阶乘公式的熟练运用是本题的突破口，在提取出m！后，再运用性质2进行化简.
例3　在5名男医生和2名女医生中任选3人组成医疗队，问：
(1) 一共有多少种不同的方法？
(2) 选出的3人中恰有1名女医生的方法有多少种？
(3) 选出的3人中至少有1名女医生的方法有多少种？[4]
(见学生用书课堂本P46)
[处理建议]　注意“恰有”和“至少有”的区别与联系．“至少有”包含两种可能．
[规范板书]　解　(1) C＝35.
(2) CC＝20.
(3) 方法一　CC＋CC＝25.
方法二　C－C＝25.
[题后反思]　当正面需要讨论的情况较多时，常运用补集思想采用“正繁则反”的策略，用总方法数减去反面的方法数进行解答．
例4　证明下列等式：
(1) C＝C；(2) C＝C；
　 (3) C＋C＋C＋…＋C＝C.[5]
[处理建议]　(3) 式变形为：C＋C＋C＋…＋C＝C.
证明　(1) 右边＝·
＝＝C＝左边，
所以原式得证．
(2) 右边＝·
＝·
＝＝C＝左边，
所以原式得证．
(3) 左边＝(C＋C)＋C＋C＋…＋C
＝(C＋C)＋C＋…＋C
＝(C＋C)＋…＋C
＝C＋C＋…＋C＝…
＝C＋C＝C＝右边，
所以原式得证．
四、 课堂练习
1. (多选)已知m, n∈N*，且C＝C，那么m, n之间的关系可能是(AB)
A. m＝n B. m＋n＝10
C. m－n＝10 D. m·n＝10
2. C－C等于(B)
A. 398 B. 199
C. 198 D. 2
提示　原式＝C－C＝C＝199.
3. C＋2C＋C等于(A)
A. 120 B. 330
C. 720 D. 9
提示　原式＝(C＋C)＋(C＋C)＝C＋C＝C＝C＝120.
4. 化简：－＝__1__.
提示　原式＝－＝＝＝1.
五、 课堂小结
1. 理解组合数的概念，了解组合数性质的推导．
2. 能运用组合数性质解决问题．
3. 注意构造、类比的数学思想方法．[6]
[1] 通过几道运算小题，让学生初步体验组合数性质的运用．
[2] 组合数的两个性质．
[3] 对排列数与组合数公式及其性质的综合运用．
[4] 在具体情境中抽象出组合数问题．
[5] 强化提升运用公式进行化简证明的能力．
[6] 教参在研究组合数的两个性质①C＝C，② C＝C＋C时，给出了组合数定义的解释证明，即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法，由组合个数相等证出要证明的组合等式．这种构造法证明构思精巧，把枯燥的公式还原为有趣的实例，能极大地激发学习兴趣．
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