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第8课时　组合(3)
知识技能
巩固组合的概念，加深对组合数的理解．
思想方法
运用组合的知识解决应用问题．
核心素养
1. 在分析应用问题的过程中，提升数学建模素养．
2. 在解决问题的过程中发展逻辑推理素养．
重点：进一步理解组合和组合数的概念．
难点：运用组合知识解决问题．
预习教材P72，思考下面的问题：
1. 在实际问题中如何区分排列问题和组合问题？
2. 较复杂的计数应用题，常需运用分类和分步计数原理进行分析．回忆：分析问题时如何区分该使用哪种计数原理？
即时体验
1. 有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3条裤子，如果1条裤子与1件上衣配成1套，那么不同的配法有12种．
提示　先选1件上衣，共有C＝4种不同的选法；再选1条裤子，共有C＝3种不同的选法．由分步计数原理可知，共有CC＝12种不同的配法．
2. 若从3名女同学和2名男同学中选2人主持班级的某次主题班会，则不同的选法有10种．
提示　从5名同学中选2名，有C＝10种不同的选法．
3. 若从3名女同学和2名男同学中选3人主持班级的某次主题班会，且男同学与女同学至少各1名，则不同的选法有__9__种．
提示　若选2名男同学和1名女同学，有CC种不同的选法；若选2名女同学和1名男同学，有CC种不同的选法．故共有CC＋CC＝9种不同的选法．
一、 数学运用
例1　已知男运动员有6名，女运动员有4名，其中男、女队长各1人．现选派5人外出比赛，求在下列情形中各有多少种选派方法：
(1) 男运动员3名，女运动员2名；
(2) 至少有1名女运动员；
(3) 队长中至少有1人参加；
(4) 既要有队长，又要有女运动员．[1]
(见学生用书课堂本P47)
[处理建议]　问题(2)和(3)要注重直接法与间接法的灵活运用．一般涉及“至少”“至多”问题时常常采用间接法．
[规范板书]　解　(1) 第一步，选3名男运动员，有C种选法．
第二步，选2名女运动员，有C种选法．
共有CC＝120种选法．
(2) 方法一　至少有1名女运动员包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类计数原理可得总选法数为
CC＋CC＋CC＋CC＝246种．
方法二　“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．
从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种．
所以“至少有1名女运动员”的选法为C－C＝246种．
(3) 方法一　可分类求解：
“只有男队长”的选法为C，
“只有女队长”的选法为C，
“男、女队长都入选”的选法为C，
所以共有2C＋C＝196种选法．
方法二　间接法：
从10人中任选5人有C种选法，
其中不选队长的方法有C种．
所以“至少有1名队长”的选法为C－C＝196种．
(4) 当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C种选法．其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有C－C种．
所以既有队长又有女运动员的选法共有C＋C－C＝191种．
[题后反思]　同一题不妨采用多种方法加以解决，尤其是从正面和反面不同角度分析问题，可加深对问题的理解，深化分类讨论思想．
　将甲、乙、丙、丁4名学生分到3个不同的班，每个班至少分到1名学生，且甲、乙2名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为多少？
[规范板书]　解　4名学生中有2名学生分在一个班的种数是CA种，而甲、乙被分在同一个班的有A种，所以所求种数是CA－A＝30.
[题后反思]　本题也可从正面分析．当分在同一班的学生中有甲或乙时，方法数是CCA＝24种，当分在同一班的学生中没有甲或乙时，方法数是A＝6种．故所求种数是CCA＋A＝30.
例2　2名女生和4名男生排成一排，问：女生甲必须排在女生乙的左边(不一定相邻)的不同排法共有多少种？[2]
(见学生用书课堂本P48)
[处理建议]　先由学生讨论，尝试不同解法，教师在学生交流中，了解学生的思考过程，纠正出现的错误．
[规范板书]　解　方法一(特殊元素优先考虑)
分两步完成：
第一步，排2名女生．由于女生顺序已定，故可从6个位置中选出2个位置，即C；
第二步，排4名男生．将4名男生排在剩下的4个位置上，有A种方法．
根据分步计数原理，不同的排法种数是
CA＝360.
方法二(除序法)
如果将6名学生全排列，共有A种排法．其中，在男生位置确定之后，女生的排法数有A种，因为女生的顺序已定，所以在这A种排法中，只有1种符合要求，故符合要求的排法种数为＝360.
[题后反思]　以元素相邻为附加条件的，应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的，可采用“插空法”；特殊元素(或位置)优先安排策略．
　3名男生和3名女生共6名同学站成一排，若男生甲不站两端，3名女生中有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是288.
提示　CA(AA－2AA)＝288.
[题后反思]　注意用“有序”和“无序”来区分排列和组合的问题.
例3　用0, 1, 2, 3, 4五个数字组成无重复数字的五位数，并按由小到大的顺序排列，试问：
(1) 42130是第几个数？
(2) 第60个数是几？[3]
(见学生用书课堂本P48)
[处理建议]　根据数的大小原则，从最高位起依次分析个数．
[规范板书]　解　比42130小的数可分为如下几类：
(1) 1××××， 2××××， 3××××型的，共CA＝72个．
40×××， 41×××型的，共CA＝12个．
420××型的，共A＝2个．
4210×型的，共1个．
故42130是第72＋12＋2＋1＋1＝88个数．
(2) 据上面分析．
第60个数是31×××型中最大的一个，即为31420.
[题后反思]　此类题型称为字典式排列问题．解题的关键在于根据题意正确地进行分类，分类的关键是采用类似查字典的方法，从高位向低位，一位一位地考察各位上数字的可能性．
　从0, 1, 2, …， 9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13500的有多少个？
[处理建议]　采用直接和间接两种解决思路，并比较两种解法的优劣，体会“正难则反”的策略．
[规范板书]　解　方法一(直接法)
满足条件的五位数有三类：
第一类，万位数大于1，这样的五位数共有CA个；
第二类，万位数为1，千位数不小于4，这样的五位数共有CA个；
第三类，万位1，千位3，百位不小于5，共有CA个．
根据分类计数原理，大于13500的五位数共有CA＋CA＋CA＝26418个．
方法二(间接法)
由0, 1, 2, …， 9这10个数字中选不同的5个数字组成的五位数共有CA个，其中不大于13 500的五位数有两类．一类是万位数都是1，且千位数小于3(只能从0, 2中选取)，这样的数共有CA个，另一类是万位1，千位3，百位小于5(只能从0, 2, 4中选取)，这样的数共有CA个，所以满足条件的五位数共有CA－CA－CA＝26 418个．
[题后反思]　解排列组合实际应用题的“正难则反”策略，直接分类与间接剔除要做到不漏不重．
例4　有4个不同的球，4个相同的盒子，把球全部放入盒子内．
(1) 恰有1个盒子不放球，共有几种放法？
(2) 恰有1个盒子内有2个球，共有几种放法？
(3) 恰有2个盒子不放球，共有几种放法？[4]
[处理建议]　通过图形演示将抽象问题直观化，抓住问题本质将复杂问题简单化．
[规范板书]　解　(1) 为保证“恰有1个盒子不放球”，先从4个盒子中任意取出1个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2, 1, 1的3组，又因为4个盒子相同，所以共有C＝6种．
(2) “恰有1个盒子内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有1个空盒子，因此，“恰有1个盒子内有2个球”与“恰有1个盒子不放球”是同一件事，所以共有6种放法．
(3) 4个球放进2个盒子可分成(3, 1), (2, 2)两类，第1类有序不均匀分组有CC种方法；第2类有序均匀分组有种方法．
故共有CC＋＝7种．
[题后反思]　是否是均匀分组，主要看每组的元素个数是否相同，同时要兼顾是否受顺序的影响．
　有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．
(1) 恰有1个盒子不放球，共有几种放法？
(2) 恰有1个盒子内有2个球，共有几种放法？
(3) 恰有2个盒子不放球，共有几种放法？
[规范板书]　解　(1) 为保证“恰有1个盒子不放球”，先从4个盒子中任意取出1个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2, 1, 1的3组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有CCCA＝144种．
(2) “恰有1个盒子内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有1个空盒子，因此，“恰有1个盒子内有2个球”与“恰有1个盒子不放球”是同一件事，所以共有144种放法．
(3) 确定2个空盒子有C种方法．
4个球放进2个盒子可分成(3, 1), (2, 2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法，第二类有序均匀分组有·A种方法．
故共有C＝84种．
[题后反思]　涉及是否均匀分组的问题，可以通过树状图等工具从“有序”或“无序”的角度进行分析．
二、 课堂练习
1. (多选)从2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 29这八个数中任取两个，则其中不是组合问题的是(CD)
A. 相加，可得到多少个不同的和
B. 相乘，可得到多少个不同的积
C. 相减，可得到多少个不同的差
D. 相除，可得到多少个不同的商
提示　从“有序”和“无序”的角度来判断是组合问题还是排列问题．
2. 现有2个红球和4个黄球，同色球不加以区分，将这6个球排成一列，则不同的排法种数为(A)
A. 15 B. 30
C. 10 D. 20
提示　共有CC＝15种不同的排法．
3. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方案种数为(B)
A. 72种 B. 36种
C. 24种 D. 12种
提示　从3名志愿者中选1人完成2项工作，有C种不同的选法；从4项工作中选2项由1人完成，有C种不同的选法；剩下2人和2项工作，有2种安排方案，故共有2CC＝36种不同的安排方案．
4. (1) 九年级要举行班级篮球赛，如果九年级8个班中的任何2个班都比赛1次，那么需要安排多少场比赛？
(2) 列车从始发站到达终点站共停靠8站，单程需要制作多少种不同的纸质火车票？
(3) 汽车公司从12辆客车中选派3辆客车运送高二年级同学去秋游，有多少种不同的选法？
解　(1) 九年级8个班举行班级篮球赛，由于每2个班都比赛1次，比赛的2个班级无次序问题，所以需要安排C＝＝28场比赛．
(2) 列车从始发站到达终点站共停车8站，一共是9站，每2个站之间要制作车票．只考虑单程，相当于不考虑次序．于是，单程需要制作C＝＝36种火车票．
(3) 汽车公司从12辆客车中选派3辆客车运送高二年级同学去秋游，不用考虑3辆车的次序，因而有C＝＝220种选法．
三、 课堂小结
对于排列组合的综合性问题，分步考虑时要注意不重不漏，能够做到一题多解，检验结果．[5]
[1] 对于“至少”“至多”问题，正面考虑比较复杂时，采用间接法将复杂问题简单化.
[2] 考查有约束条件的排列组合问题．
[3] 运用分类讨论思想解决排列、组合的综合问题．
[4] 对于排列组合的综合性问题，分步考虑时要注意不重不漏．
[5] 排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握，许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗．
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