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第9课时　二项式定理
知识技能
掌握二项式定理和二项展开式的通项公式．
思想方法
培养归纳猜想、抽象概括、演绎证明等理性思维能力．
核心素养
1. 在通过归纳推理得到一般性结果的过程中，发展逻辑推理素养．
2. 在运用(a＋b)n展开式处理问题的过程中，提升数学建模和数学运算素养．
重点：用计数原理分析(a＋b)n的展开式，得到二项式定理．
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．
问题导引
预习教材P75～77内容，思考下面的问题：
1. 回顾初中学习的多项式乘法法则，(a1＋a2)(b1＋b2)的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？
解　(a1＋a2)(b1＋b2)＝a1b1＋a1b2＋a2b1＋a2b2，展开式有4项．引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习做准备．
2. (a＋b)3的展开式是什么？
解　(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝Ca3＋Ca2b＋Cab2＋Cb3.
3. 什么是二项式定理？它的通项是什么？
解　(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)，通项为Tr＋1＝Can－rbr.
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1. (a＋b)(c＋d)(e＋f)展开后共__8__项．
2. (a＋b)5的展开式中含a2b3的项的系数是10,_ab5不是展开式中的一项(填“是”或“不是”)．
3. 化简：(1＋)5＋(1－)5＝2＋20x＋10x2.
一、 问题情境
问题1　二项式定理研究的是(a＋b)n的展开式，如：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2, (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3, (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4，那么(a＋b)n的展开式是什么？[1]
探究1　不运算(a＋b)3，能否回答下列问题(请以两人为一小组进行讨论)：
(1) 合并同类项之前展开式有多少项？
(2) 展开式中有哪些不同的项？
(3) 各项的系数为多少？
(4) 从上述3个问题，你能否得出(a＋b)3的展开式？
探究2　仿照上述过程，请你推导(a＋b)4的展开式．
[规范板书]　解　(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)·(a＋b)的各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：a4, a3b, a2b2, ab3, b4.展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C种，a4的系数是C；恰有1个取b的情况有C种，a3b的系数是C；恰有2个取b的情况有C种，a2b2的系数是C；恰有3个取b的情况有C种，ab3的系数是C； 4个都取b的情况有C种，b4的系数是C.
所以(a＋b)4＝Ca4＋Ca3b＋Ca2b2＋Cab3＋Cb4.[2]
探究3　仿照上述过程，请你写出(a＋b)n的展开式.
问题2　在(a＋b)n展开式中，项的形式结构为何形如“an－rbr”，你的依据是什么？
(a＋b)n是n个(a＋b)相乘，每个(a＋b)在参与运算时，都贡献一个a或b，故每个乘积的项必为an－rbr结构.
问题3　如何确定展开式中各项的系数？
由分步计数原理可知展开式共有2n项(包括同类项)，其中每一项都是an－rbr(r＝0, 1, …， n)的形式，对于每一项an－rbr，它是由r个(a＋b)选了b, n－r个(a＋b)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(a＋b)中取r个b的组合数C，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．[3]
二、 数学建构
一般地，由(a＋b)n＝可知，其展开式是从每个括号里各取1个字母的一切可能乘积的和．可见，(a＋b)n的展开式中的项都具有an－rbr的形式，其系数就是在(a＋b)(a＋b)…(a＋b)的n个括号中选r个b的方法种数．
二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*).
(1) (a＋b)n的展开式的各项都是__n__次式，各项如下：__an__,_an－1b,_…， an－rbr,_…， __bn__；
(2) 它有n＋1项，C(r＝0, 1, …n)叫二项式系数；
(3) Can－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Can－rbr；
(4) 二项式定理中，设a＝1, b＝x，则(1＋x)n＝1＋Cx＋…＋Cxr＋…＋xn.
三、 数学运用
例1　(教材P76例1(2))利用二项式定理展开4.[4]
(见学生用书课堂本P49)
[处理建议]　二项式定理的直接应用，明确其中的a, B.
[规范板书]　解　方法一　4＝1＋C＋C2＋C3＋4＝1＋＋＋＋.
方法二　4＝4 (x＋1)4＝4＝1＋＋＋＋.
[题后反思]　应用二项式定理时关键是把握展开式的通项Tr＋1＝Can－rbr.
　用二项式定理展开6.
[规范板书]　解　6＝(2x－1)6＝[(2x)6－C(2x)5＋C(2x)4－C(2x)3＋C(2x)2－C(2x)＋1]＝64x3－192x2＋240x－160＋－＋.
思考1　展开式的第3项的系数是多少？
思考2　展开式的第3项的二项式系数是多少？
思考3　你能否直接求出展开式的第3项？
[题后反思]　熟悉二项展开式，提高运算能力，也可以简单变形后再运用定理展开.
例2　求9的展开式中含x3项的系数及二项式系数．[5]
(见学生用书课堂本P49)
[处理建议]　要求展开式中某些特定的项或特定的系数时，可以不必写出全部的展开式，只需利用通项即可．
[规范板书]　解　因为9的展开式的通项是Tr＋1＝Cx9－rr＝(－1)rCx9－2r，所以9－2r＝3, r＝3.
故含x3项的系数为(－1)3C＝－84，含x3项的二项式系数为C＝84.
[题后反思]　熟练掌握展开式的通项，理解二项式系数与系数的区别．
　求(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)10的展开式中含x3项的系数．
[规范板书]　解　(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)10＝＝，
所以原式中含x3的项实为这分子中含x4的项，则所求系数为C＝330.
例3　(1) 求9的展开式的常数项；
(2) 求9的展开式的中间两项．[6]
(见学生用书课堂本P50)
[处理建议]　先将通项进行化简，再结合题目的具体要求，利用方程解出r的值．
[规范板书]　解　因为Tr＋1＝C9－rr＝C32r－9x9－r.
(1) 当9－r＝0，即r＝6时展开式是常数项，即常数项为T7＝C33＝2 268.
(2) 9的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，T5＝C38－9x9－6＝42x3, T6＝C310－9x9－＝378.
[题后反思]　对于此类题型，准确判断通项中r的数值是关键步骤．
　已知n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，求展开式中所有的有理项．
[规范板书]　解　由题意2C·＝1＋C·2，
即n2－9n＋8＝0，
解得n＝8或1(舍去)．
所以Tr＋1＝C()8－rr＝(－1)r··x4－r(0≤r≤8, r∈Z)．
因为Tr＋1是有理项，所以4－r∈Z，
则r＝0, 4, 8.
即展开式中有三项是有理项，分别是
T1＝x4, T5＝x, T9＝
[题后反思]　有理项要求x的指数为整数，有时要逐步进行验证．常数项也是有理项，是x的指数为0的情况．
例4　求(x2＋3x－4)4的展开式中x的系数．[7]
[处理建议]　先把三项中某两项结合起来看成一项，用二项式定理展开后，再使用一次二项式定理．也可以先将三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开．
[规范板书]　方法一　(x2＋3x－4)4＝[(x2＋3x)－4]4＝C(x2＋3x)4－C(x2＋3x)3·41＋C(x2＋3x)2·42－C(x2＋3x)1·43＋C(x2＋3x)0·44.
显然，上式中仅第四项中有含x的项．
故展开式中含x项的系数是－C·3·43＝－768.
方法二　(x2＋3x－4)4＝(x－1)4(x＋4)4＝(Cx4－Cx3＋Cx2－Cx＋C)·(Cx4＋Cx3·4＋Cx2·42＋Cx·43＋C·44)．
故展开式中含x的项的系数是－C44＋C43＝－768.
[题后反思]　二项展开式的通项，反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，复杂问题的转化过程有助于提升学生的数学运算素养．
　已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n(m, n∈N*)的展开式中x的系数为19，求f(x)展开式中x2的系数的最小值．
[规范板书]　f(x)＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxm＋1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝2＋(C＋C)x＋(C＋C)x2＋…
由题意，m＋n＝19, m, n∈N*，所以x2的系数为C＋C＝＋＝＋＝2＋.
因为m∈N*，所以当m＝9或10时，上式最小值为81.
即m＝9, n＝10或m＝10, n＝9时，x2的系数最小，最小值为81.
[题后反思]　注意运用m的整数性和二次函数的性质求解最值．
四、 课堂练习
1. (2a＋3b)6的展开式中的第3项是(D)
A. Ca3b3 B. Ca4b2
C. C(2a)3(2b)3 D. C(2a)4(3b)2
提示　T2＋1＝C(2a)4(3b)2＝2160a4b2.
2. (x＋a)12的展开式中的倒数第4项是(A)
A. Cx3a9 B. Cx2a10
C. Ca3x9 D. Ca2x10
提示　(x＋a)12的展开式中共有13项，它的倒数第4项是第10项，T9＋1＝Cx12－9a9＝Cx3a9＝220x3a9.
3. (多选)7的展开式中的有理项的项数是(ACD)
A. 1 B. 3
C. 4 D. 7
提示　Tr＋1＝C7－rr＝(－1)r·7－r·Cx7－r，令7－r＝0，则r＝0, 3, 6，故T1, T4, T7为有理项．
4. 若(1＋3x)n的展开式中含x2的项的系数为54，则n＝__4__.
提示　由二项式定理的通项得Tr＋1＝C(3x)r＝C3rxr，令r＝2得C32＝54，解得n＝4.
五、 课堂小结
1. 牢记并熟练运用公式：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．
2. 思想方法：从特殊到一般的思维方式；用计数原理分析二项式的展开过程．[8]
[1] 把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题．
[2] 通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对(a＋b)3的展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导(a＋b)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．
[3] 通过仿照(a＋b)3, (a＋b)4展开式的探究方法，由学生类比得出(a＋b)n的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．
[4] 巩固二项式定理，明确a, b可以是数，也可以是单项式，还可以是多项式．
[5] 熟练掌握通项Tr＋1＝Can－rbr形式及应用．
[6] 求展开式中的特定项．
[7] 多项式展开时可运用化归思想转化为二项展开式情形再求解．
[8] 二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题―探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律4个阶段，让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．
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