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第10课时　二项式系数的性质及应用
知识技能
了解二项式系数的4个性质．
思想方法
培养观察发现、抽象概括及分析解决问题的能力．
核心素养
1. 在杨辉三角的探索中发展数学建模素养．
2. 在运用二项式系数的性质解决问题的过程中提升逻辑推理和数学运算素养．
重点：二项式系数的对称性、单调性；合理赋值，巧妙求解．
难点：综合运用展开式、通项、二项式系数的性质解题．
问题导引
预习教材P78～79，思考下面的问题：
1. 二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．其中，二项式系数有什么规律？
2. 运用所学知识证明C＝C(其中m, n∈N*, m≤n)．
3. 求证：当r<时，C时，C>C(其中，n，r∈N*)．该结论用语言表述为二项式系数从两端向中间逐渐增大.
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1. (x＋2y)5的展开式中，各项二项式系数之和是__25__，各项系数之和是__35__.
2. (x＋y)12的展开式中，与第3项系数相等的项是第11项，第__7__项的二项式系数最大．
3. 如果(x＋1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，那么a0＋a1＋a2＋…＋a7＝__27__.
一、 问题情境
问题1　“杨辉三角”中的数有什么规律？
(a＋b)n展开式的二项式系数，当n依次取1, 2, 3, …时，二项式系数表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．
(图1)
问题2　杨辉三角形各行的每一个数字，与二项展开式相比，有何关系？
(a＋b)n＝1·an＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cabn－1＋1·bn
问题3　(a＋b)n展开式的二项式系数C， C， C， …， C， …， C可以用函数来刻画吗？
(a＋b)n展开式的二项式系数是C， C， C， …， C. C可以看成以r为自变量的函数f(r)，定义域是{0, 1, 2, …， n}，当n＝6时，其图象是7个孤立的点(如图)．
(图2)
二、 数学建构
二项式系数的性质：
一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数C， C， C， …， C有如下的性质：
1. 对称性
在(a＋b)n展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C.
2. “两肩和”
C＋C＝C.
3. 增减性与最大值
当r<时，二项式系数逐渐增大，即C时，C>C；且在中间取得最大值；
当n是偶数时，中间一项的二项式系数Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数Cn与Cn取得最大值．
原因如下：
C＝
＝C·，
所以C相对于C的增减情况由决定，>1 k<.
4. 各二项式系数和
由二项式定理可知(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn.
令x＝1，得C＋C＋C＋…＋C＝2n；
令x＝－1，得C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
三、 数学运用
例1　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
(1) 求a1＋a2＋…＋a7的值；
(2) 求a1＋a3＋a5＋a7的值；
(3) 求|a0|＋|a1|＋…＋|a7|的值．[1]
(见学生用书课堂本P51)
[处理建议]　对x赋值求解．
[规范板书]　解　(1) 当x＝1时，(1－2x)7＝(1－2)7＝－1，展开式右边为a0＋a1＋a2＋…＋a7，
所以a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，
当x＝0时，a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2.
(2) 令x＝1，a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.　①
令x＝－1，
a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.　②
①－② 得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－1－37，
所以a1＋a3＋a5＋a7＝－＝－1 094.
(3) 由展开式知a1, a3, a5, a7均为负，a0, a2, a4, a8均为正，
所以由(2) 中①＋② 得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝－1＋37，
所以a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093；
故|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝37＝2 187.
[题后反思]　要善于用赋值法解决问题．
　若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为__1__.
[规范板书]　(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)．
令x＝1，得(2＋)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
令x＝－1，得(2－)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4，
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2
＝(2＋)4×(2－)4
＝[(2＋) ×(2－)]4
＝1.
[题后反思]　涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法.
例2　在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1) 各项二项式系数的和；
(2) 各项系数的和；
(3) 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4) 奇数项的系数和与偶数项的系数和；
(5) x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．[2]
(见学生用书课堂本P51)
[处理建议]　因为二项式系数特指组合数C，故在(1)、(3)中只需求组合数的和，而与二项式2x－3y中的系数无关．
[规范板书]　解　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*)，
各项系数和即为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.
由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．
(1) 二项式系数和为C＋C＋…＋C＝210.
(2) 令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
(3) 奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29，
偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.
(4) 令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，　①
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，　②
①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，
所以奇数项的系数和为；
①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，
所以偶数项的系数和为.
(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝，
x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.
[题后反思]　 要把“二项式系数的和”与“各项系数和”、“奇(偶)数项系数和”与“奇(偶)次项系数和”严格地区别开来，“赋值法”是求系数和的常规方法之一.
例3　已知(＋x2)2n的展开式各项的系数和比(3x－1)n的展开式各项的系数和大992，求2n的展开式中：(1) 二项式系数最大的项；(2) 系数的绝对值最大的项．[3]
(见学生用书课堂本P52)
[处理建议]　利用展开式的通项公式，得到系数的不等式，进而求出其系数最大的项．
[规范板书]　解　由题意得22n－2n＝992，解得n＝5.
(1) 10的展开式中第6项的二项式系数最大，
即T6＝T5＋1＝C·(2x)5·5＝－8064.
(2) 设第r＋1项的系数的绝对值最大，
则Tr＋1＝C·(2x)10－r·r
＝(－1)r·C·210－r·x10－2r，
所以
得即
所以≤r≤，所以r＝3，
故系数的绝对值最大的是第4项．
[题后反思]　 区别二项式系数与项的系数．
　在n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.
(1) 求展开式中二项式系数最大的项；
(2) 求展开式中系数最大的项．
[规范板书]　解　令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n，
又展开式中二项式系数和为2n，
所以22n－2n＝992，所以n＝5.
(1) 因为n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
所以T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，
T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.
(2) 设展开式中第r＋1项系数最大，则Tr＋1＝C(x)5－r(3x2)r＝3rCx，
所以 ≤r ≤，所以r＝4，
即展开式中第5项系数最大，
T5＝C(x)(3x2)4＝405x.
[题后反思]　区别系数最大项与二项式系数最大项的不同解法.
例4　已知Sn＝2n＋C2n－1＋C2n－2＋…＋C·2＋1(n∈N*)，求证：当n为偶数时，Sn－4n－1能被64整除．[4]
(见学生用书课堂本P52)
[处理建议]　由二项式定理的逆用化简Sn，再把Sn－4n－1变形，化为含有因数64的多项式．
[规范板书]　解　因为Sn＝2n＋C2n－1＋C2n－2＋…＋C·2＋1＝(2＋1)n＝3n，
所以Sn－4n－1＝3n－4n－1.
因为n为偶数，所以设n＝2k(k∈N*)，
所以Sn－4n－1＝32k－8k－1＝(8＋1)k－8k－1＝C8k＋C8k－1＋…＋C8＋1－8k－1＝C8k＋C8k－1＋…＋C82 (*)，
当k＝1时，Sn－4n－1＝0显然能被64整除；
当k≥2时，(*)式能被64整除．
所以当n为偶数时，Sn－4n－1能被64整除．
[题后反思]　利用二项式定理可以解决有关整除的问题．
　求1 99911除以8的余数．
[规范板书]　解　1 99911＝(2 000－1)11＝C·2 00011－C·2 00010＋C·2 0009－…＋C·2 000－1＝2 000(200010－C20009＋C20008－…＋C)－1＝2000k＋7－8＝8(250k－1)＋7，k∈Z，
由上面展开式可知199911除以8的余数是7.
[题后反思]　此类题型的解题策略是将被除数的底数改写成除数的整数倍±1，再按二项式定理展开．
四、 课堂练习
1. 已知(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4为(B)
A. 20 B. 16
C. 10 D. 4
提示　a4＝22C＋2C＝16.
2. (3x4－x3－2x－3)102(3x－5)4(7x3－5x－1)67的展开式中各项系数的和是(A)
A. 16×3102 B. －54×3102
C. －16×3169 D. －16×3102
提示　设f(x)＝(3x4－x3－2x－3)102(3x－5)4(7x3－5x－1)67＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N)，
其各项系数和为a0＋a1＋a2＋…＋an.
因为f(1) ＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝(3－1－2－3)102×(3－5)4×(7－5－1)67＝16×3102，
所以各项系数和为16×3102.
3. (多选)(3－2x)9的展开式中系数的绝对值最大的项是(BC)
A. 第3项 B. 第4项
C. 第5项 D. 第6项
提示　(3－2x)9的展开式的通项为Tr＋1＝C·39－r·(－2x)r＝(－2)r·C·39－r·xr.设第r＋1项系数的绝对值最大，则
即所以3≤r≤4且r∈N，
所以r＝3或r＝4，
故系数的绝对值最大的项为T4或T5.
4. 求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．
证明　32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝8n＋1＋C·8n＋…＋C·8＋1－8n－9＝8n＋1＋C·8n＋…＋C·82＝82(8n－1＋C·8n－2＋…＋C)．
因为8n－1＋C·8n－2＋…＋C是整数，
所以32n＋2－8n－9能被64整除．
五、 课堂小结
1. 性质1和2是组合数公式的再现，性质3是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质4是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和．
2. 因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．[5]
[1] 用赋值法求有关展开式系数和的问题．
[2] 进一步熟悉4个性质，了解概念间的区别和联系．
[3] 巩固展开式的性质．
[4] 利用二项式定理解决整除或余数问题．建立数学模型，学会将实际问题抽象为与二项式定理有关的数学问题.
[5] 本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，通过问题引导，师生互动，重在培养学生观察问题、发现问题、归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．
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