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章末复习　考法探究&素养提升
知识技能
理解两个计数原理，运用排列、组合、二项式定理解决简单的实际问题．
思想方法
经历分析问题、解决问题这一过程，学会归纳转化，以及把实际问题抽象成数学问题的能力，和学以致用的数学应用意识．
核心素养
通过本章内容的学习，结合相关知识，在解决实际问题的过程中，重点发展数学建模、逻辑推理和数学运算等核心素养．
一、 要点回顾
(一) 本章知识结构图
(二) 本章中涉及的数学核心素养
核心素养 在计数原理单元的具体表现
数学建模 在计数原理的教学中，结合具体情况，理解问题的模型背景，抽象出问题的数学本质
逻辑推理 发现和探索两个基本计数原理、排列、组合、二项式定理的相关知识，在实际问题中进行转化化归
数学运算 理解排列数公式、组合数公式及二项式系数的性质的原理，设计具体问题的解题思路
(三) 知识回顾
1. 分类计数原理和分步计数原理
(1) 分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有m＋n种不同的方法．
(2) 分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有m×n种不同的方法．
2. 排列与排列数
(1) 排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2) 根据排列的定义，两个排列相同的充要条件：①两个排列的元素完全相同；②元素的排列顺序也相同．
(3) 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
(4) 排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n, m∈N*, m≤n)．
(5) 全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫作n个元素的一个全排列．
(6) 正整数1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n！表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成A＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝n！.规定：0！＝1.
3. 组合与组合数
(1) 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2) 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
(3) 组合数公式：
C＝＝或C＝(n, m∈N*，且m≤n)．规定：C＝1.
(4) 组合数的性质1：C＝C__；
组合数的性质2：C＝C＋C.
4. 二项式定理和二项式系数的性质
(1) 二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn,_n∈N*.
(2) 展开式右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3) 二项式系数：各项的系数C(r＝0, 1, 2, …， n)叫作二项式系数．
(4) 二项式通项：(a＋b)n展开式的第r＋1项叫作二项式通项，记作Tr＋1＝Can－rbr.
(5) 在杨辉三角中，在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数相加，即C＝C＋C.
(6) 增减性与最大值：
C＝＝C，即＝，所以当＞1，即k＜时，C随k的增大而增大；由对称性知，当k＞时，C随k的增大而减小．当n是偶数时，中间的一项Cn取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cn与Cn相等，且同时取得最大值．
(四) 注意要点
1. 计数问题
(1) 应用两个计数原理解决问题要注意明确是分类还是分步问题．
(2) 有条件限制的排列与组合问题要遵循两个原则，一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步．
2. 二项式定理
(1) 分清Tr＋1＝Can－rbr是第r＋1项，而不是第r项．
(2) 展开式中第r＋1项的二项式系数C与第r＋1项的系数不一定相同．
(3) 通项中含有a, b, n, r, Tr＋1等五个元素，只要知道其中四个元素，就可以求出第五个元素．
(4) 求展开式中的常数项、有理项和系数最大的项时，一般要根据通项公式讨论对r的限制．
二、 考法探究
考法1　组合问题
例1　某市公租房的房源位于A, B, C3个片区，设每位申请人只申请其中1个片区的房源，求该市的任意4位申请人中：
若没有人申请A片区的房源，则有多少种不同的申请方案？[1]
(见学生用书课堂本P54)
[处理建议]　解决计数问题，指导学生要善于设计完成一件事情的合理的过程．
[规范板书]　解　“没有人申请A片区的房源”可以分成4步完成，即4位申请人依次从B, C2个片区中申请1个，根据分步计数原理，“没有人申请A片区的房源”的申请方案有2×2×2×2＝16种．
答：没有人申请A片区房源，有16种不同的申请方案；每个片区的房源都有人申请，有36种不同的申请方案．
[题后反思]　本题用了分步计数原理，要分清分类计数原理和分步计数原理的区别．在利用乘法原理解决“重复元素”问题时要注意谁选择谁．
题组训练
1. 在例1的条件下，若恰有1个申请人申请A片区房源，则有多少种不同的选法？
解　有1个申请人申请A片区房源有C种，其他3人从B, C2个片区中申请有23种，因此根据分步计数原理得不同选法的种数为C23＝32.
2. 在例1的条件下，若每个片区的房源都有人申请，则有多少种不同的申请方案？
解　“每个片区的房源都有人申请”可以分为2步完成：先从4个人中选2个人作为1个元素，有C种，再将这3个元素全排列．故每个片区的房源都有人申请的不同选法有CA＝36种．
考法2　排列问题
例2　(1) 7人站成一排照相，要求甲、乙、丙3人相邻，有多少种不同的排法？
(2) 7人站成一排照相，要求甲、乙、丙3人不相邻，有多少种不同的排法？[2]
(见学生用书课堂本P55)
[处理建议]　相邻问题用“捆绑法”，不相邻问题用“插空法”．
[规范板书]　解　(1) 先把甲、乙、丙3人“捆绑”看做1个元素，与其余4个元素进行排列，再对甲、乙、丙3人进行排列，共AA＝720种．
(2) 先让其余4人站好，有A种排法，这时有5个“空隙”可供甲、乙、丙选取，即A种．共AA＝1 440种排法．
答：甲、乙、丙3人相邻有720种不同的排法，甲、乙、丙3人不相邻有1 440种不同的排法．
[题后反思]　对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，作为一个“大”的元素，与其他元素排列，然后再对相邻元素的内部进行排列．对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙间插入即可．
题组训练
1. 5名学生和2位老师站成一排合影．
(1) 若2位老师相邻，则排法种数为1440.
(2) 若2位老师不相邻，则排法种数为3600.
(3) 若2位老师中间隔2名学生，则排法种数为960.
提示　(1) 先把2位老师 “捆绑”看做1个元素，与其余5个元素进行排列，再对2位老师进行排列．共有AA＝1440种排法．
(2) 先让5名学生站好，有A种排法，这时有6个“空隙”可供2位老师选取，即A种．共AA＝3600种排法．
(3) 先选2位学生把2位老师隔开“捆绑”看做1个元素，与其余3个元素进行排列，再对2位老师和2名学生进行排列．共有AAA＝960种排法．
考法3　排列与组合综合问题
例3　现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机4项中的1项，每项工作至少有1人参加．甲、乙不会开车但能从事其他3项工作，丙、丁、戊这4项工作都能胜任，求不同安排方案的种数．[3]
(见学生用书课堂本P55)
[处理建议]　解本题的关键是甲、乙不会开车，因此对“司机”这个特殊岗位优先考虑，并进行分类．
[规范板书]　解　分两类：
第一类，有2人从事司机工作，则方案有CA＝18；
第二类，有1人从事司机工作，则方案有CCA＝108种．
所以共有18＋108＝126种．
答：不同安排方案的种数为126.
[题后反思]　处理排列组合综合性应用题，一般方法是先选元素(组合)后排列，按元素性质分类和按事件发生的连续过程分步．
题组训练
1. 由1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字且1, 2都不与5相邻的五位数，这样的五位数的个数为36.
提示　如果5在两端，则1, 2有3个位置可选，排法为2AA＝24种．
如果5不在两端，则1,2只有2个位置可选，3AA＝12种．
所以共有12＋24＝36种．
2. 用数字1, 2, 3, 4, 5组成无重复数字的四位偶数有48个．
提示　CA＝48.
3. 由1, 2, 3, 4, 5组成无重复数字的五位数，其中比21534大的有91个．
提示　第一类：万位是3, 4, 5的数，共CA＝72个．
第二类：万位是2，千位是3, 4, 5的数，共CA＝18个．
第三类：万位是2，千位是1，百位是5的数，有21543这一个．
所以共计72＋18＋1＝91个．
4. 从1, 3, 5, 7中任取2个数字，从0, 2, 4, 6, 8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数的个数为300.
解　将问题分成3类：① 含数字5，不含数字0，则有C·C种选法，将5排在末位，则有A种选法，由分步计数原理得共有C·C·A＝108(个)；② 含数字0，不含数字5，则有C·C种选法，将0排在末位，则有A种方法，由分步计数原理得共有C·C·A＝72(个)；③ 含数字0，也含数字5，则有C·C种选法．若0在末位，则有A种方法，若0不在末位，则有C·A种方法，所以共有CC(A＋CA)＝120(个)．根据分类计数原理，其中能被5整除的四位数共有108＋72＋120＝300(个)．
[题后反思]　将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步，对于元素平均分组时，要注意不能考虑顺序．同时能够做到多解验证，从不同角度和不同方向去思考．
考法4　分组问题
例4　将甲、乙、丙、丁4名学生分到3个不同的班，每个班至少分到1名学生．
(1) 有多少种不同的分法？
(2) 甲、乙2名学生不能分到同一个班，有多少种不同的分法？[4]
(见学生用书课堂本P56)
[处理建议]　注意有序与无序的区别．
[规范板书]　解　(1) 4名学生中有2名学生分在一个班的种数是C，顺序有A种，共有CA＝36种．
(2) 用间接法解答：若甲、乙被分在同一个班有A种，所以种数是CA－A＝30.
答：每个班至少分到1名学生，有36种不同的分法；甲、乙两名学生不能分到同一个班，有30种不同的分法．
[题后反思]　正难则反，采用间接法解题有时更方便，特别当题目中出现“至多”或“至少”等，往往采用间接法．
题组训练
1. 有6本不同的书按下列方式分配，各有多少种不同的分配方式：
(1) 分成1本、2本、3本三组：60.
(2) 分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本：360.
(3) 分成每组都是2本的三组：15.
(4) 分给甲、乙、丙三人，每人2本：90.
提示　(1) C·C·C＝60；
(2) C·C·C·A＝360；
(3) ＝15；
(4) C·C·C＝90.
考法5　二项展开式的系数问题
例5　已知(1＋x＋x2)6，求：
(1) 展开式中的常数项；
(2) 展开式中含x2项的系数．[5]
(见学生用书课堂本P56)
[处理建议]　思考如何求某一项的系数，以及它与二项式通项的联系．
[规范板书]　解　6的展开式的通项为
Tr＋1＝C(－1)rx6－2r，
(1) 当r＝3时，T4＝－C＝－20；当r＝4时，T5＝Cx－2＝15x－2，因此常数项为－20＋15＝－5.
(2) 当r＝2时，T3＝C(－1)2x2＝15x2；当r＝3时，T4＝－C＝－20，因此所求的系数为15－20＝－5.
[题后反思]　解决本题的关键是写出展开式的通项，求常数项就是使变元x不出现，即指数为0.
题组训练
1. 在5的二项展开式中，含x的项的系数是(B)
A. 40 B. －40
C. 10 D. －10
提示　Tr＋1＝C·(2x2)5－r·r
＝C·25－r·(－1)r·x10－3r.
令10－3r＝1，得r＝3.
所以系数为C·22·(－1)3＝－40.
2. 在(x－1)(x＋1)8的展开式中，含x5的项的系数是(C)
A. 70 B. 56
C. 14 D. 126
提示　含x5的项为x·Cx4＋(－1)·Cx5＝70x5－56x5＝14x5.
3. 10展开式中的有理项为(BCD)
A. 第2项 B. 第3项
C. 第6项 D. 第9项
提示　Tr＋1＝C·x·(－3)r·x－＝C·(－3)r·x，令∈Z，因为0≤r≤10, r∈N，所以r＝2, 5, 8.
4. 3的展开式中的常数项为(D)
A. 20 B. 15
C. 2 D. －20
提示　3＝6.
Tr＋1＝C·()6－r·(－1)r·()－r＝C·(－1)r·()6－2r.
令6－2r＝0，得r＝3, T4＝－C＝－20.
考法6　二项展开式的系数和问题
例6　若(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021x2 021(x∈R)，求：
(1) a0＋a1＋a2＋…＋a2 021的值；
(2) a1＋a3＋a5＋…＋a2 021的值；
(3) ＋＋＋…＋的值．[6]
(见学生用书课堂本P57)
[处理建议]　分清楚每一项的系数与二项式系数的区别，从而由某一项的系数推广到系数和．
[规范板书]　解　(1) 令x＝1得(1－2)2 021＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 021＝－1.
(2) 令x＝－1得(1＋2)2 021＝a0－a1＋a2－…＋a2 020－a2 021＝32 021，　①
又(1－2)2 021＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 021＝－1，　②
由①②联立解得
a1＋a3＋a5＋…＋a2 011＝－.
(3) a1＝C12 021(－2)1＝－2×2021，a2 020＝C(－2)2 020＝(－2)2 020×2021，则＝－2021，＝2021，即＋＝0，同理可以得出＋＝0，＋＝0，…
亦即前2020项和为0，
则原式＝＝＝－1.
[题后反思]　求二项展开式中某项的系数，需要写出通项来求；但若求的是有规律的系数和，则通常令x＝1和x＝－1就可解决．
题组训练
1. 已知(2x＋)2 020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 020x2 020(x∈R)，求：
(1) a0＋a1＋a2＋…＋a2 020的值；
(2) (a0＋a2＋a4＋…＋a2 020)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2 019)2的值．
解　(1) 令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝(2＋)2 020.
(2) 令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 018－a2 019＋a2 020＝(2－)2 020，
所以(a0＋a2＋a4＋…＋a2 020)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2 019)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 020)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 018－a2 019＋a2 020)＝(2＋)2 020(2－)2 020＝1.
考法7　二项式定理在整除中的应用
例7　求32n＋C32n－2＋C32n－4＋…＋C32被5除的余数．[7]
(见学生用书课堂本P57)
[处理建议]　要求被5除的余数，题中并没有出现5，思考如何转化，以及题中式子的特点．
[规范板书]　解　32n＋C32n－2＋C32n－4＋…＋C32＝9n＋C9n－1＋C9n－2＋…＋C9＝9n＋C9n－1＋C9n－2＋…＋C9＋C－1＝(9＋1)n－1＝10n－1＝10n－5＋4，所以余数为4.
[题后反思]　利用二项式定理证明整除的问题，关键是如何转化为二项展开式．注意余数不能为负．
题组训练
1. 9910除以1000的余数为(B)
A. 0 B. 1
C. 9 D. 99
提示　9910＝(100－1)10＝10010－C1009＋C1008－…＋C1002－C100＋C＝1000(1017－C1015＋C1013－…＋C10－1)＋1，所以余数为1.
2. 223－1除以9的余数为(D)
A. －5 B. －1
C. 0 D. 4
3. (3.002)6的近似值为731.921.(精确到0.001)
提示　(3.002)6＝(3＋0.002)6＝C·36·0.0020＋C·35·0.0021＋C·34·0.0022＋C·33·0.0023＋…＝36＋6×243×0.002＋15×81×0.000004＋…＝729＋2.916＋0.00486＋…≈731.921.
4. 2.9986的近似值为726.089.(结果精确到0.001)
提示　2.9986＝(3－0.002)6＝36－C×35×0.002＋C×34×0.0022－…≈726.089.
考法8　二项式系数与系数的最值问题
例8　在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项．[8]
(见学生用书课堂本P58)
[处理建议]　利用二项式系数的性质解题．
[规范板书]　解　由二项式系数最大项的性质可知n＝8，设展开式第r＋1项的系数最大，则有
即
解得2≤r≤3(r∈Z)，所以r＝2或3.
所以展开式中系数最大的项是
T3＝C()8－22＝7x，
T4＝C()8－33＝7x.
[题后反思]　求展开式中系数最大的项可以利用夹边不等式得出结果．要让学生明白求解原理，且与函数单调性的区别与联系．
题组训练
1. 在n的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则系数最大项是(C)
A. 第3项 B. 第4项
C. 第5项 D. 第6项
2. 已知二项式n.
(1) 若第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求二项式系数最大的项的系数．
(2) 若前3项的二项式系数之和为79，求系数最大的项．
解　(1) 由题意知2C＝C＋C，化简得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或14.若n＝7，则二项式系数最大项为T4和T5.第四项系数为，第五项系数为70.若n＝14，则二项式系数最大项为T8，第八项系数为3432.
(2) 因为C＋C＋C＝79，解得n＝12.所以12＝12(1＋4x)12.设(1＋4x)12的展开式系数最大项为Tr＋1，则有即所以≤r≤，因为r∈N*，所以r＝10.故12展开式中系数最大的项为T11＝C·2·(2x)10＝16896x10.
二、 课堂小结
1. 解排列组合题的基本思路：将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键，对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法．
2. 用直接法还是用间接法解组合题，其前提是“正难则反”．
3. 解排列组合题的基本方法：优限法，位置优先法，分类处理，分步处理，插空法，捆绑法，穷举法等．
4. 运用二项式定理和二项展开式的通项公式解决与二项展开式有关的问题时，要将“二项式系数的和”与“各项系数和”、“奇(偶)数项系数和”与“奇(偶)次项系数和”严格地区别开来，“赋值法”是求系数和的常规方法之一．
5. 涉及二项展开式的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破．[9]
[1] 考查乘法原理和组合解决实际问题．
[2] 考查有条件约束的排列问题，注意归纳方法．
[3] 考查排列与组合的混排问题．
[4] 在分组问题的求解中渗透分类讨论思想．
[5] 考查二项式展开式的通项应用．
[6] 赋值法求二项展开式的系数和问题．
[7] 二项式定理在整数性方面的应用．
[8] 二项式系数性质的运用．
[9] 1. 二项式定理揭示项数、系数、指数等方面的联系与规律，解题时应掌握和应用好通项公式Tr＋1＝Can－rbr.
2. 根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
3. 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第r＋1 项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并解此不等式组．
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