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第1节　直线的方程
考试要求　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}.
2.直线的斜率
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α.
(2)计算公式
①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝.
②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.
3.直线方程的五种形式
名称 几何条件 方程 适用条件
斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线
点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0)
两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 所有直线
1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α 0 0<α< <α<π
k 0 k>0 不存在 k<0
2.截距和距离的不同之处
“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(　　)
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　　)
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.
(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.
(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.
2.(易错题)直线xtan 60°＋y－2＝0的倾斜角为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案　C
解析　设直线倾斜角为α，
∵y＝－xtan 60°＋2，
∴直线的斜率为k＝－tan 60°＝－.
∵0°≤α＜180°，∴α＝120°.
3.(多选)(2022·烟台调研)下列说法正确的是(　　)
A.有的直线斜率不存在
B.若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan α
C.若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为
D.截距可以为负值
答案　ABD
4.(2022·沈阳模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　)
A.ab＞0，bc＜0 B.ab＞0，bc＞0
C.ab＜0，bc＞0 D.ab＜0，bc＜0
答案　A
解析　由于直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，故斜率小于0，在y轴上的截距大于0，
故故ab＞0，bc＜0.
5.(易错题)经过点(4，1)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为________________.
答案　x－4y＝0或x＋y－5＝0
解析　当直线过原点时，直线方程为y＝x，
即x－4y＝0.
当直线不过原点时，
设直线方程为＋＝1(a≠0)，
代入(4，1)，＋＝1，∴a＝5，
故直线方程是x＋y－5＝0.
6.(2021·上海卷)直线x＝－2与直线x－y＋1＝0的夹角为________.
答案　
解析　由于直线x＝－2的倾斜角为，直线x－y＋1＝0即直线y＝x＋1，其倾斜角为，故夹角为.
　考点一　直线的倾斜角与斜率
例1 (1)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.
答案　(－∞，－]∪[1，＋∞)
解析　设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).
当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－].
故斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).
(2)(2022·宿州模拟)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A.k1＜k2＜k3
B.k3＜k1＜k2
C.k3＜k2＜k1
D.k1＜k3＜k2
答案　D
解析　因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.
感悟提升　(1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.
(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性.
训练1 (1)(2021·青岛模拟)已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　)
A.k≥ B.k≤－2
C.k≥或k≤－2 D.－2≤k≤
答案　D
解析　直线l：y＝k(x－2)＋1
经过定点P(2，1)，
∴kPA＝＝－2，kPB＝＝.
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，
∴－2≤k≤.
(2)已知两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈，则直线AB的倾斜角α的取值范围是(　　)
A. B.
C.∪ D.
答案　D
解析　①当m＝－1时，α＝；
②当m≠－1时，∵k＝∈(－∞，－]∪，
∴α∈∪.
综合①②知直线AB的倾斜角α的取值范围是.
　考点二　求直线的方程
例2 (1)已知一条直线经过点A(2，－)，且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为____________________.
答案　x－y－3＝0
解析　由已知得直线x－y＝0的斜率为，
则其倾斜角为30°，
故所求直线倾斜角为60°，斜率为，
故所求直线的方程为y－(－)＝(x－2)，即x－y－3＝0.
(2)过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为______________.
答案　x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
解析　由题意可设直线方程为＋＝1，
则解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.
故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
(3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________.
答案　2x＋3y－5＝0
解析　联立解得x＝1，y＝1，
∴直线过点(1，1).
∵直线的方向向量v＝(－3，2)，
∴直线的斜率k＝－，
则直线的方程为y－1＝－(x－1)，
即2x＋3y－5＝0.
感悟提升　(1)求直线方程一般有以下两种方法：
①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.
②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程.
(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用.
训练2 (1)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________.
答案　5x－2y－5＝0
解析　设C(x0，y0)，
则M，N.
因为点M在y轴上，所以＝0，
解得x0＝－5.
因为点N在x轴上，所以＝0，
解得y0＝－3.
所以M，N(1，0)，
所以直线MN的方程为＋＝1，
即5x－2y－5＝0.
(2)过点(－2，－3)，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程是________.
答案　3x－2y＝0或x－y－1＝0
解析　①当直线过原点时，又由直线过点(－2，－3)，则其方程为y＝x，即3x－2y＝0.
②当直线不过原点时，若该直线在x轴、y轴上的截距互为相反数，设此时直线的方程为＋＝1，
又由直线过点(－2，－3)，则有＋＝1，解得a＝1，
此时直线的方程为x－y－1＝0.
综上可得，所求直线的方程为3x－2y＝0或x－y－1＝0.
(3)若一条直线经过点A(－2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为________________.
答案　x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
解析　设直线方程为y＝k(x＋2)＋2，直线与两坐标轴交点为，(0，2k＋2).
∵与两坐标轴围成的三角形的面积为1，
∴·|2k＋2|＝1，
∴|2k＋2|＝1，∴＝1.
①k＞0时，(2k＋2)2＝2k，2k2＋3k＋2＝0，无解.
②k＜0时，(2k＋2)2＝－2k，
∴2k2＋5k＋2＝0，∴k＝－2或k＝－，
则所求直线为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
　考点三　直线方程的综合应用
例3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
(1)证明　直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1).
(2)解　由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).
(3)解　由题意可知k≠0，再由l的方程，
得A，B(0，1＋2k).
依题意得解得k>0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝，等号成立，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
感悟提升　1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”.若直线的方程为y＝k(x－1)＋2，则直线过定点(1，2).
2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.
3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
训练3 已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
解　法一　设直线l的方程为
y－1＝k(x－2)，
则可得A，B(0，1－2k).
∵l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，
∴∴k＜0.
于是S△AOB＝·|OA|·|OB|
＝··(1－2k)＝
≥＝4.
当且仅当－＝－4k，即k＝－时，△AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
法二　设所求直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，则＋＝1.
又∵＋≥2，∴ab≥4，当且仅当＝＝，
即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝ab有最小值为4.
此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0.
1.倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为(　　)
A.y＝－x＋2 B.y＝－x－2
C.y＝x＋2 D.y＝x－2
答案　B
解析　斜率为tan 120°＝－，利用斜截式直接写出方程，即y＝－x－2.
2.(2022·广东七校联考)若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－2，1)
B.(－1，2)
C.(－∞，0)
D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案　A
解析　由题意知＜0，
即＜0，解得－2＜a＜1.
3.(2021·北京丰台区模拟)若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有(　　)
A.a＞0，c＞0 B.a＞0，c＜0
C.a＜0，c＞0 D.a＜0，c＜0
答案　A
解析　∵直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，
∴直线的斜率a＞0，在y轴上的截距c＞0.
4.直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
因为α∈，所以≤cos α≤，
因此k＝2cos α∈[1，].
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，].
又θ∈[0，π)，所以θ∈，
即倾斜角的取值范围是.
5.过点(0，1)且与直线2x－y＋1＝0垂直的直线方程是(　　)
A.x＋2y－1＝0 B.x＋2y－2＝0
C.2x－y－1＝0 D.2x－y－2＝0
答案　B
解析　所求直线的斜率为－，由所求直线过点(0，1)，则直线方程为y＝－x＋1，即x＋2y－2＝0.
6.过函数f(x)＝x3－x2图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为(　　)
A. B.∪
C. D.
答案　B
解析　∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴斜率k＝tan α≥－1，
解得倾斜角α∈∪.
7.在平面直角坐标系xOy中，经过点P(1，1)的直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B.若＝－2，则直线l的方程是(　　)
A.x＋2y－3＝0 B.x－2y＋1＝0
C.2x＋y－3＝0 D.2x－y－1＝0
答案　A
解析　设A(a，0)，B(0，b)，由＝－2，可得a－1＝－2×(0－1)，0－1＝－2(b－1)，则a＝3，b＝.由截距式可得直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－3＝0.
8.(多选)若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为(　　)
A.x－y＋1＝0 B.x＋y－3＝0
C.2x－y＝0 D.x－y－1＝0
答案　ABC
解析　当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，
所求直线为y＝2x，即2x－y＝0.
当直线不经过原点时，设所求直线方程为
x±y＝k，
把点A(1，2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，求得k＝－1或k＝3，
故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
9.把直线x－y＋－1＝0绕点(1，)逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是________.
答案　y＝x
解析　已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，绕点逆时针旋转15°后，得到的直线l的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，
直线l的斜率为tan α＝tan 60°＝，
∴直线l的方程为y－＝(x－1)，
即y＝x.
10.已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________.
答案　x＋13y＋5＝0
解析　BC的中点坐标为，
∴BC边上中线所在直线方程为
＝，即x＋13y＋5＝0.
11.设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l的斜率为－1，则k＝________；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝________.
答案　5　1
解析　因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2.由题意得－＝－1，解得k＝5.
直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
12.(2022·重庆质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________.
答案　－
解析　依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，
则有解得
从而可知直线l的斜率为＝－.
13.(2022·长沙调研)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　　)
A. B.[－1，0]
C.[0，1] D.
答案　A
解析　由题意知，y′＝2x＋2，
设P(x0，y0)，则在点P处的切线的斜率k＝2x0＋2.
因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，
故－1≤x0≤－.
14.(多选)已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　)
A.直线的倾斜角是π－α
B.无论α如何变化，直线不过原点
C.直线的斜率一定存在
D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
答案　BD
解析　根据直线倾斜角的范围为[0，π)，
而π－α∈R，所以A不正确；
当x＝y＝0时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；
当α＝时，直线斜率不存在，C不正确；
当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·＝≥1，所以D正确.
15.已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当a＝________时，四边形的面积最小，最小值为________.
答案　　
解析　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，故当a＝时，四边形面积的最小值为.
16.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，则直线AB的方程是________.
答案　(3＋)x－2y－3－＝0
解析　由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C.
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得
解得m＝，所以A(，).
又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.

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