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第8节　抛物线
考试要求　1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质 顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　　)
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(　　)
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.
(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y＝－.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
(4)一条直线平行于抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.
2.(易错题)抛物线y＝－x2的焦点坐标是(　　)
A.(0，－1) B.(0，1)
C.(1，0) D.(－1，0)
答案　A
解析　抛物线y＝－x2的标准方程为x2＝－4y，开口向下，p＝2，＝1，故焦点为(0，－1).
3.(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是(　　)
A.y2＝x B.x2＝y
C.y2＝－x D.x2＝－y
答案　BC
解析　设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.
4.(2020·新高考全国Ⅰ卷)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案　
解析　由题意得，抛物线焦点为F(1，0)，
设直线AB的方程为
y＝(x－1).
由得3x2－10x＋3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
所以|AB|＝x1＋x2＋2＝.
5.(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.
答案　x＝－
解析　法一　由题意易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－.
法二　由题意易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝·6，解得p＝3或p＝0(舍去)，
所以C的准线方程为x＝－.
6.(2022·龙岩一模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为A，以AF为直径的圆在第一象限交抛物线于点B，则·的值等于________.
答案　6－2
解析　设B(x0，y0).由方程组
消去y并整理，
得x2＋4x－1＝0(x≥0)，解得x0＝－2.
由题意，得F(1，0)，A(－1，0)，
∴＝(－2，0)，＝(x0－1，y0).
∴·＝(－2，0)·(x0－1，y0)＝－2(x0－1)＝2－2x0＝2－2(－2)＝6－2.
　考点一　抛物线的定义和标准方程
1.设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为(　　)
A.x＝－4 B.x＝－3
C.x＝－2 D.x＝－1
答案　A
解析　直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4，0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4，0)，∴准线方程为x＝－4.
2.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.
答案　y2＝4x
解析　设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
3.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________.
答案　y2＝3x
解析　如图，分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x.
4.(2022·广州模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|＝|PF|，则y0＝________，p＝________.
答案　2　4
解析　作PM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝|PF|，
∴在Rt△PKM中，sin∠PKM＝＝＝，
∴∠PKM＝45°，∴△PMK为等腰直角三角形，
∴|PM|＝|MK|＝4，
又知点P在抛物线x2＝2py(p＞0)上，
∴解得
感悟提升　求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
　考点二　抛物线的几何性质及应用
角度1　焦半径和焦点弦
例1 (1)已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且＝t(t＞1)，|AB|＝，则t＝(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　B
解析　∵焦点F(1，0)，设直线l为x＝λy＋1(λ≠0)，代入抛物线方程得y2－4λy－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得y1y2＝－4，①
由＝t，即(1－x1，－y1)＝t(x2－1，y2)，有y1＝－ty2，②
∴由①②得y2＝，y1＝－2或y2＝－，y1＝2，即x1＝t，x2＝，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋t＋2＝，化简得3t2－10t＋3＝0，∴t＝3或t＝(舍).
(2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.
答案　y＝±x
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线的定义：
|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，
所以|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，
可得：y1＋y2＝p，
联立方程： －＝1 －＋1＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝－＝·b2＝p，
∴p＝p ＝ ＝.
∴双曲线渐近线方程为y＝±x.
角度2　与抛物线有关的最值问题
例2 (1)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.
答案　
解析　如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A，P及P到准线的垂足三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.将y＝1代入抛物线方程求得x＝－，则点P的坐标为.
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.
答案　
解析　如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.
(3)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.
答案　2
解析　由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故最短距离为2.
感悟提升　与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
训练1 (1)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　)
A.2 B. C. D.3
答案　A
解析　由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.
∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.
(2)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.
答案　2
解析　由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
　考点三　直线与抛物线的综合问题
例3 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
解　设直线l的方程为y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
其中Δ＝144(1－2t)>0，
则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－(满足Δ>0).
所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0，
其中Δ＝4－8t>0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，
故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.
所以A(3，3)，B，故|AB|＝.
感悟提升　1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒　涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
训练2 (2022·湖州模拟)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
解　(1)设直线AP的斜率为k，
k＝＝x－，因为－＜x＜，
所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1).
(2)联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是xQ＝.
因为|PA|＝＝(k＋1)，
|PQ|＝(xQ－x)
＝－，
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，
因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，
因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.
抛物线的几个“二级结论”的应用
抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝.
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角).
(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点).
例1 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A.4 B. C.5 D.6
答案　B
解析　[通法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为
y＝k(x－1).
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得xA·xB＝1，①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，
即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|
＝xA＋xB＋p＝.
[优解]法一　由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.则sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.
法二　因为|AF|＝2|BF|，所以＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
例2 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　[通法]由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.
与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
[优解]由2p＝3，及|AB|＝
得|AB|＝＝＝12.
原点到直线AB的距离
d＝|OF|·sin 30°＝，
故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.
1.抛物线x2＝y的焦点到准线的距离是(　　)
A.2 B.1 C. D.
答案　D
解析　抛物线标准方程x2＝2py(p>0)中p的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，又p＝.故选D.
2.若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.8
答案　D
解析　由题意知，抛物线的焦点坐标为，
椭圆的焦点坐标为(±，0)，
所以＝，解得p＝8.
3.(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　)
A. B. C.(1，0) D.(2，0)
答案　B
解析　将x＝2与抛物线方程y2＝2px联立，可得y＝±2，不妨设D(2，2)，E(2，－2)，由OD⊥OE，可得·＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x.其焦点坐标为.
4.(多选)(2021·烟台调研)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则(　　)
A.C的准线方程为x＝－4
B.F点的坐标为(0，4)
C.|FN|＝12
D.三角形ONF的面积为16(O为坐标原点)
答案　ACD
解析　不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.
由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，F点的坐标为(4，0)，A正确，B错误.故|AN|＝4，|FF′|＝8，在直角梯形ANFF′中，中位线|BM|＝＝6，
由抛物线的定义有|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，
故|FN|＝|FM|＋|NM|＝6＋6＝12，C正确，而|ON|＝＝8，
SONF＝×8×4＝16，D正确.
5.设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
又焦点F，所以x1＋x2＋x3＝3×＝，
则||＋||＋||＝＋＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.
6.(多选)(2022·武汉模拟)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点.若△ABF的面积为9，则(　　)
A.|BF|＝3
B.△ABF是等边三角形
C.点F到准线的距离为3
D.抛物线C的方程为y2＝6x
答案　BCD
解析　因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以|FA|＝|FB|；又|BF|＝|FD|＝|FA|，所以∠ABD＝90°，|FA|＝|AB|，可得△ABF为等边三角形，B正确；
过F作FC⊥AB交于C，则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为－，所以A的横坐标为，代入抛物线可得y＝3p2，|yA|＝p，
△ABF的面积为9，即(xA－xB)|yA|＝··p＝9，解得p＝3，所以抛物线的方程为y2＝6x，D正确；
焦点坐标为，所以焦点到准线的距离为×2＝3，C正确；
此时点A的横坐标为，所以|BF|＝|AF|＝|AB|＝＋＝6，A不正确.
7.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.
答案　2
解析　建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).
由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.
设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米.
8.已知直线l是抛物线y2＝2px(p＞0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相切，则抛物线的方程为________.
答案　y2＝8x
解析　∵半径为3的圆与抛物线的准线l相切，
∴圆心到准线的距离等于3，
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，
∴＋＝3，∴p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.
9.直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，＋＝________.
答案　2　1
解析　由题意知＝1，从而p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x.
当直线AB的斜率不存在时，将x＝1代入抛物线方程，解得|AF|＝|BF|＝2，
从而＋＝1.
当直线AB的斜率存在时，
设AB的方程为y＝k(x－1)，
联立
整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
从而＋＝＋＝＝＝1.
综上，＋＝1.
10.已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值.
解　(1)抛物线的焦点坐标为，则直线AB的方程是y＝2，
与y2＝2px联立，化简得4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝.又|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4，4x2－5px＋p2＝0得x2－5x＋4＝0.
又x1＜x2，
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4，4).
设＝(x3，y3)，所以(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1).
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
11.(2022·北京昌平区模拟)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点.
(1)解　把P(1，1)代入y2＝2px得p＝，
∴抛物线C的方程为y2＝x，
焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)证明　∵BM⊥x轴，
∴设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x1，yA)，B(x1，yB)，
根据题意显然有x1≠0.
若要证A为BM的中点，
只需证2yA＝yB＋y1即可，
左右同除以x1有＝＋，
即只需证明2kOA＝kOB＋kOM成立，其中kOA＝kOP＝1，kOB＝kON.
当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN斜率存在且不为零.
设直线MN：y＝kx＋(k≠0)，
联立消y得，k2x2＋(k－1)x＋＝0，
考虑Δ＝(k－1)2－4××k2＝1－2k，
由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k<.
由根与系数关系可知：x1＋x2＝，①
x1x2＝.②
kOB＋kOM＝kON＋kOM＝＋＝＋＝2k＋.
将①②代入上式，有2k＋＝2k＋＝2k＋2(1－k)＝2，
即kON＋kOM＝kOB＋kOM＝2＝2kOA，
∴2yA＝yB＋y1恒成立，
∴A为BM的中点，得证.
12.设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为(　　)
A.y2＝4x或y2＝8x
B.y2＝2x或y2＝8x
C.y2＝4x或y2＝16x
D.y2＝2x或y2＝16x
答案　C
解析　∵以MF为直径的圆过点(0，2)，
∴点M在第一象限.
由|MF|＝xM＋＝5，
可得M.
从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为.
∵点N的横坐标恰好等于圆的半径，
∴圆与y轴切于点(0，2)，
从而2＝，
即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，
∴抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
13.(多选)(2022·青岛质检)设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是(　　)
A.|AB|≥4
B.|OA|＋|OB|＞8
C.若点P(2，2)，则|PA|＋|AF|的最小值是3
D.△OAB面积的最小值是2
答案　ACD
解析　由题意知F(1，0)，不妨设A在第一象限，
(1)若直线l斜率不存在，
则A(1，2)，B(1，－2)，
则|AB|＝4，|OA|＋|OB|＝2|OA|＝2，S△OAB＝×4×1＝2，显然B错误；
(2)若直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k(x－1)，显然k≠0，
联立方程组
消元得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝＝2＋，
∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋＞4，
原点O到直线l的距离d＝，
∴S△OAB＝×|AB|×d
＝××
＝2＞2，
综上，|AB|≥4，S△OAB≥2，故A正确，D正确.
过点A向准线作垂线，垂足为N，
则|PA|＋|AF|＝|PA|＋|AN|.
又P(2，2)在抛物线右侧，故当P，A，N三点共线时，|PA|＋|AF|取得最小值3，故C正确.故选ACD.
14.已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)证明：直线AB过定点；
(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
(1)证明　设D，A(x1，y1)，
则x＝2y1.
因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB过定点.
(2)解　由(1)得直线AB的方程为
y＝tx＋.
由可得x2－2tx－1＝0.
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，
y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
|AB|＝|x1－x2|
＝×＝2(t2＋1).
设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，
则d1＝，d2＝.
因此，四边形ADBE的面积
S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).
设M为线段AB的中点，则M.
因为⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，
所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.
当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.
因此，四边形ADBE的面积为3或4.

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