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第二课时　定值问题
　题型一　长度或距离为定值
例1 (2020·北京卷)已知椭圆C：＋＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点B(－4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，求的值.
解　(1)由椭圆过点A(－2，－1)，
得＋＝1.
又a＝2b，∴＋＝1，解得b2＝2，
∴a2＝4b2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，显然不合题意.
设直线l：y＝k(x＋4)，
由得(4k2＋1)x2＋32k2x＋64k2－8＝0.
由Δ＞0，得－＜k＜.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
又∵直线AM：y＋1＝(x＋2)，
令x＝－4，得yP＝－1.
将y1＝k(x1＋4)代入，
得yP＝.
同理yQ＝.
∴yP＋yQ＝－(2k＋1)
＝－(2k＋1)·
＝－(2k＋1)·
＝－(2k＋1)×
＝0.
∴|PB|＝|BQ|，∴＝1.
感悟提升　探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值.
训练1 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点.
(1)若p＝2，M的坐标为(1，1)，求直线l的方程.
(2)若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，求证：为定值.
(1)解　由题意知直线l的斜率存在且不为0，
故设直线l的方程为x－1＝t(y－1)
即x＝ty＋1－t，设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由得y2－4ty－4＋4t＝0，
∴Δ＝16t2＋16－16t＝16(t2－t＋1)＞0，
y1＋y2＝4t，
∴4t＝2，即t＝.
∴直线l的方程为2x－y－1＝0.
(2)证明　∵抛物线C：y2＝2px(p＞0)，
∴焦点F的坐标为.
由题意知直线l的斜率存在且不为0，
∵直线l过焦点F，故设直线l的方程为x＝ty＋(t≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由得y2－2pty－p2＝0，
∴y1＋y2＝2pt，Δ＝4p2t2＋4p2＞0.
∴x1＋x2＝t(y1＋y2)＋p＝2pt2＋p，
∴M.
∴MN的方程为y－pt＝－t.
令y＝0，解得x＝pt2＋，N，
∴|MN|2＝p2＋p2t2，|FN|＝pt2＋－＝pt2＋p，
∴＝＝2p，为定值.
　题型二　斜率或其表达式为定值
例2 (12分)(2022·衡水模拟)已知点P在圆O：x2＋y2＝6上运动，点P在x轴上的投影为Q，动点M满足(1－)＝－.
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)过点(2，0)的动直线l与曲线E交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点D，使得·＋2的值为定值？若存在，求出定点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由.
[规范答题]
解　(1)设M(x，y)，P(x0，y0)，
由(1－)＝－，
得－＝－，
即＝，……………………2分
∴又点P(x0，y0)在圆O：x2＋y2＝6上，
∴x＋y＝6，∴x2＋3y2＝6，
∴轨迹E的方程为＋＝1. ……………………4分
(2)当直线l的斜率存在时，
设l：y＝k(x－2)，
由消去y得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，x1·x2＝，……………………6分
根据题意，假设x轴上存在定点D(m，0)，
使得·＋2＝·(－)＝·为定值，
则有·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)
＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)＝(k2＋1)×－(2k2＋m)·＋(4k2＋m2)
＝，……………………10分
要使上式为定值，即与k无关，则3m2－12m＋10＝3(m2－6)，
即m＝，此时·＝m2－6＝－为常数，定点D的坐标为.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，易求得直线l与椭圆C的两个交点坐标分别为，，
此时·＝·
＝－.……………………11分
综上所述，存在定点D，使得·＋2为定值－.………………12分
第一步　求圆锥曲线的方程
第二步　特殊情况分类讨论
第三步　联立直线和圆锥曲线的方程
第四步　应用根与系数的关系用参数表示点的坐标
第五步　根据相关条件计算推证
第六步　明确结论
训练2 (2022·长沙调研)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.
(1)解　由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)证明　由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，
得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，
由已知Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
x1x2≠0，则x1＋x2＝，x1x2＝，
从而直线AP，AQ的斜率之和为
kAP＋kAQ＝＋
＝＋
＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)
＝2k－2(k－1)＝2(即为定值).
　题型三　几何图形的面积为定值
例3 (2022·重庆诊断)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为e，点(1，e)在椭圆E上，点A(a，0)，B(0，b)，△AOB的面积为，O为坐标原点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l交椭圆E于M，N两点，直线OM的斜率为k1，直线ON的斜率为k2，且k1k2＝－，证明：△OMN的面积是定值，并求此定值.
解　(1)由得b＝1.
又S△AOB＝ab＝，得a＝3.
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，
设直线l：x＝t(－3由得y2＝1－，
则k1k2＝·＝－＝－，
解得t2＝.
所以S△OMN＝×2×·|t|＝.
当直线l的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l：y＝kx＋m(m≠0)，
由消去y并整理，
得(9k2＋1)x2＋18kmx＋9m2－9＝0.
Δ＝(18km)2－4(9k2＋1)(9m2－9)
＝36(9k2－m2＋1)>0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
k1k2＝·＝
＝＝－，
化简得9k2＋1＝2m2，满足Δ>0.
|MN|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝.
又原点O到直线l的距离d＝，
所以S△OMN＝·|MN|·d
＝·
＝＝.
综上可知，△OMN的面积为定值.
感悟提升　探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可.
训练3 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上的两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.
(1)求证：k1·k2＝－；
(2)试探求△OPQ的面积S是不是定值，并说明理由.
(1)证明　∵k1，k2存在，∴x1x2≠0，
∵m·n＝0，∴＋y1y2＝0，
∴k1·k2＝＝－.
(2)解　是.理由：当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，由＝－，得eq \f(x,4)－y＝0，
由P(x1，y1)在椭圆C上，得eq \f(x,4)＋y＝1，
∴|x1|＝，|y1|＝，
∴S△OPQ＝|x1|·|y1－y2|＝1.
当直线PQ的斜率存在时，易知直线PQ的斜率不为0，
设直线PQ的方程为y＝kx＋b(k≠0).
由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝.
∵＋y1y2＝0，∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1，
满足Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)
＝16(4k2＋1－b2)＞0，
∴S△OPQ＝·|PQ|
＝|b|
＝2|b|·＝1.
∴△OPQ的面积S为定值.
圆锥曲线中的“伴侣点”问题
在圆锥曲线的很多性质中，常常出现一对活跃的点A(m，0)和B，这一对点总是同时出现在圆锥曲线的对称轴上，形影不离，相伴而行，我们把这一对特殊点形象地称作圆锥曲线的“伴侣点”.已知M(m，0)，N(n，0)(mn＝a2)是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一对“伴侣点”，过点M作与坐标轴不平行的直线与双曲线相交于A，B两点，则直线AN和BN与x轴成等角.
可得到圆锥曲线的一个统一和谐性质如下：
已知M，N是圆锥曲线的一对“伴侣点”，
过点M作与坐标轴不平行的直线与曲线相交于A，B两点，则直线AN和BN与x轴成等角.
例1 已知点M(m，0)，N(－m，0)(m≠0)是抛物线y2＝2px的一对“伴侣点”，过点M作与x轴不平行的直线交抛物线于A，B两点，证明：直线AN和BN与x轴成等角.
证明　因直线AB过点M(m，0)，故可设直线AB的方程为x＝m＋ny，
将其代入抛物线方程得，
y2－2pny－2pm＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝2pn，y1y2＝－2pm，
又点A，B在直线AB上，所以x1＝m＋ny1，x2＝m＋ny2，
所以kAN＋kBN＝＋
＝，
又y1x2＋y2x1＋m(y1＋y2)＝y1(m＋ny2)＋y2(m＋ny1)＋m(y1＋y2)＝2ny1y2＋2m(y1＋y2)＝2n·(－2pm)＋2m·2pn＝0，
所以kAN＋kBN＝0，即直线AN和BN关于x轴对称，
所以直线AN和BN与x轴成等角.
例2 设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0).
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
(1)解　由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.
把x＝1代入椭圆方程＋y2＝1，可得点A的坐标为或.又M(2，0)，
所以AM的方程为
y＝－x＋或y＝x－.
(2)证明　当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，
设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1<，x2<，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.
由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得
kMA＋kMB＝.
将y＝k(x－1)代入＋y2＝1得
(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k
＝＝0.
从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA＝∠OMB.
综上，∠OMA＝∠OMB.
1.(2021·杭州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值.
(1)解　由已知＝，ab＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)证明　由(1)知，A(2，0)，B(0，1).
设椭圆上一点P(x0，y0)，则eq \f(x,4)＋y0＝1.
当x0＝0时，y0＝－1，
|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4.
当x0≠0时，直线PA方程为
y＝(x－2)，
令x＝0得yM＝.
从而|BM|＝|1－yM|＝.
直线PB方程为y＝x＋1.
令y＝0得xN＝.
∴|AN|＝|2－xN|＝.
∴|AN|·|BM|
＝·
＝·
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x＋4y＋4x0y0－4x0－8y0＋4,x0y0－x0－2y0＋2)))
＝＝4.
故|AN|·|BM|为定值.
2.椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，当m＝0时，·＝－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：|PA|2＋|PB|2为定值.
(1)解　易知＝.
当m＝0时，P(0，0)，直线l的方程为y＝x，
代入＋＝1并整理得x2＝.
设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，
·＝－x－y＝－x＝－·.
又因为·＝－，
所以a2＝25，b2＝16，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明　l的方程为x＝y＋m，
代入＋＝1，
并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
则|PA|2＝(x1－m)2＋y＝y，
同理|PB|2＝y.
则|PA|2＋|PB|2＝(y＋y)
＝[(y1＋y2)2－2y1y2]
＝·＝41.
所以|PA|2＋|PB|2为定值.
3.(2022·长沙模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，已知|AB|＝4，且点在椭圆上，其中e是椭圆的离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上异于A、B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线AP、BP于点M、N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值.
(1)解　∵|AB|＝4，∴2a＝4，∴a＝2，
又点在椭圆上，∴＋＝1.
又b2＋c2＝a2＝4，联立方程组解得b2＝3，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)证明　设点P的坐标为(s，t)，点M，N的横坐标为m(m≠±2)，
则直线AP的方程为y＝(x＋2)，
故M，故直线BM的斜率k1＝，
同理可得直线AN的斜率
k2＝，
故k1k2＝·＝.
又点P在椭圆上，∴＋＝1，
∴t2＝－(s2－4)，
∴k1k2＝＝－.
即直线AN与直线BM的斜率之积为定值.
4.已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值.
(1)解　因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，
所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.
由题意知，直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0).
由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，
解得k<0或0又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2).
从而k≠－3.
所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1).
(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝.
直线PA的方程为y－2＝(x－1).
令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝＋2＝＋2.
同理得点N的纵坐标为yN＝＋2.
由＝λ，＝μ得λ＝1－yM，μ＝1－yN，
所以＋＝＋
＝＋
＝·
＝·＝2，
所以＋为定值.

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