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第2节　函数的单调性与最大(小)值
考试要求　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈I，都有f(x)≤M；(2) x0∈I，使得f(x0)＝M (1) x∈I，都有f(x)≥M；(2) x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
1.有关单调性的常用结论
在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.
2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于函数y＝f(x)，若f(1)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(　　)
(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　)
(4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在区间D上是增函数.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)错误，应对任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)成立才可以.
(2)错误，反例：f(x)＝x在[1，＋∞)上为增函数，但f(x)＝x的单调区间是(－∞，＋∞).
(3)错误，此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).
2.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　)
A.f(x)＝－x B.f(x)＝
C.f(x)＝x2 D.f(x)＝
答案　D
3.函数y＝在区间[2，3]上的最大值是(　　)
A. B.2 C.3 D.3.5
答案　B
解析　∵函数y＝＝1＋在[2，3]上递减，
∴当x＝2时，y＝取得最大值＝2.
4.(2022·聊城检测)函数f(x)＝9x2＋的最小值为________.
答案　9
解析　∵f(x)的定义域为[1，＋∞)，
且y＝9x2与y＝在[1，＋∞)内均为增函数，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝9.
5.(易错题)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是________.
答案　[－1，1)
解析　由条件知
解得－1≤a＜1.
6.(易错题)函数f(x)＝的单调增区间为________.
答案　(－∞，－1)
解析　由x2－2x－3＞0得x＜－1或x＞3，故f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)，
由函数y＝x2－2x－3在(－∞，－1)上单调递减，
故f(x)的单调增区间是(－∞，－1).
　考点一　确定函数的单调性(区间)
1.(2022·百校大联考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是(　　)
A.y＝－sin x B.y＝x2－2x＋3
C.y＝ln(x＋1) D.y＝2 022－
答案　D
解析　y＝－sin x和y＝x2－2x＋3在(0，＋∞)上不具备单调性；y＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单增.故选D.
2.函数y＝log(－x2＋x＋6)的单调递增区间为(　　)
A. B.
C.(－2，3) D.
答案　A
解析　由－x2＋x＋6>0，得－2由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为.
3.设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________.
答案　[0，1)
解析　由题意知g(x)＝
该函数图象如图所示，
其单调递减区间是[0，1).
4.已知f(x)＝(x≠a).
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.
(1)证明　当a＝－2时，f(x)＝.
设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增.
(2)解　设1＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为a＞0，x2－x1＞0，
所以要使f(x1)－f(x2)＞0，
只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，
所以a≤1.综上所述，a的取值范围是(0，1].
感悟提升　1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
易错警示　函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.
　考点二　求函数的最值
例1 (1)函数f(x)＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________.
答案　8
解析　因为函数y＝，y＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，
所以函数f(x)＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上单调递减，
所以函数f(x)的最大值为f(－2)＝－log2(－2＋4)＝9－1＝8.
(2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.
答案　1
解析　法一　在同一坐标系中，
作函数f(x)，g(x)的图象，
依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.
易知点A(2，1)为图象的最高点，
因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
法二　依题意，h(x)＝
当0当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，
因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.
感悟提升　1.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
训练1 (1)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________.
答案　[3，＋∞)
解析　函数y＝
作出函数的图象如图所示.
根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞).
(2)设函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝________.
答案　
解析　∵f(x)＝＝＝2＋在[3，4]上单调递减，
∴f(x)min＝f(4)＝4，f(x)max＝f(3)＝6，
∴M＝6，m＝4，∴＝＝.
　考点三　函数单调性的应用
角度1　比较函数值的大小
例2 设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则(　　)
A.f＞f(2－)＞f(2－)
B.f＞f(2－)＞f(2－)
C.f(2－)＞f(2－)＞f
D.f(2－)＞f(2－)＞f
答案　C
解析　f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，
则f＝f(－log34)＝f(log34).
又log34＞1，0＜2－＜2－＜1，
∴f(log34)＜f(2－)＜f(2－)，
即f(2－)＞f(2－)＞f.
感悟提升　利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断函数的单调性，其次应将自变量转化到一个单调区间内，然后利用单调性比较大小.
角度2　解函数不等式
例3 (1)(2020·新高考全国Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1]
C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3]
答案　D
解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是
[－1，0]∪[1，3].
(2)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________.
答案　(－，－2)∪(2，)
解析　因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)感悟提升　求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，利用函数的单调性将“f”符号脱去，转化为关于自变量的不等式求解，应注意函数的定义域.
角度3　求参数的取值范围
例4 (1)(2022·九江三校联考)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________.
答案　(－∞，1]
解析　令t＝|x－a|，∴y＝et，
t＝|x－a|在(－∞，a]上单调递减，
在[a，＋∞)上单调递增.
又y＝et为增函数，
∴f(x)＝e|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，∴a≤1.
(2)设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.
答案　(－∞，1]∪[4，＋∞)
解析　函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
感悟提升　利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
训练2 (1)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.c＞a＞b B.c＞b＞a
C.a＞c＞b D.b＞a＞c
答案　D
解析　由于函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到的图象关于y轴对称，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝f＝f.
当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b＞a＞c.
(2)已知函数f(x)＝－log2(x＋2)，若f(a－2)＞3，则a的取值范围是________.
答案　(0，1)
解析　由f(x)＝－log2(x＋2)知，
f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，
且f(－1)＝3，
由f(a－2)＞3，得f(a－2)＞f(－1)，
即－2＜a－2＜－1，即0＜a＜1.
构造函数解决不等式(方程)问题
对于结构相同(相似)的不等式(方程)，通常考虑变形，构造函数，利用基本初等函数的单调性，寻找变量之间的关系，达到解题目的.考查的核心素养是逻辑推理与数学抽象.
例 (1)(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)
A.a>2b B.a<2b
C.a>b2 D.a答案　B
解析　由指数和对数的运算性质可得
2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.
令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，
∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)，
即f(a)(2)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，则(　　)
A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0
C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0
答案　A
解析　原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y，
设函数f(x)＝2x－3－x.
因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，
所以f(x)在R上单调递增，
即f(x)0，所以A正确，B不正确.
因为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确.
1.(多选)下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是(　　)
A.y＝|x| B.y＝x＋3
C.y＝ D.y＝－x2＋4
答案　AB
解析　函数y＝与y＝－x2＋4在(0，1)都是减函数，故选AB.
2.函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)
A. B.－ C.－2 D.2
答案　A
解析　易知f(x)＝－x＋在上单调递减，故其最大值为f(－2)＝.
3.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A.f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C.f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D.f(π)＜f(－2)＜f(－3)
答案　A
解析　因为f(x)是偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).
又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以f(π)＞f(3)＞f(2)，
即f(π)＞f(－3)＞f(－2).
4.(2021·武汉一模)已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a＞0且a≠1)，若f(0)＜0，则此函数的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞)
C.[－1，1) D.(－3，－1]
答案　C
解析　令g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知g(x)＞0，可得－3＜x＜1，故函数的定义域为{x|－3＜x＜1}.
根据f(0)＝loga3＜0，可得0＜a＜1.
又g(x)在定义域(－3，1)内的单调递减区间是[－1，1)，
所以f(x)的单调递增区间为[－1，1).
5.如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么实数a的取值范围是(　　)
A.(0，2) B.(1，2)
C.(1，＋∞) D.
答案　D
解析　因为对任意x1≠x2，
都有＞0，
所以y＝f(x)在R上是增函数，
所以解得≤a＜2.
故实数a的取值范围是.
6.(多选)已知函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则(　　)
A.0＜a＜1
B.a＞1
C.f(a＋2 021)＞f(2 022)
D.f(a＋2 021)＜f(2 022)
答案　AC
解析　f(x)＝loga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞).
设z＝|x－1|，可得函数z在(－∞，1)上单调递减；
在(1，＋∞)上单调递增，
由题意可得0＜a＜1，故A正确，B错误；
由于0＜a＜1，可得2 021＜a＋2 021＜2 022.
又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
则f(a＋2 021)＞f(2 022)，故C正确，D错误.
7.函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________.
答案　(－∞，－1]和[0，1]　(－1，0)和(1，＋∞)
解析　由于y＝
即y＝
画出函数图象如图所示，
单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为(－1，0)和(1，＋∞).
8.若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集为________.
答案　
解析　由f(－x)＝－f(x)，知f(x)＝ex－e－x为奇函数，又易证在定义域R上，f(x)是增函数，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0等价于f(2x＋1)>－f(x－2)＝f(－x＋2)，则2x＋1>－x＋2，即x>，故不等式的解集为.
9.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a＝－f，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为________________.
答案　a＞b＞c
解析　∵f(x)在R上是奇函数，
∴a＝－f＝f＝f(log25).
又f(x)在R上是增函数，
且log25＞log24.1＞log24＝2＞20.8，
∴f(log25)＞f(log24.1)＞f(20.8)，
∴a＞b＞c.
10.函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求方程f(x)＝0的解；
(2)若函数f(x)的最小值为－1，求a的值.
解　(1)由得－3∴f(x)的定义域为(－3，1)，
则f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，x∈(－3，1).
令f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，
解得x＝－1－或x＝－1＋，
经检验，均满足原方程成立.
故f(x)＝0的解为x＝－1±.
(2)由(1)得f(x)＝loga[－(x＋1)2＋4]，x∈(－3，1)，
由于0<－(x＋1)2＋4≤4，且a∈(0，1)，
∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，
由题意可得loga4＝－1，解得a＝，满足条件.
所以a的值为.
11.已知函数f(x)＝a－.
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)解　(1)f(0)＝a－＝a－1.
(2)f(x)在R上单调递增.证明如下：
∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋
＝.
∵y＝2x在R上单调递增且x1∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在R上单调递增.
(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即a－＝－a＋，解得a＝1，
∴f(ax)又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.
∴x的取值范围是(－∞，2).
12.(2022·郴州质量检测)已知a＝4ln 3π，b＝3ln 4π，c＝4ln π3，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.c＜b＜a B.b＜c＜a
C.b＜a＜c D.a＜b＜c
答案　B
解析　对于a，b：a＝4ln 3π＝ln 34π＝πln 81，b＝3ln 4π＝ln 43π＝πln 64，显然a＞b；
对于a，c：构造函数f(x)＝，
则f′(x)＝，
当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，e)上单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)在(e，＋∞)上单调递减.
∵π＞3＞e，∴f(π)＜f(3)，即＜，
∴3ln π＜πln 3，∴ln π3＜ln 3π，∴a＞c；
对于b，c：b＝3ln 4π，c＝4ln π3＝3ln π4，
∵＞，∴4ln π＞πln 4，ln 4π＜ln π4，∴c＞b，∴a＞c＞b.
13.(2022·湖州模拟)已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log30.9，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为________.
答案　f(c)＜f(b)＜f(a)
解析　当x＞0时，f(x)＝ex－e－x单调递增，且f(0)＝0；
当x≤0时，f(x)＝－x2单调递增，且f(0)＝0，
所以函数f(x)在R上单调递增.
因为a＝50.01＞1，0＜b＝log32＜1，c＝log30.9＜0，
所以a＞b＞c，所以f(a)＞f(b)＞f(c).
14.已知函数f(x)＝lg(a>0，且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围.
解　(1)由x＋－2＞0，得＞0，
当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，
当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－或x＞1＋}.
(2)设g(x)＝x＋－2，
当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，
g′(x)＝1－＝>0，
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
则f(x)min＝f(2)＝lg.
(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立.
∴a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞).
由于h(x)＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x)max＝h(2)＝2.
故a>2时，恒有f(x)>0.
故a的取值范围为(2，＋∞).

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