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第3节　奇偶性、对称性与周期性
考试要求　1.理解函数奇偶性的含义.2.了解函数的最小正周期的含义.3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
1.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
2.对称性的四个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.(　　)
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　)
(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(　　)
(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误.
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误.
2.(多选)下列函数中为偶函数的是(　　)
A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x
C.y＝ln |x| D.y＝2－x
答案　BC
解析　根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.
3.(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若f＝，则f＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
答案　C
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期 的周期函数，f＝f＝f＝.
4.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________.
答案　(－2，0)∪(2，5]
解析　由图象知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；
当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，
∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，
当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.
综上，f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5].
5.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________.
答案　－7
解析　因为f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)＝0，
即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，
故f(x)＝2x－1(x≥0)，
则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.
6.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝－x3，则f＝________.
答案　
解析　由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，
又函数f(x)为奇函数，
所以f＝f＝－f＝＝.
　考点一　函数的奇偶性
角度1　判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解　(1)由得x2＝3，
解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，
∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝
＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.
感悟提升　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
角度2　函数奇偶性的应用
例2 (1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
答案　x－1
解析　当x＜0时，－x＞0.
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.
(2)(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________.
答案　－3
解析　当x>0，－x<0，f(－x)＝－e－ax.
因为f(x)是奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，
所以f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a＝8.
解得a＝－3.
感悟提升　1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
2.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
训练1 (1)(多选)(2022·武汉质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)
A.y＝xsin x 　 　　B.y＝xln x
C.y＝ex－1 　 　　D.y＝xln(－x)
答案　BC
解析　A中，y＝xsin x为偶函数.
B中，函数y＝xln x的定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数.
C中，f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则y＝ex－1为非奇非偶函数.
D中，y＝xln(－x)是偶函数.
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：________.
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数.
答案　f(x)＝x4(x∈R)(答案不唯一)
解析　因为f(x1x2)＝f(x1)f(x2)，所以f(x)可以是幂函数形式的函数；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
因为f′(x)是奇函数，所以f(x)是偶函数.
因此函数f(x)可以是f(x)＝x4(x∈R).
　考点二　函数的周期性及应用
例3 (1)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝(　　)
A.－50 B.0 C.2 D.50
答案　C
解析　法一　∵f(x)在R上是奇函数，
且f(1－x)＝f(1＋x).
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，
即f(x＋2)＝－f(x).
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝505×0＋f(1)＋f(2)＝2.
法二　由题意可设
f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示.
由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝505×0＋f(1)＋f(2)＝2.
(2)(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
答案　D
解析　由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0　①.
由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6　②.
根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时.f(x)＝－2x2＋2.根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以f＝f＝－f＝2×－2＝.
感悟提升　1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.
2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
训练2 (1)(2021·湖南六校联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.
答案　7
解析　因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x.
又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋3)＝－，当1＜x≤3时，f(x)＝cos ，则f(2 020)＝________.
答案　－
解析　由已知可得f(x＋6)＝f((x＋3)＋3)＝－＝－＝f(x)，故函数f(x)的周期为6，
∴f(2 020)＝f(6×336＋4)＝f(4).
∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)，
则f(4)＝f(1＋3)＝－＝－＝f(2)＝cos ＝－，
∴f(2 020)＝－.
　考点三　函数的对称性
例4 (1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于x＝2对称
B.f(x)的图象关于(2，0)对称
C.f(x)的最小正周期为4
D.y＝f(x＋4)为偶函数
答案　ACD
解析　∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于x＝2对称，故A正确，B错误；
∵函数f(x)的图象关于x＝2对称，
则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；
∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确.
(2)(2022·福州模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)等于(　　)
A.0 B.m C.2m D.4m
答案　B
解析　∵f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋.
∴函数y＝f(x)与y＝的图象都关于点(0，1)对称，
∴xi＝0，yi＝×2＝m.
感悟提升　对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称.
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称.
训练3 (1)已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2，2]时，f(x)单调递减，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A.f(π)＜f(3)＜f()
B.f(π)＜f()＜f(3)
C.f()＜f(3)＜f(π)
D.f()＜f(π)＜f(3)
答案　C
解析　∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x)的图象关于x＝2对称，
∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，
∴f(3)＝f(1)，f(π)＝f(4－π).
∵0＜4－π＜1＜，
当x∈[－2，2]时，f(x)单调递减，
∴f(4－π)＞f(1)＞f()，
∴f()＜f(3)＜f(π).
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于x＝2对称.当x∈[0，4]时，f(x)＝x2－4x，则f(2 022)＝________.
答案　4
解析　∵f(x)的图象关于x＝2对称，
∴f(－x)＝f(x＋4)，
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
故f(x＋4)＝－f(x)，∴T＝8，
又∵2 022＝252×8＋6，
∴f(2 022)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－(4－8)＝4.
　考点四　函数性质的综合应用
角度1　单调性与奇偶性
例5 (1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
答案　C
解析　易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，
∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.
又3＞log25.1＞2＞20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
∴g(3)＞g(log25.1)＞g(20.8)，则c＞a＞b.
(2)(2021·石家庄三模)已知函数f(x＋2)是定义域为R的偶函数，若f(x)在(2，＋∞)上单调递减，则不等式f(ln x)＜f(1)的解集是(　　)
A.(0，1)∪(3，＋∞) B.(1，3)
C.(0，e)∪(e3，＋∞) D.(e，e3)
答案　C
解析　因为f(x＋2)的图象向右平移2个单位长度得到f(x)的图象，
且f(x＋2)的图象关于y轴对称，
所以f(x)的图象关于直线x＝2对称.
由f(x)在(2，＋∞)上单调递减可得f(x)在(－∞，2)上单调递增，
由f(ln x)＜f(1)，
所以ln x＜1或ln x＞3，
解得0＜x＜e或x＞e3.
感悟提升　1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；
2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解.
角度2　周期性与奇偶性
例6 函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________.
答案　4
解析　∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，
∴函数y＝f(x)的图象关于原点对称，
即函数f(x)是R上的奇函数，
∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.
∴f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，
f(2 020)＝f(0)＝0，f(2 022)＝f(2)＝f(0)＝0，
∴f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝4.
感悟提升　周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
角度3　对称性与周期性
例7 (多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)为偶函数
B.f(x)在[－6，－3]上单调递减
C.f(x)关于x＝3对称
D.f(100)＝9
答案　ACD
解析　f(x)的图象关于x＝－3对称，
则f(－x)＝f(x－6)，
又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，
∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，故A正确；
当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，
∵T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；
f(x)关于x＝－3对称且T＝6，
∴f(x)关于x＝3对称，故C正确；
f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正确.
感悟提升　函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
训练4 (1)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，f(x＋2)是偶函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x，则f(－2 022)＋f(2 023)＝(　　)
A.－3 B.－2 C.1 D.0
答案　C
解析　∵函数f(x＋2)是偶函数，函数f(x)关于x＝2对称，
∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，
∴f(－x＋4)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f[－(－x)＋4]＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴函数的周期为8，
∴f(－2 022)＋f(2 023)＝－f(2 022)＋f(2 023)＝－f(6)＋f(7)＝f(2)－f(1)＝2－1＝1.
(2)(多选)(2022·威海模拟)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则(　　)
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
C.f(x＋3)是偶函数 D.f(x)＝f(x＋4)
答案　CD
解析　∵f(x＋1)是偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2).
∵f(x－1)是偶函数，∴f(－x－1)＝f(x－1)，从而f(－x)＝f(x－2).
∴f(x＋2)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数.
∵f(－x－1)＝f(x－1)，
∴f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，
即f(－x＋3)＝f(x＋3)，∴f(x＋3)是偶函数.
抽象函数
我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y＝f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.
一、抽象函数求值
例1 (1)设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)，若f(8)＝3，则f()＝________.
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，则f(4)＝________.
答案　(1)　(2)7
解析　(1)∵f(8)＝3，∴f(2×4)＝f(2)＋f(4)＝f(2)＋f(2×2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)＝3，∴f(2)＝1.
∵f(2)＝f(×)＝f()＋f()＝2f()，∴2f()＝1，∴f()＝.
(2)令x＝y＝1，则f(2)＝f(1)＋f(1)＋1＝3.
令x＝y＝2，则f(4)＝f(2)＋f(2)＋1＝7.
二、抽象函数的性质
例2 (1)(多选)(2021·潍坊调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，则函数f(x)满足(　　)
A.f(0)＝0
B.y＝f(x)是奇函数
C.f(x)在[1，2]上有最大值f(2)
D.f(x－1)＞0的解集为{x|x＜1}
答案　ABD
解析　令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，
故f(0)＝0，A正确；
令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
即f(x)＝－f(－x)，
故函数f(x)为奇函数，B正确；
设x1＜x2，则x1－x2＜0，
由题意可得f(x1－x2)＞0，
即f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，故函数f(x)为R上的减函数，
∴f(x)在[1，2]上的最大值为f(1)，C错误；
f(x－1)＞0等价于f(x－1)＞f(0)，
又f(x)为R上的减函数，故x－1＜0，
解得x＜1，D正确.
(2)已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，且f＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，如果x满足f(x)－f≤2，则x的取值范围为________.
答案　(3，4]
解析　∵f＝f(x)－f(y)，
∴f(y)＋f＝f(x).
在上述等式中取x＝4，y＝2，
则有f(2)＋f(2)＝f(4).
又∵f(2)＝1，∴f(4)＝2.
∴f(x)－f≤2
可变形为f(x(x－3))≤f(4).
又∵f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，
∴解得3＜x≤4.
故x的取值范围是(3，4].
1.(2022·重庆一中月考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A.y＝x－1 B.y＝ln x2
C.y＝ D.y＝－x2
答案　D
2.(2022·咸阳模拟)已知函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　)
A.－1 B.1 C.0 D.±1
答案　A
解析　由题意，得f(－x)＝－f(x)，
则f(－1)＝－f(1)，
即1＋a＝－a－1，
得a＝－1(经检验符合题意).
3.(2021·武汉模拟)已知偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2＋1，则f(2 021)＝(　　)
A.2 B.0 C.－1 D.1
答案　B
解析　∵偶函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，
∴f(－x)＝f(x)，f(2＋x)＋f(－x)＝0，
∴f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，
则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数y＝f(x)是以4为周期的函数，
∴f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝f(－1).
又当－1≤x≤0时，f(x)＝1－x2，
故f(2 021)＝f(－1)＝1－(－1)2＝0.
4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝(　　)
A.－2 B.0 C.2 D.1
答案　A
解析　∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，
∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，
∴f(1)＝0，
f＝f＝－f＝－4＝－2，
∴f＋f(1)＝－2.
5.(多选)(2021·烟台一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，则下列结论错误的是(　　)
A.f(2 021)＝0
B.2是f(x)的一个周期
C.当x∈(1，3)时，f(x)＝(1－x)3
D.f(x)＞0的解集为(4k，4k＋2)(k∈Z)
答案　ABC
解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，
∴f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期是4，故B错误；
f(2 021)＝f(1)＝1，故A错误；
∵当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，f(x)是定义在R上的奇函数，
∴当x∈[－1，1]时，f(x)＝x3，
当x∈(1，3)时，2－x∈(－1，1)，
f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3，故C错误；
易知当x∈(0，2)时，f(x)＞0，
∵f(x)的最小正周期是4，
∴f(x)＞0的解集为(4k，4k＋2)(k∈Z)，故D正确.
6.(多选)(2022·衡水联考)已知奇函数f(x)的定义域为R，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，以下关于函数f(x)的说法正确的为(　　)
A.f(x)满足f(8－x)＝f(x)
B.8为f(x)的一个周期
C.f(x)＝sin 是满足条件的一个函数
D.f(x)有无数个零点
答案　BCD
解析　∵f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)是奇函数，
∴f(4＋x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(8＋x)＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴8为f(x)的一个周期，故B正确；
由f(8＋x)＝f(x)可得f(8－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(8－x)＋f(x)＝0，故A不正确；
f(x)＝sin 满足f(x)＋f(－x)＝0，为奇函数，
且图象的一条对称轴为直线x＝2，故C正确；
由f(x)为奇函数且定义域为R知，f(0)＝0，
又f(x)为周期函数，∴f(x)有无数个零点，故D正确.
7.已知函数f(x)＝asin x＋btan x＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝________.
答案　4
解析　令g(x)＝asin x＋btan x，
则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1，
∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.
8.已知函数f(x)，对 x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，则f(26)＝________.
答案　1
解析　∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(26)＝f(2).
∵对 x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝1，即f(26)＝1.
9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2，4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 022)＝________.
答案　0
解析　∵f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，
∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为4，
∴f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，即f(1)＝0.
在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，
令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 022)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝0.
10.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式.
(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)解　∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0，2]，
∴f(4－x)＝2×(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
11.设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
解　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]
＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x).
故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示.
当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
12.(2021·杭州二模)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且满足f(－1)＝0，则关于x的不等式f(x)＜sin πx的解集为(　　)
A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.(－1，0)∪(1，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(0，1)
D.(－1，0)∪(0，1)
答案　C
解析　∵f(x)为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，
由此可在坐标系中画出y＝f(x)与y＝sin πx的大致图象，如图所示，
由图象可知，当x∈(－∞，－1)∪(0，1)时，f(x)＜sin πx，
即当x∈(－∞，－1)∪(0，1)时，
f(x)＜sin πx.
13.(2022·长沙质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在区间[1，2]上单调递减，令a＝ln 2，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是(　　)
A.f(b)B.f(a)C.f(c)D.f(c)答案　C
解析　依题意，定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋2)＝f(－x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(0)＝0.
又f(x)在区间[1，2]上单调递减，则f(x)在区间[0，1]上单调递增，则f(1)>0.
由0f(0)＝0，
b＝＝＝2，
则f(b)＝f(2)＝f(0)＝0，
c＝log2＝－1，
则f(c)＝f(－1)＝－f(1)<0，
所以f(c)14.已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.
(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
解　(1)f(x)在区间[－1，1]上单调递增.证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
则－x2∈[－1，1].
∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2).
由已知条件得＞0.
又x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
∴f(x)在区间[－1，1]上单调递增.
(2)∵f(1)＝1，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，
∴在区间[－1，1]上，f(x)≤1.
∵f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，
∴m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立.
设g(a)＝－2ma＋m2.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立.
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，
若g(a)≥0，
对a∈[－1，1]恒成立，必须有g(－1)≥0，且g(1)≥0，
∴m≤－2或m≥2.
综上所述，实数m的取值范围是{m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}.

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