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第6节　对数与对数函数
考试要求　1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)log2x2＝2log2x.(　　)
(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.(　　)
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　　)
(4)当x>1时，若logax>logbx，则a答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
解析　(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错误.
(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错误.
(4)若02.log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　)
A.0 B.2 C.4 D.6
答案　D
解析　原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.
3.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　法一　因为alog34＝2，所以log34a＝2，则4a＝32＝9，所以4－a＝＝.
法二　因为alog34＝2，所以a＝＝2log43＝log432＝log49，所以4－a＝4－log49＝4log49－1＝9－1＝.
4.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　)
A.cC.a答案　C
解析　a＝log525.函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.
答案　(2，2)
解析　当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2).
6.(易错题)已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)＞0，则实数a的取值范围是________.
答案　
解析　由题意得
或解得＜a＜1.
　考点一　对数的运算
1.设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)
A. B.10 C.20 D.100
答案　A
解析　由已知，得a＝log2m，b＝log5m，
则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
解得m＝.
2.计算：＝________.
答案　1
解析　原式＝
＝
＝＝＝＝1.
3.已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
答案　4　2
解析　设logb a＝t，则t>1，因为t＋＝，
所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，
所以b2b＝bb2，即2b＝b2，
又a>b>1，解得b＝2，a＝4.
4.(多选)(2022·北京石景山区调研)在通信技术领域中，香农公式C＝Wlog2是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比.
根据香农公式，以下说法正确的是(参考数据：lg 5≈0.699 0)(　　)
A.若不改变信噪比，而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍
B.若不改变信道带宽W和信道内所传信号的平均功率S，而将信道内部的高斯噪声功率N降低为原来的一半，则C增加一倍
C.若不改变信道带宽W，而将信噪比从255提升至1 023，则C增加了25%
D.若不改变信道带宽W，而将信噪比从999提升至4 999，则C大约增加了23.3%
答案　ACD
解析　A正确；
对于B，因为Wlog2
≠Wlog2＝2Wlog2，所以B错误；
对于C，若将信噪比从255提升至1 023，则－1＝－1＝－1＝，所以C增加了25%，所以C正确；
对于D，若将信噪比从999提升至4 999，则－1＝－1＝－1＝－1＝≈0.233，所以D正确.
感悟提升　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
　考点二　对数函数的图象及应用
例1 (1)(多选)(2021·重庆一模)a，b，c∈R，且b＞0，若ea＝ln b＝，则a，b，c的大小关系可以是(　　)
A.a＜b＜c B.b＜c＜a
C.c＜a＜b D.a＜c＜b
答案　ACD
解析　设ea＝ln b＝＝m，
如图，在同一坐标系中画出函数y＝ex，y＝ln x，y＝的图象，
当直线y＝m与三者都相交时，交点的横坐标即为a，b，c的值，
由图知，当m从大到小时，依次出现c＜a＜b、a＜c＜b、a＜b＜c.故选ACD.
(2)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.
答案　(1，＋∞)
解析　如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距.
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点.
(3)已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则＋b＝________.
答案　4
解析　∵f(x)＝|log2x|，
∴f(x)的图象如图所示，
又f(a)＝f(b)且0＜a＜b，
∴0＜a＜1，b＞1且ab＝1，
∴a2＜a，由图知，
f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2，
∴a＝，∴b＝2，∴＋b＝4.
感悟提升　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
训练1 (1)图中曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取，，，四个值，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　)
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
答案　A
解析　作直线y＝1，由logax＝1得x＝a，
则对应C1，C2，C3，C4的a值依次为，，，.
(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，则a的取值范围是(　　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(1，2] D.
答案　C
解析　设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，
要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，
只需在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方即可.
当0＜a＜1时，显然不成立.
当a＞1时，如图所示，
要使在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方，
只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，
所以loga2≥1，解得1＜a≤2.
　考点三　对数函数的性质及应用
角度1　比较大小
例2 (1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　)
A.a＞b＞c B.b＞c＞a
C.a＞c＞b D.c＞b＞a
答案　A
解析　a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43＞log53＞log63，∴a＞b＞c.
(2)(2021·天津卷)设a＝log2 0.3，b＝log0.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a＜b＜c B.c＜a＜b
C.b＜c＜a D.a＜c＜b
答案　D
解析　∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0.
∵log0.4＝－log20.4＝log2＞log22＝1，∴b＞1.
∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，
∴a＜c＜b.
角度2　解对数不等式
例3 (2022·湖州调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(log(2x－5))＞f(log38)的解集为________.
答案　∪
解析　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，
所以可将f(log(2x－5))＞f(log38)化为|log(2x－5)|＞|log38|，
即log3(2x－5)＞log38或log3(2x－5)＜－log38＝log3，
即2x－5＞8或0＜2x－5＜，解得x＞或＜x＜.
角度3　对数函数性质的综合应用
例4 (1)(多选)已知函数f(x)＝ln ，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)为奇函数
B.f(x)为偶函数
C.f(x)在上单调递减
D.f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案　ACD
解析　f(x)＝ln，令＞0，
解得x＞或x＜－，
∴f(x)的定义域为∪，
又f(－x)＝ln ＝ln
＝ln＝－ln ＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误.
又f(x)＝ln ＝ln，
令t＝1＋，t＞0且t≠1，∴y＝ln t，
又t＝1＋在上单调递减，
且y＝ln t为增函数，
∴f(x)在上单调递减，故C正确；
∴y＝ln t的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确.
(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　)
A.[1，2) B.[1，2]
C.[1，＋∞) D.[2，＋∞)
答案　A
解析　令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，
要使函数在(－∞，1]上递减，
则有即解得1≤a＜2，即a∈[1，2).
感悟提升　利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
训练2 (1)(2022·济南调研)已知a＝log3，b＝30.7，c＝sin 3，则(　　)
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.a＞c＞b D.b＞c＞a
答案　D
解析　因为log3＜log31＝0，所以a＜0，
因为30.7＞30＝1，所以b＞1，
因为＜3＜π，所以0＜sin 3＜1，即0＜c＜1，
所以b＞c＞a.
(2)(多选)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)
A.f(x)在(0，2)上单调递增
B.f(x)在(0，2)上的最大值为0
C.f(x)的图象关于直线x＝1对称
D.f(x)的图象关于点(1，0)对称
答案　BC
解析　f(x)＝ln x＋ln(2－x)，定义域为(0，2)，
f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)，
令t＝－x2＋2x，y＝ln t，
∵t＝－x2＋2x，x∈(0，2)，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，
∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，故A不正确；
f(x)max＝f(1)＝0，故B正确；
∵f(1＋x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)，
f(1－x)＝ln(1－x)＋ln(1＋x)，
∴f(1＋x)＝f(1－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D不正确.
1.已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)
A.aC.c答案　B
解析　由对数函数的单调性可得a＝log20.2由指数函数的单调性可得b＝20.2>20＝1，02.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1 D.10－10.1
答案　A
解析　由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝lg ，得－26.7＋1.45＝lg ，则lg ＝－25.25，∴lg ＝－10.1，lg ＝10.1，∴＝1010.1.
3.已知函数f(x)＝lg 的值域是全体实数，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－4，＋∞) B.[－4，＋∞)
C.(－∞，－4) D.(－∞，－4]
答案　D
解析　由题意可知3x＋＋m能取遍所有正实数.
又3x＋＋m≥m＋4，所以m＋4≤0，
即m≤－4.
∴实数m的取值范围为(－∞，－4].
4.(2020·新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1] B.(－∞，2]
C.[2，＋∞) D.[5，＋∞)
答案　D
解析　由x2－4x－5>0，得x<－1或x>5.
令t＝x2－4x－5，则函数t＝x2－4x－5在(－∞，－1)单调递减，在(5，＋∞)单调递增，函数y＝lg t为增函数，
故要使函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则有(a，＋∞) (5，＋∞)，即a≥5.
5.已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是(　　)
答案　C
解析　由lg a＋lg b＝0，得ab＝1.
∴f(x)＝a－x＝＝bx，
因此f(x)＝bx与g(x)＝logbx单调性相同.
A，B，D中的函数单调性相反，只有C的函数单调性相同.
6.(多选)(2021·临沂期末)若10a＝4，10b＝25，则(　　)
A.a＋b＝2 B.b－a＝1
C.ab＞8lg22 D.b－a＞lg 6
答案　ACD
解析　由10a＝4，10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，则a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A正确；
b－a＝lg 25－lg 4＝lg ＞lg 6且lg ＜1，故B错误，D正确；
ab＝lg 4·lg 25＝4lg 2·lg 5＞4lg 2·lg 4＝8lg22，故C正确.故选ACD.
7.若log43＝mlog23，则log m＝________.
答案　－2
解析　∵log43＝log23，
∴m＝，∴log m＝－2.
8.已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
答案　
解析　当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，
即8－2a>a，且8－2a>0，
解得1当0由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，
且8－2a>0.
∴8－a0，此时解集为 .
综上可知，实数a的取值范围是.
9.设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a答案　(0，1)
解析　由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)，
∴ab＝1，010.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求实数a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值.
解　(1)∵f(1)＝2，
∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)，
∴a＝2.由得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1，3).
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]
＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈[0，1]时，f(x)单调递增；
当x∈时，f(x)单调递减，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
11.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)＞－2.
解　(1)当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝log(－x).
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x).
所以x＜0时，f(x)＝log(－x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)＞－2可化为
f(|x2－1|)＞f(4).
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以0＜|x2－1|＜4，解得－＜x＜且x≠±1，
而x2－1＝0时，f(0)＝0＞－2，所以x＝1或x＝－1.
所以－＜x＜.
所以不等式的解集为{x|－＜x＜}.
12.(2021·重庆调研)设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调增函数；②存在[m，n] D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0且a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为g(x)＝loga(a2x＋t)是定义在R上的“成功函数”，
所以g(x)为增函数，且g(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，故g(m)＝m，g(n)＝n，
即g(x)＝x有两个不相同的实数根.
又loga(a2x＋t)＝x，即a2x－ax＋t＝0.
令s＝ax，s>0，
即s2－s＋t＝0有两个不同的正数根，
可得
解得013.(2021·北京卷)已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论：
(1)若k＝0，则f(x)有两个零点；
(2) k<0，使得f(x)有一个零点；
(3) k<0，使得f(x)有三个零点；
(4) k>0，使得f(x)有三个零点.
以上正确结论的序号是________.
答案　(1)(2)(4)
解析　零点个数问题，转化成两个函数图象的交点个数来分析.
令f(x)＝|lg x|－kx－2＝0，
可转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2的图象的交点个数问题.
对于(1)，当k＝0时，y2＝2与y1＝|lg x|的图象有两个交点，(1)正确；
对于(2)，存在k<0，使y2＝kx＋2与y1＝|lg x|的图象相切，(2)正确；
对于(3)，若k<0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2的图象最多有2个交点，(3)错误；
对于(4)，当k>0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lg x(x>1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确.
14.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.
解　(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x
＝2－2(log2x－1)2.
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，
故函数h(x)的值域为[0，2].
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1，4]，
所以t＝log2x∈[0，2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0，2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3.
所以k<－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3).

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