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第3节　空间直线、平面的平行
考试要求　从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a α，b α，a∥b a∥α
性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β
性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a α a∥β
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
1.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
2.三种平行关系的转化
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(　　)
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(　　)
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(　　)
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.
(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.
2.下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是(　　)
A.直线a上有无数个点不在平面α内
B.直线a与平面α内的所有直线平行
C.直线a与平面α内无数条直线不相交
D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交
答案　D
解析　因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.
3.(2021·湖州期末)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，则“m∥β”是“α∥β”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　根据m α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；
反之，α∥β，m α，所以m和β没有公共点，所以m∥β，即由α∥β能得到m∥β.
所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.
4.(多选)(2021·济宁期末)已知m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是(　　)
A.若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B.若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
C.若m∥n，n α，α∥β，m β，则m∥β
D.若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β
答案　BC
解析　A.若m∥α，n∥β且α∥β，则可能m∥n，m、n异面，或m，n相交，A错误；
B.若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正确；
C.若m∥n，n α，则m∥α或m α，又α∥β，m β，故m∥β，C正确；
D.若m∥n，n⊥α，则m⊥α，又α⊥β，则m∥β或m β，D错误.
5.(多选)(2022·青岛质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是(　　)
A.FG∥平面AA1D1D
B.EF∥平面BC1D1
C.FG∥平面BC1D1
D.平面EFG∥平面BC1D1
答案　AC
解析　∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，
∵FG 平面AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，
∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；
∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，
∴EF与平面BC1D1相交，故B错误；
∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，
∵FG 平面BC1D1，BC1 平面BC1D1，
∴FG∥平面BC1D1，故C正确；
∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误.
6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________.
答案　平行四边形
解析　∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
　考点一　直线与平面平行的判定与性质
角度1　直线与平面平行的判定
例1 如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.
证明　法一　如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB.
又AP＝DQ，∴PE＝QB，
又PM∥AB∥QN，
∴＝＝＝，∴＝.
又AB綉DC，∴PM綉QN，∴四边形PMNQ为平行四边形，
∴PQ∥MN.又MN 平面BCE，PQ 平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
法二　如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE交AB于点M，连接QM.
则PM∥平面BCE，
∵PM∥BE，
∴＝，又AE＝BD，AP＝DQ，
∴PE＝BQ，∴＝，∴＝，
∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，
∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，
∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ 平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.
角度2　直线与平面平行的性质
例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.
证明　如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，∴PA∥OM，
又OM 平面BMD，PA 平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
感悟提升　(1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点).
②利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α).
③利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β).
④利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β).
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.
训练1 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论.
(1)证明　如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
因为O，M分别为AC，EF的中点，
四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.
又因为OE 平面BDE，AM 平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)解　l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM 平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM 平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.
　考点二　平面与平面平行的判定与性质
例3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l.
证明　(1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1綉B1C1綉BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，
平面ABCD∩平面A1BD＝BD，
所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
感悟提升　1.判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
2.面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行.
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
提醒　利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.
训练2 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点.
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点.
证明　(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，
∵A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G，
又F，G分别为A1B1，AB的中点，
∴A1F＝BG，又A1F∥BG，
∴四边形A1GBF为平行四边形，
则BF∥A1G，
∵A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF 平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，
则A1C1∥GH，得GH∥AC，
∵G为AB的中点，∴H为BC的中点.
　考点三　平行关系的综合应用
例4 如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
证明　(1)如图，连接EC，因为AD∥BC，BC＝AD，
所以BC∥AE，BC＝AE，
所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点.
又因为F是PC的中点，所以FO∥AP，
因为FO 平面BEF，AP 平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
(2)连接OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，
所以FH∥PD，
因为PD 平面PAD，FH 平面PAD，
所以FH∥平面PAD.
又因为O是AC的中点，H是CD的中点，
所以OH∥AD，
因为AD 平面PAD，OH 平面PAD，
所以OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，FH，OH 平面OHF，
所以平面OHF∥平面PAD.
又因为GH 平面OHF，
所以GH∥平面PAD.
感悟提升　三种平行关系的转化
训练3 如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明　(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点.
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE 平面DMF，MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥NG，
又DE 平面MNG，NG 平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点，N为AD的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，
又BD 平面MNG，MN 平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.
1.(多选)已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线.给出下列命题，其中正确的命题是(　　)
A.若l上两点到α的距离相等，则l∥α
B.若l⊥α，l∥β，则α⊥β
C.若α∥β，l β，且l∥α，则l∥β
D.若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n
答案　BC
解析　对于A，若直线l在平面α内，l上有两点到α的距离为0，相等，此时l不与α平行，所以A错误；
对于B，因为l∥β，所以存在直线m β使得l∥m，因为l⊥α，所以m⊥α，又m β，所以β⊥α，所以B正确；
对于C，l∥α，故存在m α使得l∥m，因为α∥β，所以m∥β，因为l∥m，l β，所以l∥β，C正确；
对于D，因为m⊥α，n⊥β，α⊥β，所以m⊥n，所以D错误.
2.如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交
C.AC在此平面内 D.平行或相交
答案　A
解析　把这三条线段放在正方体内可得如图，显然AC∥EF，AC 平面EFG，∵EF 平面EFG，故AC∥平面EFG.
3.下列命题中正确的是(　　)
A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，则b∥α
答案　D
解析　A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确.
4.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有(　　)
A.0条 B.1条
C.2条 D.1条或2条
答案　C
解析　如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.
∵EF 平面BCD，GH 平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
又∵EF 平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.
又EF 平面EFGH，CD 平面EFGH.
∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，
所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条.
5.(2021·重庆联考)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且＝＝，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则＝(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　如图所示，延长AE交CD于H，连接FH，则△DEH∽△BEA，所以＝＝.因为平面AEF∥平面BD1G，平面AEF∩平面CDD1C＝FH，平面BD1G∩平面CDD1C1＝D1G，所以FH∥D1G.又四边形CDD1C1是平行四边形，所以△DFH∽△C1GD1，所以＝，因为＝＝，所以＝，因为＝，所以FD1＝C1G，DF＝CG，所以＝，故选B.
6.(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是(　　)
A.没有水的部分始终呈棱柱形
B.水面EFGH所在四边形的面积为定值
C.随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行
D.当容器倾斜如图(3)所示时，AE·AH为定值
答案　AD
解析　根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行)，结合题中图形易知A正确；
由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B错误；
因为A1C1∥AC，AC 平面ABCD，A1C1 平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，A1C1不平行于水面所在平面，故C错误；
当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH－BFG的体积V为定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不变，所以S△AEH也不变，即AE·AH为定值，故D正确.
7.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ.
可以填入的条件有________(填序号).
答案　①或③
解析　由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确.
8.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________.
答案　①④
解析　①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，
∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图).
④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.
在②③中不能判定AB∥平面MNP.
9.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
答案　Q为CC1的中点
解析　如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B 平面PAO，QB 平面PAO，PO 平面PAO，PA 平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，D1B，QB 平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
10.(2022·百校大联考)已知在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，Q为PC的中点.
(1)求证：BQ∥平面PAD；
(2)若PD＝3，BC＝，BC⊥BD，试在线段PC上确定一点S，使得三棱锥S－BCD的体积为.
(1)证明　取PD的中点G，连接AG，GQ，
因为Q为PC的中点，所以GQ∥DC，且GQ＝DC，
又因为AB∥DC，DC＝2AB，所以GQ∥AB，GQ＝AB，
所以四边形ABQG是平行四边形，
所以BQ∥AG，
又BQ 平面PAD，AG 平面PAD，所以BQ∥平面PAD.
(2)解　因为在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DC＝2AB，
所以点B在线段CD的垂直平分线上，
又因为BC＝，BC⊥BD，
所以BD＝BC＝，
所以△BCD的面积S＝××＝1.
设点S到平面ABCD的距离为h，
所以×1×h＝，所以h＝2，
又PD⊥平面ABCD，PD＝3，
所以点S在线段PC上靠近点P的三等分点处.
11.(2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求点C到平面C1DE的距离.
(1)证明　如图，连接B1C，ME.
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME＝B1C.
又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.
由题设知A1B1綉DC，
可得B1C綉A1D，故ME綉ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，
所以MN∥ED.
又MN 平面C1DE，DE 平面C1DE，
所以MN∥平面C1DE.
(2)解　过点C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C 平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，
故DE⊥CH.所以CH⊥平面C1DE，
故CH的长即为点C到平面C1DE的距离.
由已知可得CE＝1，C1C＝4，
所以C1E＝，故CH＝.
从而点C到平面C1DE的距离为.
12.(多选)《九章算术·商功》记载了一个古代数学名词“堑堵”.即两底面为直角三角形的直棱柱，亦即长方体的斜截平分体.如图所示，堑堵(即直三棱柱)ABC－DEF中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AD＝4，G是FC的中点，则下列说法正确的是(　　)
A.BE与AG的夹角为
B.平面ABC内存在直线平行于平面AEG
C.三角形AGE为直角三角形
D.点D到平面AGE的距离为
答案　BC
解析　∵BE∥CG，∴∠AGC即为BE与AG所成的角(或其补角)，∵G为CF的中点，CF＝AD＝4，AC＝2，∴AC＝CG，又CF⊥平面ABC，∴∠AGC＝，A错误；
取ED，EA的中点M、N，连接MN，FM，GN，则MN∥FG，MN＝FG，∴四边形MNGF为平行四边形，∴MF∥NG，∵MF 平面AGE，NG 平面AGE，∴MF∥平面AGE，而MF 平面DEF，平面ABC∥平面DEF，B正确；
依题意可知，AG＝2，EG＝2，EA＝2，∴AG2＋EG2＝EA2，∴AG⊥GE，
∴△AGE为直角三角形，C正确；
设点D到平面AGE的距离为h，则由VD－AGE＝VE－ADG可知h·×2×2＝×2××2×4，则h＝，D错误.
13.(多选)(2021·肇庆二模)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，P是线段BC1上的一动点，则下列说法中正确的是(　　)
A.A1P∥平面AD1C
B.A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值是
C.A1P＋PC的最小值为
D.以A为球心，为半径的球面与侧面DCC1D1的交线长是
答案　ACD
解析　对于A，由于平面A1BC1∥平面AD1C，A1P 平面A1BC1，所以A1P∥平面AD1C，所以A正确；
对于B，当B1P⊥BC1时，A1P与平面BCC1B1所成角的正切值最大，易求最大值是，所以B错误；
对于C，将△A1C1B沿BC1翻折与△BCC1在同一平面，且点A1，C在直线BC1的异侧，此时在△A1CC1中，由三角恒等变换可求得cos∠A1C1C＝－，由余弦定理可得A1C＝，所以A1P＋PC的最小值为，C正确；
对于D，由于AD⊥平面DCC1D1，所以交线为以D为圆心，1为半径的圆周的四分之一，所以交线长是，D正确.
14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.
(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；
(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明.
(1)证明　连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1，
因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以＝＝，
又因为＝＝，
所以＝＝，
所以PQ∥MD1.
又MD1 平面A1D1DA，
PQ 平面A1D1DA，
故PQ∥平面A1D1DA.
(2)解　当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.
如图，证明：
因为＝，
即＝，故＝.所以PR∥DA.
又DA 平面A1D1DA，PR 平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，
又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，
所以平面PRQ∥平面A1D1DA.

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