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第6章 概率与统计（浙江省专用）
第26节 频率与概率
【考试要求】
1.了解不可能事件、不确定（随机）事件和必然事件，能区分三种事件，并体会随机事件发生的可能性的大小；
2.理解并掌握等可能性事件的概率计算公式，能够运用列举法（包括列表、画树状图）求简单事件发生的概率，并利用概率的大小来解决生活实际问题；
3.在具体情境中理解概率的意义，知道当某一随机事件发生的频率随着大量重复实验而逐渐稳定后，频率可以作为事件发生概率的估计值
【考情预测】
该内容以考查基础为主，也是考查重点，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右，预计2022年各地中考还将出现，并且在选择、解答中考查事件的判断、随机事件的概率、概率与几何、频率估计概率、用树状图或列表法求概率、游戏的公平性问题等知识这部分知识是考生的得分点，应掌握扎实。
【考点梳理】
1．在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件．
2．我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示．事件A发生的概率记为P(A)．简单事件的概率可以通过统计事件发生的所有不同结果来计算，常用的方法有：枚举法、列表法和画树状图等．
3．事件A发生的概率：P(A)＝＝(m≤n)．
注意：事件发生的各种结果的可能性需相同且互相排斥．
4．必然事件发生的概率是 1 ，不可能事件发生的概率是 0 ，不确定事件(随机事件)发生的概率介于0与1之间．
5.概率与频率
（1）当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，即事件发生可能性的大小可以用试验的频率来表示，然后用概率的知识来解决问题．
（2）频率与概率二者并不完全相同，频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性．
6.概率的应用
有关单转盘、双转盘、抛硬币、摸球游戏等概率模型，可以用枚举法、画树状图或列表法求解．
【重难点突破】
考向1. 事件的可能性
【典例精析】
【例】（2021·浙江中考真题）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）．
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
【答案】D
【分析】结合题意，根据不可能事件的定义分析，即可得到答案．
【详解】经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件∴选项A错误；
射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件∴选项B错误；
班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件∴选项C错误；
从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件∴选项D正确；故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件的知识；解题的关键是熟练掌握不可能事件的性质，从而完成求解．
【变式训练】
变式1-1．（2021 上城区二模）事件：在一个仅装有2个红球和8个黑球的袋子里，摸出一个白球．这个事件是（　　）
A．可能事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．必然事件
【思路点拨】根据事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，进行判断即可．
【答案】在一个仅装有2个红球和8个球的袋子里，摸出一个白球这个事件是不可能事件，选：C．
【点评】本题主要考查了随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
变式1-2．（2021 北仑区期末）下列说法正确的是（　　）
A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是不可能事件
B．“两直线被第三条直线所截，同位角相等”是必然事件
C．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
D．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
【思路点拨】直接利用概率的意义以及随机事件的概念分别分析得出答案．
【答案】解：A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，不符合题意；
B．“两直线被第三条直线所截，同位角相等”是随机事件，不符合题意；
C．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的可能性都在降雨，不符合题意；
D．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，符合题意；故选：D．
【点评】此题主要考查了概率的意义，正确掌握概率的意义是解题关键．
变式1-3．（2021·江苏·泰州中学附属初中三模）下列事件：①在体育中考中小明考了满分；②抛掷两枚正方体骰子的点数和大于1；③经过有交通信号灯的路口遇到红灯；④四边形的外角和为180度．其中属于随机事件的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；
必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】①在体育中考中小明考了满分，是随机事件；②抛掷两枚正方体骰子的点数和大于，是必然事件，③经过有交通信号灯的路口遇到红灯，是随机事件，④四边形的外角和为度，是不可能事件．则其中属于随机事件的是①③，共计2个，故选B．
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·广西玉林市·中考真题）一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个白球 B．至少有2个白球 C．至少有1个黑球 D．至少有2个黑球
【答案】A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：一个不透明的袋子中只有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，A、3个球中至少有1个白球，是必然事件，故本选项符合题意；
B、3个球中至少有2个白球，是随机事件，故本选项不符合题意；
C、3个球中至少有1个黑球，是随机事件，故本选项不符合题意；
D、3个球中至少有2个黑球，是随机事件，故本选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（2021·四川德阳·中考真题）下列说法正确的是（　　）
A．为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择抽样调查
B．了解九年级（1）班同学的视力情况，应选择全面调查
C．购买一张体育彩票中奖是不可能事件
D．抛掷一枚质地均匀的硬币刚好正面朝上是必然事件
【答案】B
【分析】根据随机事件、必然事件和不可能事件的概念、全面调查和抽样调查的概念判断即可．
【详解】解：A、为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择全面调查，本选项说法错误，不符合题意；B、了解九年级（1）班同学的视力情况，应选择全面调查，本选项说法正确，符合题意；
C、购买一张体育彩票中奖是随机事件，本选项说法错误，不符合题意；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币刚好正面朝上是随机事件，本选项说法错误，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念、全面调查和抽样调查．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（2021·湖南·长沙市北雅中学二模）事件A：掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面；事件B：连续掷三次硬币，都是正面朝上．则（ ）
A．事件A和事件B都是必然事件 B．事件A是随机事件，事件B是不可能事件
C．事件A是必然事件，事件B是随机事件 D．事件A和事件B都是随机事件
【答案】D
【分析】在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然事件；在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件；在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件；据此判断即可得答案．
【详解】∵掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面可能是正面，也可能是背面，
∴掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面是随机事件，
∵连续掷三次硬币，可能正面朝上，也可能背面朝上，
∴连续掷三次硬币，都是正面朝上是随机事件，∴事件A和事件B都是随机事件，故选：D．
【点睛】本题考查随机事件和必然事件，正确理解定义是解题关键．
4．（2021·江苏扬州市·中考真题）下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）
A．3天内将下雨 B．打开电视，正在播新闻
C．买一张电影票，座位号是偶数号 D．没有水分，种子发芽
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、3天内将下雨，是随机事件；B、打开电视，正在播新闻，是随机事件；
C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；
D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；故选D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（2021·湖北襄阳市·中考真题）不透明袋子中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，从袋子中随机摸出2个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的2个球中至少有1个红球 B．摸出的2个球都是白球
C．摸出的2个球中1个红球、1个白球 D．摸出的2个球都是红球
【答案】A
【分析】根据随机事件和必然事件的具体意义进行判断即可．
【详解】解：袋子里装有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，根据抽屉原理可知，
随机摸出2个球，至少有1个红球，故选：A．
【点睛】本题考查随机事件，理解随机事件的实际意义是正确判断的前提．
考向2. 简单事件的概率计算公式
【典例精析】
【例】（2021·浙江金华市·中考真题）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是____________．
【答案】
【分析】直接利用概率公式求解．
【详解】解：根据随机事件概率公式得；1张奖券中一等奖的概率为，故答案是：．
【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是：理解随机事件的概率等于事件可能出现的结果数除以所有的可能出现的结果数．
【变式训练】
变式2-1. （2021 温州）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张”梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】直接利用概率公式计算可得．
【答案】解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为，故选：A．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
变式2-2. （2021·浙江宁波市·中考真题）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为________．
【答案】
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．
【详解】解：从袋中任意摸出一个球有8种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有3种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
变式2-3. （2021·湖北随州市·中考真题）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出阴影部分的面积占大正方形的份数即可判断．
【详解】解：∵两个小正方形的面积为和，∴两个小正方形的边长为和，
∴大正方形的边长为，∴大正方形的面积为，
∴阴影部分的面积为，∴米粒落在图中阴影部分的概率为，故选：A．
【点睛】本题主要考查了几何概率，熟练掌握正方形边长与面积的关系是解题关键．
【考点巩固训练】
1．（2021 温州）在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【答案】解：∵袋子中共有10个小球，其中白球有2个，
∴摸出一个球是白球的概率是＝，故选：D．
【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
2．（2021 宁波）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5即为所求的概率．
【答案】解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，∴正面的数字是偶数的概率为，故选：C．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
3．（2021 绍兴）抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2的概率是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】让朝上一面的数字是2的情况数除以总情况数6即为所求的概率．
【答案】解：∵抛掷六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6的骰子有6种结果，其中朝上一面的数字为2的只有1种，∴朝上一面的数字为2的概率为，故选：A．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
4．（2021 湖州）已知现有的10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】直接利用概率公式求解．
【答案】解：从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率＝＝．故选：C．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
5．（2021·浙江台州市·中考真题）一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机模出一个小球，该小球是红色的概率为_____．
【答案】
【分析】直接利用概率公式即可求解．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查求概率，掌握概率公式是解题的关键．
6．（2021·江苏苏州市·中考真题）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．
【答案】
【分析】先判断黑色区域的面积，再利用概率公式计算即可
【详解】解：因为正方形的两条对角线将正方形分成面积相等的四个三角形，即四个黑色三角形的面积等于一个小正方形的面积，所以黑色区域的面积为2个小正方形的面积，而共有9个小正方形则有小球停留在黑色区域的概率是故答案为：
【点睛】本题考查概率的计算，正方形的性质、熟练掌握概率公式是关键
考向3. 用频率估计概率
【典例精析】
【例】（2021 绍兴）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：
组别（cm） x＜160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180
人数 5 38 42 15
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（　　）
A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15
【思路点拨】先计算出样本中身高不低于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【答案】解：样本中身高不低于180cm的频率＝＝0.15，
所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15．故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
【变式训练】
变式3-1. （2021·湖北宜昌市·中考真题）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是___________（填“黑球”或“白球”）．
【答案】白球
【分析】利用频率估计概率的知识，确定摸出黑球的概率，由此得到答案．
【详解】解：由图可知：摸出黑球的频率是0.2，
根据频率估计概率的知识可得，摸一次摸到黑球的概率为0.2，
∴可以推断盒子里个数比较多的是白球，故答案为：白球．
【点睛】此题考查利用频率估计概率，正确理解图象的意义是解题的关键．
变式3-2. （2021·四川成都·一模）在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，则口袋中白球可能有（ ）
A．6个 B．15个 C．13个 D．12个
【答案】D
【分析】设袋中白球的个数为x，由摸到红球的频率稳定在20%附近，列出方程，进而求出白球个数即可．
【详解】解： 根据题意，得：＝20%，解得：x＝12，
经检验，x＝12是分式方程的解，所以口袋中白球可能有12个．选：D
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
变式3-3. （2021 乐清市模拟）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．
（1）该事件最有可能是　 （填写一个你认为正确的序号）．
①一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，多次经过该路口时，看见红灯的概率；②掷一枚硬币，正面朝上；③暗箱中有一个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球．
（2）你设计的一个游戏，多次掷一个质地均匀的正六面体骰子，当骰子数字　 　正面朝上，该事件发生的概率接近于．
【思路点拨】（1）根据统计图可知发生的频率接近，从而可以解答本题；
（2）本题答案不唯一，设计的只要能说明该事件发生的概率接近于即可．
【答案】解：（1）由折线统计图可得，该事件最有可能是暗箱中有一个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球，故答案为：③；
（2）设计的一个游戏，多次掷一个质地均匀的正六面体骰子，当骰子数字1或2正面朝上，该事件发生的概率接近于，故答案为：1或2．
【点评】本题考查利用频率估计概率、频数分布折线图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【考点巩固训练】
1．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）某家庭记录使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：，得到频数分布表如下：
日用水量
频数 1 5 13 10 16 5
估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率为 __．
【答案】
【分析】分析表中数据，计算50天日用水量少于0.3的频数，由，计算即可．
【详解】解：由表可知，使用后，50天日用水量少于0.3的频数为，
所以估计50天日用水量少于0.3的概率为，故答案为：．
【点睛】本题考查频率的计算，用频率估计概率，根据相关知识点解题是关键．
2．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．
身高
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【答案】C
【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【详解】解：样本中身高不低于170cm的频率，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
3．（2020·湖南邵阳市·中考真题）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】假设不规则图案面积为x，由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，综上有：，解得．故选：B．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
4．（2020·江苏扬州市·中考真题）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为________．
【答案】2.4
【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积得60%计算即可；
【详解】∵正方形的二维码的边长为2cm，∴正方形二维码的面积为，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴黑色部分的面积占正方形二维码面积得60%，
∴黑色部分的面积约为：，故答案为．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率进行求解，准确立即数据的意义是解题的关键．
5．（2021·河北河北·二模）在一个不透明的口袋中，放置3个黄球、1个红球和个蓝球．这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率，如图，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】根据统计图可以判断出蓝球出现的频率是0.6，根据，求出结果即可．
【详解】根据统计图可知，蓝球出现频率为0.6，所以可列式，解得n=6，
经检验：是原方程的根且符合题意，故选：C．
【点睛】本题考查了频率的相关知识，通过频率的计算公式即可求得所需结果．
6．（2021 象山县期末）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组进行摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再放回，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 33 60 130 202 251
摸到黑球的频率 0.23 0.22 0.30 0.26 0.2525 0.251
（1）当n很大时，估计从袋中摸出一个黑球的概率是　　；（2）试估算口袋中白球有　　个；（3）在（2）的条件下，若从中先换出一球，不放回，摇匀后再摸出一球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率．
【思路点拨】（1）由频率可估计概率，继而求得答案；（2）首先可求得摸出黑球的概率，然后直接利用概率公式求解即可求得答案；（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【答案】解：（1）由表可得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.25；故答案为：；
（2）∵在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，且摸到黑球的概率为；∴口袋中黑色的球有4×＝1（个），则白色球有3个，故答案为：3．
（3）列表：
黑 白 白 白
黑 白，黑 白，黑 白，黑
白 黑，白 白，白 白，白
白 黑，白 白，白 白，白
白 黑，白 白，白 白，白
∴两次都摸到白球的概率P＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及利用频率估计概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
考向4. 树状图、列表法与概率计算
【典例精析】
【例】（2021 婺城区模拟）三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上的数字恰好都小于3的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【答案】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，
∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率是；故选：C．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【变式训练】
变式4-1. （2021·河南中考真题）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，所抽中的恰好是B和D的结果有2种，
∴所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的概率为．故选：A．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
变式4-2. （2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是__________．
【答案】
【分析】根据题意画出树状图，得到共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光有2种等可能性，根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图得
，
由树状图得共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光应同时闭合，，故有2种等可能性，所以概率为．故答案为：
【点睛】本题考查了根据题意列表或画树状图求概率，正确列表或画出树状图是解题关键．
变式4-3. （2021·河北中考真题）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口向北走的概率；
（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．
【答案】（1），（2）嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大．
【分析】（1）嘉淇走到十字道口一共有三种可能，向北只有一种可能，根据概率公式求解即可；
（2）根据树状图的画法补全树状图，再根据向哪个方向出现的次数求概率即可．
【详解】解：（1）嘉淇走到十字道口一共有三种可能，向北只有一种可能，嘉淇走到十字道口向北走的概率为；
（2）补全树状图如图所示：
嘉淇经过两个十字道口后共有9种可能，向西的概率为：；向南的概率为；向北的概率为；向东的概率为；嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大．
【点睛】本题考查了概率的应用，解题关键是根据题意准确画出树状图，正确进行求解判断．
【考点巩固训练】
1．（2021·山东威海市·中考真题）在一个不透明的袋子里装有5个小球，每个球上都写有一个数字，分别是1，2，3，4，5，这些小球除数字不同外其它均相同．从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过列举的方法将所有可能的情况一一列举，进而找出小球上的数字都是奇数的情况即可求出对应概率．
【详解】所有可能出现的情况列举如下：；；；; ；；
；;共10种情况，符合条件的情况有：；；；共3种情况；
小球上的数字都是奇数的概率为，故选：C．
【点睛】本题主要考查了简单概率的求解方法，通过列举法列举出等可能的情况是解决本题的关键．
2．（2021·广东中考真题）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用列表法，可求得两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数及两枚骰子向上的点数之和为7的结果数，根据概率计算公式即可求得所求的概率．
【详解】列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
由表知，两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数为36种，两枚骰子向上的点数之和为7的结果数为6，故两枚骰子向上的点数之和为7的概率是： 故选：B．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图求等可能事件的概率，用列表法或树状图可以不重不漏地把事件所有可能的结果数及某一事件的结果数表示出来，具有直观的特点．
3．（2021·湖南永州市·中考真题）小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓，瑶族长鼓舞，东安武术，舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞，舜帝祭典”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式求解即可．
【详解】解：设A、B、C、D分别表示“零陵渔鼓，瑶族长鼓舞，东安武术，舜帝祭典”四种民俗文化，则列表格为：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
由表可知，共有12种等可能结果，其中小明选择体验“瑶族长鼓舞，舜帝祭典”有2种，所以小明选择体验“瑶族长鼓舞，舜帝祭典”的概率为．故选：D．
【点睛】此题考查的是列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
4．（2021·四川广元市·中考真题）“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．截止2021年5月18日16：20，全球接种“新冠”疫苗的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：
甲医院 乙医院
年龄段 频数 频率 频数 频率
18－29周岁 900 0.15 400 0.1
30－39周岁 a 0.25 1000 0.25
40－49周岁 2100 b c 0.225
50－59周岁 1200 0.2 1200 0.3
60周岁以上 300 0.05 500 0.125
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：①填空：_________，_________，_________；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40－49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为______；（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率．
【答案】（1）①1500，0.35，6=900；②108°；（2）
【分析】（1）①分别用甲、乙两医院18-29周岁的年龄段的频数除以频率即可求出接种总人数，然后根据频数与频率的关系求出相应的值；②甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40－49周岁年龄段人数与接种总人数的百分比乘以360°即可得到在扇形统计图中所占圆心角；
（2）画出树状图，得出所有等可能的结果数与三人在同一家医院接种的结果数，运用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）①900÷0.15=6000（人），400÷0.1=4000（人）
∴a=6000-900-2100-1200-300=1500 b=1-0.15-0.25-0.2-0.05=0.35
c=4000-400-1000-1200-500=900 故答案为：1500，0.35，6=900；
②360° 故答案为：108°；
（2）画树状图为：
∴所有等可能的结果共有8种情况，而同在一所医院接种的有2种结果数，
∴三人在同一家医院接种的概率．
【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图以及概率的计算，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
5．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）某中学对九年级学生开展了“我最喜欢的鄂尔多斯景区”的抽样调查（每人只能选一项）：A－动物园；B－七星湖；C－鄂尔多斯大草原；D－康镇；E－蒙古源流，根据收集的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，其中B对应的圆心角为，请根据图中信息解答下列问题．
（1）求抽取的九年级学生共有多少人？并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中___________，表示D的扇形的圆心角是___________度；
（3）九年级准备在最喜欢A景区的5名学生中随机选择2名进行实地考察，这5名学生中有2名男生和3名女生，请用树状图或列表法求选出的2名学生都是女生的概率．
【答案】（1）200，统计图见详解；（2）20，36°；（3）
【分析】（1）先根据B对应的圆心角为90°，B的人数是50，得出此次抽取的总人数，求出C对应的人数，补全条形统计图即可；（2）根据E的人数是40人求出所占的百分比，求出m的值，由D对应的人数，求出表示D的扇形的圆心角即可；（3）画出树状图，求出所有的情况和两名学生都是女生的情况，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：（1）∵B对应的圆心角为90°，B的人数是50，
∴此次抽取的九年级学生共50÷＝200（人），
C对应的人数是：200 60 50 20 40＝30（人），补全条形统计图如图所示：
（2）E所占的百分比为40÷200×100%＝20%，∴m＝20，
表示D的扇形的圆心角是360°×＝36°；故答案为：20，36°；
（3）画树状图如图所示：
∵共有20种情况，选出的两名学生都是女生的情况有6种，
∴选出的两名学生都是男生的概率是6÷20＝．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图；读懂统计图中的信息，画出树状图是解题的关键．
6．（2021·江苏泰州市·中考真题）江苏省第20届运动会将在泰州举办，“泰宝”和“凤娃”是运动会吉祥物．在一次宣传活动中，组织者将分别印有这两种吉祥物图案的卡片各2张放在一个不透明的盒子中并搅匀，卡片除图案外其余均相同．小张从中随机抽取2张换取相应的吉祥物，抽取方式有两种：第一种是先抽取1张不放回，再抽取1张；第二种是一次性抽取2张．
（1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率 　 　（填“相同”或“不同”）；
（2）若小张用第一种方式抽取卡片，求抽到不同图案卡片的概率．
【答案】（1）相同；（2）
【分析】（1）画树状图即可判断；（2）结合第（1）题所画树状图可求概率．
【详解】解：（1）设两张“泰宝”图案卡片为，两张“凤娃”图案卡片为
画出两种方式的树状图，是相同的，所以抽到不同图案卡片的概率是相同的．故答案为：相同
（2）由（1）中的树状图可知，抽取到的两张卡片，共有12种等可能的结果，其中抽到不同图案卡片的结果有8种．∴P（两张不同图案卡片）
【点睛】本题考查了用列举法求概率的知识点，画树状图或列表是解题的基础，准确求出符合某种条件的概率是关键．
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第6章 概率与统计（浙江省专用）
第26节 频率与概率
【考场演练】
一、选择题
1．（2021 北仑区模拟）若实数a＜0，则下列事件中是必然事件的是（　　）
A．a3＞0 B．3a＞0 C．a+3＜0 D．a﹣3＜0
【思路点拨】首先由不等式的性质确定3a＜0，a﹣3＜0，a3＞0；当a＜﹣3时，a+3＜0，当a＝﹣3时，a+3＝0，当﹣3＜a＜0时，a+3＞0；然后根据随机事件定义求解即可求得答案．
【答案】解：∵a＜0，∴3a＜0，a﹣3＜0，a3＞0；
当a＜﹣3时，a+3＜0，当a＝﹣3时，a+3＝0，当﹣3＜a＜0时，a+3＞0；
故A属于不可能事件，B属于不可能事件，C属于随机事件，D属于必然事件．故选：D．
【点评】此题考查了随机事件的定义．注意理解随机事件的定义是解此题的关键．
2．（2021·湖南中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上，这次数学测试成绩也一定在90分以上
【答案】B
【分析】根据概率的意义即可求出答案．
【详解】解：A. “明天的降水概率为80%”，只能说明有很大机会下雨，而不能说明有80%的时间降雨，故A错误；B. 经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，说法正确符合题意；
C. “某彩票中奖概率是1%”，只能说明中奖的机会很小，故C错误；
D. 小明前几次的数学测试成绩与这次测试成绩并没有任何关系，故D错误；故选：B．
【点睛】本题考查概率的意义，解题的关键是正确理解概率的意义．
3．（2021·江苏常州市·中考真题）以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是，则对应的转盘是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据概率公式求出每个选项的概率，即可得到答案．
【详解】解：A．指针落在阴影区域的概率是，B．指针落在阴影区域的概率是，
C．指针落在阴影区域的概率是，D．指针落在阴影区域的概率是，故选D．
【点睛】本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式，是解题的关键．
4．（2021·贵州安顺市·中考真题）“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则的值可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】根据必然事件的意义，进行解答即可．
【详解】解：根据题意可得，x的值可能为4．如果是5、7、6，那么与摸出球上的号码小于5”是必然事件相违背．故选：A．
【点睛】本题考查随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的可能性是正确解答的关键．
5．（2021·江苏徐州市·中考真题）甲、乙两个不透明的袋子中各有三种颜色的糖果若干，这些糖果除颜色外无其他差别．具体情况如下表所示．
袋子 糖果 红色 黄色 绿色 总计
甲袋 2颗 2颗 1颗 5颗
乙袋 4颗 2颗 4颗 10颗
若小明从甲、乙两个袋子中各随机摸出一颗糖果，则他从甲袋比从乙袋（ ）
A．摸出红色糖果的概率大 B．摸出红色糖果的概率小
C．摸出黄色糖果的概率大 D．摸出黄色糖果的概率小
【答案】C
【分析】分别对甲乙两个袋子的红色及黄色的糖果的概率进行计算，再去比较即可．
【详解】解：P（甲袋摸出红色糖果）， P（甲袋摸出黄色糖果），
P（乙袋摸出红色糖果），P（乙袋摸出黄色糖果），
∴P（甲袋摸出红色糖果）=P（乙袋摸出红色糖果），故A，B错误；
P（甲袋摸出黄色糖果）>P（乙袋摸出黄色糖果），故D错误，C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了简单概率的计算，掌握概率公式并能灵活掌握是解题关键．
6．（2021·广西来宾市·中考真题）如图，小明从入口进入博物馆参观，参观后可从，，三个出口走出，他恰好从出口走出的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题根据事件的三种可能性即可确定答案
【详解】当从A口进，出来时有三种可能性即：B，C，D；恰好从C口走出的可能性占总的 ，故概率为；故答案选：B；
【点睛】此题考查事件的可能性，根据事件发生的所有可能确定概率即可．
7．（2021·内蒙古呼和浩特·模拟预测）某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数
C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的点数之和是7
【答案】C
【分析】分别算出每个选项的概率，再与图中结果对比即可得到答案．　
【详解】解：A中的概率为0.5,不符合这一结果,故此选项错误;
B中的概率为0.5,不符合这一结果,故此选项错误;C中的概率为,符合这一结果,故此选项正确;
D中的概率为,不符合这一结果,故此选项错误.故选C.
【点睛】本题考查频率与概率的综合应用，熟练掌握概率与频率的关系、概率的求解是解题关键．
8．（2021 慈溪市模拟）一个不透明的袋中有三张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3．随机抽取一张卡片作为十位，然后放回，再随机抽取一张卡片作为个位，这样组成的两位数是3的倍数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】结合树状图或表格，直接求出两位数是3的倍数的概率，即出现的次数与总次数的比值．
【答案】解：
∵数据总个数是9个，组成的两位数是3的倍数，一共有3个：21，12，33；
∴组成的两位数是3的倍数的概率是，故选：A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
二、填空题
9．（2021·湖北襄阳市·中考真题）中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“－－－”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“－－－”上方的概率是______．
【答案】
【分析】直接由概率公式求解即可．
【详解】解：“馬”移动一次可能到达的位置共有8种，到达“－－－”上方的由2种，
故则“馬”随机移动一次，到达的位置在“－－－”上方的概率是，故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用概率公式计算简单的概率问题，解题的关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为__________________．
马匹姓名 下等马 中等马 上等马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
【答案】
【分析】利用列举法求概率，列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：齐王的三匹马出场顺序为10，8，6；
而田忌的三匹马出场顺序为5，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；共6种，田忌能赢得比赛的有5，9，7；一种∴田忌能赢得比赛的概率为故答案为：
【点睛】本题考查概率的求法，解题的关键是要注意列举法需要做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11．（2021 温州期末）一只小狗自由自在地在如图所示的某个正方形场地跑动，然后随意停在图中阴影部分的概率是　　．
【思路点拨】确定黑色方格的面积在整个方格中占的比例，根据这个比例即可求出小狗停在黑色方格中的概率．
【答案】解：图上共有16个方格，黑色方格为7个，
小狗最终停在黑色方格上的概率是．故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
12．（2021·北京门头沟·一模）下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表：
月户用电量x（千瓦时/户．月）
户数（户） 5 22 27 31 15
从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为__________．
【答案】0.8．
【分析】根据用电量大于240小于等于400为第二档，即可得出结论．
【详解】由表格可知这100户中，有户为第二档人，∴，故答案为：0.8．
【点睛】本题考查了概率问题，正确读懂表格是解题的关键．
13．（2021·山东青岛·中考真题）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是__________．
【答案】6
【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为 ，后根据概率公式构建方程求解即可．
【详解】解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
，解得：x=6，经检验：x=6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个．故答案为：6．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
14．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只．则20年后存活的有__________只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是__________．
【答案】
【分析】共有a只这种动物，根据题意即可求出这种动物活到20岁的有0.8a只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率通过25岁存活数÷20岁存活数即可得到．
【详解】解：共有a只这种动物
∵这种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，
∴这种动物活到20岁的有0.8a只，活到25岁的有0.5a只，
∴现年20岁的这种动物活到25岁的概率是0.5a÷0.8a=故答案为：．
【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．
15．（2021·重庆中考真题）在桌面上放有四张背面完全一样的卡片．卡片的正面分别标有数字﹣1，0，1，3．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是_______．
【答案】
【分析】画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之积为负数的结果，再由概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图如图：
共有16个等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为负数的结果有4个，
∴两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率=．故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
16．（2021·四川成都市·中考真题）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是_________．
【答案】
【分析】先画树状图确定的所有的等可能的结果数，再分别计算符合要求的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．
【详解】解：画树状图如下：
所以一共有种等可能的结果，
又三角形的顺序旋转和与逆序旋转和分别为：
＜恒成立，为正整数，
满足条件的有：共种情况，
所以此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是： 故答案为：
【点睛】本题考查的是自定义情境下的概率计算，不等式的性质，掌握利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率是解题的关键．
17．（2021·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为__．
【答案】3
【分析】分别假设放入的红球个数为1、2和3，画树状图列出此时所有等可能结果，从中找到摸出一红一黄和两个红球的结果数，从而验证红球的个数是否符合题意．
【详解】解：（1）假设袋中红球个数为1，此时袋中由1个黄球、1个红球，
搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）＝1，P（摸出两红）＝0，不符合题意．
（2）假设袋中的红球个数为2，列树状图如下：
由图可知，共有6种情况，其中两次摸到红球的情况有2种，摸出一红一黄的有4种结果，
∴P（摸出一红一黄）=，P（摸出两红）=，不符合题意，
（3）假设袋中的红球个数为3，画树状图如下：
由图可知，共有12种情况，其中两次摸到红球的情况有6种，摸出一红一黄的有6种结果，
∴P（摸出一红一黄）=P（摸出两红）=，符合题意，
所以放入的红球个数为3，故答案为：3．
【点睛】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题
18．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．
【答案】
【分析】根据题意画出树状图，共有8种等可能的路径，其中落入③号槽内的有3种路径，再由概率公式求解即可.
【详解】画树状图得：
所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号槽内的概率为 .
【点睛】树状图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法．
19．（2020·四川中考真题）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀； B．良好； C．及格：D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．
垃圾分类知识测试成绩统计表
测试等级 百分比 人数
A．优秀 5% 20
B．良好 60
C．及格 45% m
D．不及格 n
请结合统计表，回答下列问题：（1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值；
（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；
（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【答案】（1）400人，；（2）1120人；（3）不公平，树状图见解析
【分析】（1）由优秀的人数除以所占比例得出本次参与调查的学生人数；进而求出m和n的值；
（2）由总人数乘以良好和优秀所占比例即可；
（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果，找出和为奇数的结果有8种，再计算出小明参加和小亮参加的概率，比较两概率的大小可判断这个游戏规则是否公平．
【详解】（1）本次参与调查的学生人数为：20÷5%=400（人），m=400×45%=180，
∵400﹣20﹣60﹣180=140，∴n=140÷400×100%=35%；
（2）5600×=1120（人），即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为1120人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，
∴P（小明参加）==，P（小亮参加）=1﹣=，
∵≠，∴这个游戏规则不公平．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、游戏的公平性、统计表、样本估计总体以及概率公式等知识；画出树状图是解题的关键．
20．（2021·江苏宿迁市·中考真题）即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”：
将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同)背面朝上、洗匀．
(1)若从中任意抽取1张，抽得得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ．
(2)若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．(请用树状图或列表的方法求解)
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出两次抽取的卡片图案相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）∵有3张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，
∴从中随机抽取1张，抽得的卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率为； 故答案为：；
（2）把“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”分别用字母A、B、C表示，画树状图如下：
或列表为：
A B C
A AA AB AC
B BA BB BC
C CA CB CC
由图(或表)可知：共有9种等可能的结果，其中抽到相同图案的有3种，
则两次抽取的卡片图案相同的概率是．
【点睛】此题考查的是树状图法(或列表法)求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（2021·吉林长春·二模）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 800 1000 1500
“射中九环以上”的频数 15 49 71 137 264 534 666 1001
“射中九环以上”的频率 0.750 0.613 0.710 0.685 0.660 0.668 0.666 0.667
（1）根据上表估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为 　 　．（结果保留两位小数）
（2）小明想了解该运动员连续两次射击都“射中九环以上”的概率，他将这个问题进行了简化，制作了三张不透明卡片，其中两张卡片的正面写有“中”，第三张卡片的正面写有“未中”，卡片除正面文字不同外，其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录文字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽取的卡片上都写有“中”的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值，选取射击次数较多的几次求均值；
（2）利用列表法列出所有可能的情况，找出满足条件的次数，利用概率公式求解．
【详解】解：（1）“射中九环以上”的概率约为，故答案是：．
（2）列表如下
第一次/第二次 中 中 未中
中 中/中 中/中 中/未中
中 中/中 中/中 中/未中
未中 未中/中 未中/中 未中/未中
由图可知，总的情况数是种，满足两次抽取的卡片上都写有“中”的有种，由概率公式：
∴（两次抽取的卡片上都写有“中”）．
【点睛】本题考查了概率与频率之间的关系和利用画树状图或列表法求概率问题，解题的关键是：理解相关的定义，用频率作为概率的近似值．
22．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）如图，可以自由转动的两个转盘被它的半径分成标有数字的扇形区域，每个扇形圆心角的度数如图所示，小亮和小周做游戏，规则如下：小亮，小周同时转动两个转盘，待转查自动停止后，指针指向扇形内部，则该扇形内部的数字即为转出的结果（若指针指向两个扇形的交线，则此次转动无效，重新转动，直到两个转盘的指针均指向扇形的内部为止）若两个转所得数字乘积为1则小亮赢，否则小周赢．
（1）只转动右边转盘则出现的概率为____________．
（2）这个游戏公平吗 请说明理由．
【答案】（1）；（2）这个游戏不公平，理由见详解．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，小亮赢的结果有5种，小周赢的结果有4种，再由概率公式求出小周赢的概率为，小亮赢1概率为，即可得出结论．
【详解】解：（1）只转动转盘B，则出现的概率为：，故答案为：；
（2）这个游戏不公平，理由如下：
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小亮赢的结果有5种，小周赢的结果有4种，
∴小周赢的概率为，小亮赢1概率为，
∵，∴这个游戏不公平．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（2021·四川眉山市·中考真题）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图回答下列问题：（1）本次抽取调查的学生共有 人，其中“了解较多”的占 %；
（2）请补全条形统计图：（3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有 人；
（4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生，，是初一学生，1名学生为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率．
【答案】（1）50，30；（2）见详解；（3）780；（4）
【分析】（1）用“了解较少”的人数÷对应的百分比，即可得到抽取调查的总人数，用“了解较多”的人数÷抽取的总人数，即可得到百分比，（2）先求出“基本了解”的人数，再补全统计图，即可；
（3）用1000ד非常了解”和“了解较多”人数之和所占百分比，即可求解；
（4）画出树状图，展示所有等可能的结果，即可求解．
【详解】解：（1）4÷8％=50（人），15÷50×100％=30％，故答案是：50，30；
（2）50-24-4-15=7（人），补全条形统计图如下：
（3）1000×=780（人），故答案是：780；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能结果，恰好抽到初一、初二学生各1名的结果数有6种，
∴恰好抽到初一、初二学生各1名的概率=6÷12=．
【点睛】本题主要考查扇形统计图和条形统计图以及等可能事件的概率，画出树状图，是解题的关键．
24．（2021·江苏盐城市·中考真题）圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．
（1）从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为________；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）
【答案】（1）；（2）见解析，
【分析】(1)这个事件中有10种等可能性,其中是6的有一种可能性,根据概率公式计算即可;
(2)画出树状图计算即可.
【详解】（1）∵这个事件中有10种等可能性,其中是6的有一种可能性,
∴数字是6的概率为,故答案为：；
（2）解：画树状图如图所示：
∵共有12种等可能的结果，其中有一幅是祖冲之的画像有6种情况．
∴（其中有一幅是祖冲之）．
【点睛】本题考查了概率公式计算，画树状图或列表法计算概率，熟练掌握概率计算公式，准确画出树状图或列表是解题的关键．
25．（2021 义乌市校级模拟）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张．（1）用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；（2）计算小明和小亮抽得的两张卡片上的数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜，请判断游戏是否公平？并说明理由．
【思路点拨】（1）根据题意可以写出所有的可能性；（2）根据题意可以分别求得他们获胜的概率．
【答案】解：（1）由题意可得，出现的可能性是：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）；
（2）游戏不公平，理由：出现和为奇数的可能性是：（1，2）、（2，1）、（2，3）、（3，2），
∴小明获胜的概率是，则小亮获胜的概率是，故该游戏不公平．
【点评】本题考查游戏公平性、列表法与树状图法，解答本题的关键明确题意，写出所有的可能性
26．（2021·福建中考真题）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，，
【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率；
（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率．
【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．
此时，比赛的所有可能对阵为：，，
，，共四种．
其中田忌获胜的对阵有，，共两种，
故此时田忌获胜的概率为．
（2）不是．齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是．
综上所述，田忌获胜的所有对阵是
，，，
，，．
齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是
，，，
，，，
共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，
所以，此时田忌获胜的概率．
【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键．
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第6章 概率与统计（浙江省专用）
第26节 频率与概率
【考场演练】
一、选择题
1．（2021 北仑区模拟）若实数a＜0，则下列事件中是必然事件的是（　　）
A．a3＞0 B．3a＞0 C．a+3＜0 D．a﹣3＜0
2．（2021·湖南中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上，这次数学测试成绩也一定在90分以上
3．（2021·江苏常州市·中考真题）以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是，则对应的转盘是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·贵州安顺市·中考真题）“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则的值可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2021·江苏徐州市·中考真题）甲、乙两个不透明的袋子中各有三种颜色的糖果若干，这些糖果除颜色外无其他差别．具体情况如下表所示．
袋子 糖果 红色 黄色 绿色 总计
甲袋 2颗 2颗 1颗 5颗
乙袋 4颗 2颗 4颗 10颗
若小明从甲、乙两个袋子中各随机摸出一颗糖果，则他从甲袋比从乙袋（ ）
A．摸出红色糖果的概率大 B．摸出红色糖果的概率小
C．摸出黄色糖果的概率大 D．摸出黄色糖果的概率小
6．（2021·广西来宾市·中考真题）如图，小明从入口进入博物馆参观，参观后可从，，三个出口走出，他恰好从出口走出的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·内蒙古呼和浩特·模拟预测）某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数
C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的点数之和是7
8．（2021 慈溪市模拟）一个不透明的袋中有三张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3．随机抽取一张卡片作为十位，然后放回，再随机抽取一张卡片作为个位，这样组成的两位数是3的倍数的概率是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021·湖北襄阳市·中考真题）中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“－－－”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“－－－”上方的概率是______．
10．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为__________________．
马匹姓名 下等马 中等马 上等马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
11．（2021 温州期末）一只小狗自由自在地在如图所示的某个正方形场地跑动，然后随意停在图中阴影部分的概率是　　．
12．（2021·北京门头沟·一模）下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表：
月户用电量x（千瓦时/户．月）
户数（户） 5 22 27 31 15
从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为__________．
13．（2021·山东青岛·中考真题）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是__________．
14．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只．则20年后存活的有__________只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是__________．
15．（2021·重庆中考真题）在桌面上放有四张背面完全一样的卡片．卡片的正面分别标有数字﹣1，0，1，3．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是_______．
16．（2021·四川成都市·中考真题）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是_________．
17．（2021·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为__．
三、解答题
18．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．
19．（2020·四川中考真题）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀； B．良好； C．及格：D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．
垃圾分类知识测试成绩统计表
测试等级 百分比 人数
A．优秀 5% 20
B．良好 60
C．及格 45% m
D．不及格 n
请结合统计表，回答下列问题：（1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值；
（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；
（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
20．（2021·江苏宿迁市·中考真题）即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”：
将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同)背面朝上、洗匀．
(1)若从中任意抽取1张，抽得得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ．
(2)若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．(请用树状图或列表的方法求解)
21．（2021·吉林长春·二模）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 800 1000 1500
“射中九环以上”的频数 15 49 71 137 264 534 666 1001
“射中九环以上”的频率 0.750 0.613 0.710 0.685 0.660 0.668 0.666 0.667
（1）根据上表估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为 　 　．（结果保留两位小数）
（2）小明想了解该运动员连续两次射击都“射中九环以上”的概率，他将这个问题进行了简化，制作了三张不透明卡片，其中两张卡片的正面写有“中”，第三张卡片的正面写有“未中”，卡片除正面文字不同外，其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录文字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽取的卡片上都写有“中”的概率．
22．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）如图，可以自由转动的两个转盘被它的半径分成标有数字的扇形区域，每个扇形圆心角的度数如图所示，小亮和小周做游戏，规则如下：小亮，小周同时转动两个转盘，待转查自动停止后，指针指向扇形内部，则该扇形内部的数字即为转出的结果（若指针指向两个扇形的交线，则此次转动无效，重新转动，直到两个转盘的指针均指向扇形的内部为止）若两个转所得数字乘积为1则小亮赢，否则小周赢．
（1）只转动右边转盘则出现的概率为____________．（2）这个游戏公平吗 请说明理由．
23．（2021·四川眉山市·中考真题）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图回答下列问题：（1）本次抽取调查的学生共有 人，其中“了解较多”的占 %；
（2）请补全条形统计图：（3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有 人；
（4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生，，是初一学生，1名学生为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率．
24．（2021·江苏盐城市·中考真题）圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．
（1）从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为________；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）
25．（2021 义乌市校级模拟）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张．（1）用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；（2）计算小明和小亮抽得的两张卡片上的数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜，请判断游戏是否公平？并说明理由．
26．（2021·福建中考真题）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
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第6章 概率与统计（浙江省专用）
第26节 频率与概率
【考试要求】
1.了解不可能事件、不确定（随机）事件和必然事件，能区分三种事件，并体会随机事件发生的可能性的大小；
2.理解并掌握等可能性事件的概率计算公式，能够运用列举法（包括列表、画树状图）求简单事件发生的概率，并利用概率的大小来解决生活实际问题；
3.在具体情境中理解概率的意义，知道当某一随机事件发生的频率随着大量重复实验而逐渐稳定后，频率可以作为事件发生概率的估计值
【考情预测】
该内容以考查基础为主，也是考查重点，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右，预计2022年各地中考还将出现，并且在选择、解答中考查事件的判断、随机事件的概率、概率与几何、频率估计概率、用树状图或列表法求概率、游戏的公平性问题等知识这部分知识是考生的得分点，应掌握扎实。
【考点梳理】
1．在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件．
2．我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示．事件A发生的概率记为P(A)．简单事件的概率可以通过统计事件发生的所有不同结果来计算，常用的方法有：枚举法、列表法和画树状图等．
3．事件A发生的概率：P(A)＝＝(m≤n)．
注意：事件发生的各种结果的可能性需相同且互相排斥．
4．必然事件发生的概率是 1 ，不可能事件发生的概率是 0 ，不确定事件(随机事件)发生的概率介于0与1之间．
5.概率与频率
（1）当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，即事件发生可能性的大小可以用试验的频率来表示，然后用概率的知识来解决问题．
（2）频率与概率二者并不完全相同，频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性．
6.概率的应用
有关单转盘、双转盘、抛硬币、摸球游戏等概率模型，可以用枚举法、画树状图或列表法求解．
【重难点突破】
考向1. 事件的可能性
【典例精析】
【例】（2021·浙江中考真题）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）．
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
【变式训练】
变式1-1．（2021 上城区二模）事件：在一个仅装有2个红球和8个黑球的袋子里，摸出一个白球．这个事件是（　　）
A．可能事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．必然事件
变式1-2．（2021 北仑区期末）下列说法正确的是（　　）
A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是不可能事件
B．“两直线被第三条直线所截，同位角相等”是必然事件
C．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
D．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
变式1-3．（2021·江苏·泰州中学附属初中三模）下列事件：①在体育中考中小明考了满分；②抛掷两枚正方体骰子的点数和大于1；③经过有交通信号灯的路口遇到红灯；④四边形的外角和为180度．其中属于随机事件的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点巩固训练】
1．（2021·广西玉林市·中考真题）一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个白球 B．至少有2个白球 C．至少有1个黑球 D．至少有2个黑球
2．（2021·四川德阳·中考真题）下列说法正确的是（　　）
A．为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择抽样调查
B．了解九年级（1）班同学的视力情况，应选择全面调查
C．购买一张体育彩票中奖是不可能事件
D．抛掷一枚质地均匀的硬币刚好正面朝上是必然事件
3．（2021·湖南·长沙市北雅中学二模）事件A：掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面；事件B：连续掷三次硬币，都是正面朝上．则（ ）
A．事件A和事件B都是必然事件 B．事件A是随机事件，事件B是不可能事件
C．事件A是必然事件，事件B是随机事件 D．事件A和事件B都是随机事件
4．（2021·江苏扬州市·中考真题）下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）
A．3天内将下雨 B．打开电视，正在播新闻
C．买一张电影票，座位号是偶数号 D．没有水分，种子发芽
5．（2021·湖北襄阳市·中考真题）不透明袋子中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，从袋子中随机摸出2个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的2个球中至少有1个红球 B．摸出的2个球都是白球
C．摸出的2个球中1个红球、1个白球 D．摸出的2个球都是红球
考向2. 简单事件的概率计算公式
【典例精析】
【例】（2021·浙江金华市·中考真题）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是____________．
【变式训练】
变式2-1. （2021 温州）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张”梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（　　）
A． B． C． D．
变式2-2. （2021·浙江宁波市·中考真题）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为________．
变式2-3. （2021·湖北随州市·中考真题）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点巩固训练】
1．（2021 温州）在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2021 宁波）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021 绍兴）抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021 湖州）已知现有的10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021·浙江台州市·中考真题）一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机模出一个小球，该小球是红色的概率为_____．
6．（2021·江苏苏州市·中考真题）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．
考向3. 用频率估计概率
【典例精析】
【例】（2021 绍兴）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：
组别（cm） x＜160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180
人数 5 38 42 15
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（　　）
A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15
【变式训练】
变式3-1. （2021·湖北宜昌市·中考真题）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是___________（填“黑球”或“白球”）．
变式3-2. （2021·四川成都·一模）在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，则口袋中白球可能有（ ）
A．6个 B．15个 C．13个 D．12个
变式3-3. （2021 乐清市模拟）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．
（1）该事件最有可能是　 （填写一个你认为正确的序号）．
①一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，多次经过该路口时，看见红灯的概率；②掷一枚硬币，正面朝上；③暗箱中有一个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球．
（2）你设计的一个游戏，多次掷一个质地均匀的正六面体骰子，当骰子数字　 　正面朝上，该事件发生的概率接近于．
【考点巩固训练】
1．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）某家庭记录使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：，得到频数分布表如下：
日用水量
频数 1 5 13 10 16 5
估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率为 __．
2．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．
身高
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
3．（2020·湖南邵阳市·中考真题）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·江苏扬州市·中考真题）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为________．
5．（2021·河北河北·二模）在一个不透明的口袋中，放置3个黄球、1个红球和个蓝球．这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率，如图，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
6．（2021 象山县期末）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组进行摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再放回，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 33 60 130 202 251
摸到黑球的频率 0.23 0.22 0.30 0.26 0.2525 0.251
（1）当n很大时，估计从袋中摸出一个黑球的概率是　　；（2）试估算口袋中白球有　　个；（3）在（2）的条件下，若从中先换出一球，不放回，摇匀后再摸出一球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率．
考向4. 树状图、列表法与概率计算
【典例精析】
【例】（2021 婺城区模拟）三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式4-1. （2021·河南中考真题）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式4-2. （2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是__________．
变式4-3. （2021·河北中考真题）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口向北走的概率；
（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．
【考点巩固训练】
1．（2021·山东威海市·中考真题）在一个不透明的袋子里装有5个小球，每个球上都写有一个数字，分别是1，2，3，4，5，这些小球除数字不同外其它均相同．从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·广东中考真题）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·湖南永州市·中考真题）小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓，瑶族长鼓舞，东安武术，舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞，舜帝祭典”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·四川广元市·中考真题）“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．截止2021年5月18日16：20，全球接种“新冠”疫苗的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：
甲医院 乙医院
年龄段 频数 频率 频数 频率
18－29周岁 900 0.15 400 0.1
30－39周岁 a 0.25 1000 0.25
40－49周岁 2100 b c 0.225
50－59周岁 1200 0.2 1200 0.3
60周岁以上 300 0.05 500 0.125
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：①填空：______，_____，_____；②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40－49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为______；（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率．
5．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）某中学对九年级学生开展了“我最喜欢的鄂尔多斯景区”的抽样调查（每人只能选一项）：A－动物园；B－七星湖；C－鄂尔多斯大草原；D－康镇；E－蒙古源流，根据收集的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，其中B对应的圆心角为，请根据图中信息解答下列问题．
（1）求抽取的九年级学生共有多少人？并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中___________，表示D的扇形的圆心角是___________度；
（3）九年级准备在最喜欢A景区的5名学生中随机选择2名进行实地考察，这5名学生中有2名男生和3名女生，请用树状图或列表法求选出的2名学生都是女生的概率．
6．（2021·江苏泰州市·中考真题）江苏省第20届运动会将在泰州举办，“泰宝”和“凤娃”是运动会吉祥物．在一次宣传活动中，组织者将分别印有这两种吉祥物图案的卡片各2张放在一个不透明的盒子中并搅匀，卡片除图案外其余均相同．小张从中随机抽取2张换取相应的吉祥物，抽取方式有两种：第一种是先抽取1张不放回，再抽取1张；第二种是一次性抽取2张．
（1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率 　 　（填“相同”或“不同”）；
（2）若小张用第一种方式抽取卡片，求抽到不同图案卡片的概率．
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