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第2节　排列与组合
考试要求　1.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.2.能解决简单的实际问题.
1.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列
组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.(2)C＝eq \f(A,A)＝＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1
性质 (1)0！＝1；A＝n！.(2)C＝C；C＝C＋C
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(　　)
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(　　)
(3)若组合式C＝C，则x＝m成立.(　　)
(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　　)
(5)kC＝nC.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
解析　(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故错误；
(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故错误；
(3)若C＝C，则x＝m或n－m，故错误.
2.(2020·新高考山东卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A.120种 B.90种 C.60种 D.30种
答案　C
解析　先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法；
再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C种选法；
最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C种选法，
由分步乘法计数原理知，共有C·C·C＝60(种)不同的安排方法.
3.(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
答案　C
解析　根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：
第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C种分法；
第二步：将分好的4组安排到4个项目中，有A种安排方法.
故满足题意的分配方案共有C·A＝240种.
4.(2022·湖南四校联考)周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为(　　)
A.8 B.12 C.16 D.20
答案　C
解析　法一　将4个座位编号如下，4人的座位可分四种情况，①④坐家长②③坐孩子、①④坐孩子②③坐家长、①③坐家长②④坐孩子、①③坐孩子②④坐家长，所以不同的坐法种数为4AA＝16.
① ② ③ ④
法二　当两个孩子挨着坐且坐在两端时有一个孩子两侧均无家长，所以不同的坐法种数为A－2AA＝16.
5.(易错题)把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为________.
答案　240
解析　由题意知，其中一人分两张，先分后排，共有CA＝240种不同的分法.
6.(2021·上海卷)某人某天运动的总时长需要大于等于60分钟，现有如下表所示的五项运动可以选择，则共有________种运动组合方式.
A运动 B运动 C运动 D运动 E运动
7点～8点 8点～9点 9点～10点 10点～11点 11点～12点
30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟
答案　23
解析　若使运动总时长大于等于60分钟，则至少要选择两项运动，并且选择两项运动的情况中，AB，DB，EB的组合方式是不符合题意的，选择三项、四项、五项运动均满足总时长大于等于60分钟，因此组合方式共有C＋C＋C＋C－3＝23(种).
　考点一　排列问题
例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
(7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
解　(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5 040(种).
(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种).
(4)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种).
(5)法一　(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种).
法二　(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种).
(6)法一　(特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A种，其余人全排列，只有A种不同排法，共有A＋AAA＝3 720(种).
法二　(间接法)7名学生全排列，只有A种方法，其中甲在最左边时，有A种方法，乙在最右边时，有A种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A种方法，故共有A－2A＋A＝3 720(种).
(7)由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的站法共有eq \f(A,A)＝840(种).
感悟提升　排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
训练1 (1)从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数，分别记为a，b，则共可得到的不同值的个数为(　　)
A.6 B.8 C.12 D.16
答案　C
解析　的值的个数即为从3，5，7，11这四个数中任选2个数的排列数，A＝4×3＝12.
(2)用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数共有(　　)
A.96个 B.78个 C.72个 D.64个
答案　B
解析　根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则万位数必须是2，3，4，5这4个数字中的一个，
当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A＝24(个)；
当万位数是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A－A)＝54(个)，
因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.
　考点二　组合问题
例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解　(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984(种).
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2 100(种).
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种).
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
(5)选取3种的总数为C，选取3种假货有C种，因此共有选取方式
C－C＝6 545－455＝6 090(种).
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
感悟提升　组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
训练2 (1)(2022·安徽省五校联盟质检)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上任选3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　)
A.15 B.30 C.35 D.42
答案　B
解析　甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7人，所以从7人中任选3人共有C种情况，发言的3人来自2家企业的情况有CC种，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有C－CC＝30(种).
(2)(多选)(2022·沈阳模拟)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(　　)
A.若任意选科，选法总数为C
B.若化学必选，选法总数为CC
C.若政治和地理至少选一门，选法总数为CCC
D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1
答案　BD
解析　若任意选科，选法总数为CC，A错误；若化学必选，选法总数为CC，B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为C(CC＋1)，C错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1，D正确.
　考点三　排列与组合的综合问题
角度1　相邻与相间问题
例3 (1)北京APEC峰会期间，有2名女性和3名男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有(　　)
A.12种 B.24种 C.48种 D.96种
答案　C
解析　从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有CA＝6(种)不同排法，剩下1位男性领导人记作B，2位女性分别记作甲、乙；
则女领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4＝48(种)不同排法.
(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)
A.72 B.120 C.144 D.168
答案　B
解析　安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.
对于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”，有ACA＝36(种)安排方法；
同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小品2”，有AA＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.
角度2　分组、分配问题
例4 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本.
解　(1)无序不均匀分组问题.先选1本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；最后余下3本全选有C种方法，故共有CCC＝60种.
(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有CCCA＝360种.
(3)无序均匀分组问题.共有eq \f(CCC,A)＝15种.
(4)在(3)的基础上，还应考虑再分配，共有15A＝90种.
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，求出组合总数除以A即可，共有eq \f(CCC,A)＝15种.
(6)在(5)的基础上，还应考虑再分配，共有15A＝90种.
感悟提升　(1)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
(2)对于分堆与分配问题应注意三点
①处理分配问题要注意先分堆再分配.
②被分配的元素是不同的.
③分堆时要注意是否均匀.
训练3 (1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.
答案　36
解析　将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法.
于是符合题意的摆法共有AA－AA＝36(种).
(2)将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种.(用数字作答)
答案　1 560
解析　把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2类.
第一类，采用“3，1，1，1”的分法，即有1组3本，其余3组每组1本.不同的分法共有eq \f(CCCC,A)＝20(种).
第二类，采用“2，2，1，1”的分法，即有2组每组2本，其余2组每组1本.不同的分法共有eq \f(CC,A)·eq \f(CC,A)＝45(种).
所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种).
然后把分好的4组书分给4个人，共有A种分法，
所以不同的分法共有65×A＝1 560(种).
1.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　　)
A.8 B.24 C.48 D.120
答案　C
解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48种.
2.不等式A<6×A的解集为(　　)
A.{2，8} B.{2，6} C.{7，12} D.{8}
答案　D
解析　<6×，
∴x2－19x＋84<0，解得7又∵x≤8，x－2≥0，
∴73.(2020·新高考海南卷)3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有(　　)
A.4种 B.5种 C.6种 D.8种
答案　C
解析　先将3名大学生分成2组有C·C种分法，再分配到2个村有A种分法，则不同的分配方案共有C·C·A＝6种.
4.某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、化学、外语这五门课安排在星期三上午，数学必须比化学先上，则不同的排法有(　　)
A.60种 B.30种 C.120种 D.24种
答案　A
解析　把语文、数学、物理、化学、外语这五门课程任意排列，有A＝120种情况，其中数学排在化学之前和数学排在化学之后的情况数目是相同的，则数学比化学先上的排法有＝60种.
5.(2021·昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法(　　)
A.A种 B.A种
C.AA种 D.CCAA种
答案　D
解析　红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有CCAA种摆放方法.
6.(多选)下列等式正确的有(　　)
A.C＝ B.C＝C
C.C＝C D.C＝C
答案　ABC
解析　A是组合数公式；B是组合数性质；由C＝×＝C得C正确；D错误.
7.(2021·福州调研)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)
A.144 B.120 C.72 D.24
答案　D
解析　“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.
8.(多选)(2022·长沙调研)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是(　　)
A.共计有720种不同的排法
B.男生甲排在两端的共有120种排法
C.男生甲、乙相邻的排法总数为120种
D.男女生相间排法总数为72种
答案　BC
解析　3男3女排成一排共计有A＝720种；男生甲排在两端的共有2A＝240种；男生甲、乙相邻的排法总数AA＝240种；男女生相间排法总数2AA＝72种，故选BC.
9.若把英语单词“good”的字母顺序写错，则可能出现的错误方法共有________种(用数字作答).
答案　11
解析　把g，o，o，d，4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；
第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A＝12.
其中正确的有一种，所以错误的共有A－1＝12－1＝11(种).
10.(2021·广州期末)某省高考实行3＋3模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有________种.
答案　200
解析　根据题意，分2种情况讨论：
①两人选择的科目全部相同，有C＝20(种)选法，
②两人选择的科目有且只有2科相同，有CCC＝180(种)选法，
则两人至少有两科相同的选法有20＋180＝200(种).
11.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________.
答案　30
解析　分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；
(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法.
所以不同的选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种).
12.(2022·武汉检测)某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器、瓷器、书画三个场馆.若该学校将参观时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有________种(用数字作答).
答案　12
解析　三个年级的学生在三个时间段内各参观青铜器、瓷器、书画三个场馆，且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，共有2A＝12(种)方法.
13.(2021·山东部分高中联考)甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是(　　)
A.90 B.120 C.210 D.216
答案　C
解析　因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所以可分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一级台阶上，共有CA＝120(种)站法；第二类，有2人站在同一级台阶上，剩余1人独自站在一级台阶上，共有CCA＝90(种)站法.综上，每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法种数是120＋90＝210.故选C.
14.(多选)(2022·苏州质检)现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是(　　)
A.若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法
B.若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种
C.若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种
D.若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种
答案　BCD
解析　若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有44＝256(种)放法，故A错误；
若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有C(A＋1)＝18(种)放法，故B正确；
若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有C·eq \f(C·C·C·A,A)＝144(种)放法，故C正确；
若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若(2，1，4，3)代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：(2，1，4，3)，(4，1，2，3)，(3，1，4，2)，(2，4，1，3)，(3，4，1，2)，(4，3，1，2)，(2，3，4，1)，(3，4，2，1)，(4，3，2，1)共9种放法，故D正确.故选BCD.
15.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有________种.
答案　120
解析　当“数”排在第一节时有A·A＝48(种)排法；
当“数”排在第二节时有A·A·A＝36(种)排法；
当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有A·A＝12(种)排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有A·A·A＝24(种)排法，
所以满足条件的共有48＋36＋12＋24＝120(种)排法.
16.某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法.(用数字作答)
答案　114
解析　5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3，1，1)和(2，2，1)两种，当为(3，1，1)时，有C·A＝60(种)，A，B住同一房间有C·A＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2，2，1)时，有eq \f(C·C,A)·A＝90(种)，A，B住同一房间有C·A＝18(种)，故有90－18＝72(种)，根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种).

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