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第3节　二项式定理
考试要求　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性 二项式系数C 当k＜(n∈N*)时，是递增的
当k＞(n∈N*)时，是递减的
二项式系数最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式系数从C，C，一直到C，C.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是二项展开式的第k项.(　　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(　　)
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　　)
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　二项展开式中Can－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确.
2.(易错题)已知(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　)
A.1 B.±1 C.2 D.±2
答案　C
解析　根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，
则有2n＝32，可得n＝5，
则二项式的展开式通项为Tk＋1＝C()5－k·＝akCx，令＝0，得k＝3，
则其常数项为Ca3，
根据题意，有Ca3＝80，可得a＝2.
3.(多选)(2022·淄博调研)对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有(　　)
A.存在n∈N*，展开式中有常数项
B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N*，展开式中有x的一次项
答案　AD
解析　该二项展开式的通项为Tk＋1＝C(x3)k＝Cx4k－n，当n＝4k时，展开式中存在常数项，A正确，B错误；当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D正确，C错误.
4.(2020·全国Ⅰ卷)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A.5 B.10 C.15 D.20
答案　C
解析　法一　∵(x＋y)5＝(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，
∴x3y3的系数为10＋5＝15.
法二　当x＋中取x时，x3y3的系数为C，
当x＋中取时，x3y3的系数为C，
∴x3y3的系数为C＋C＝10＋5＝15.
5.(易错题)在的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________.
答案　1
解析　因为所有二项式系数的和是32，
所以2n＝32，解得n＝5.
在中，令x＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.
6.(2021·浙江卷)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________.
答案　5　10
解析　(x－1)3展开式的通项Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4展开式的通项Tk＋1＝Cx4－k，
则a1＝C＋C＝1＋4＝5；
a2＝C(－1)1＋C＝3；
a3＝C(－1)2＋C＝7；a4＝C(－1)3＋C＝0，
所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
考点一　展开式中的通项问题
角度1　求二项展开式的特定项
例1 (1)(2020·全国Ⅲ卷)的展开式中常数项是________(用数字作答).
答案　240
解析　的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r·＝C2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，得常数项为C24＝240.
(2)的展开式中所有的有理项为________.
答案　x2，－，x－2
解析　二项展开式的通项公式为
Tk＋1＝Cx.
由题意∈Z，且0≤k≤10，k∈N.
令＝r(r∈Z)，
则10－2k＝3r，k＝5－r.
∵k∈N，∴r应为偶数，
∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，－，x－2.
角度2　两个二项式之积、三项展开式问题
例2 (1)(1＋x)6的展开式中x2的系数为(　　)
A.15 B.20 C.30 D.35
答案　C
解析　因为(1＋x)6的通项为Cxk，所以(1＋x)6的展开式中含x2的项为
1·Cx2和·Cx4.
因为C＋C＝2C＝2×＝30，
所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.
(2)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A.10 B.20 C.30 D.60
答案　C
解析　法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.
法二　(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.
∴x5y2可从其中5个因式中，两个取因式中x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，因此x5y2的系数为CCC＝30.
感悟提升　(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.
训练1 (1)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为(　　)
A.－3 B.－2 C.1 D.4
答案　B
解析　(x－1)4的通项为Tk＋1＝Cx4－k(－1)k，(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为C(－1)3＋C(－1)2＋C(－1)＝－2.
(2)的展开式中常数项是________.
答案　－1 683
解析　表示五个相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个中分别抽取2x，2x，，，－3，则此时的常数项为C·C·22·(－3)＝－360；第二种情况是从五个中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝－243；第三种情况是从五个中分别抽取2x，，－3，－3，－3，则此时的常数项为C·C·21·(－3)3＝－1 080，则展开式中常数项为－360－243－1 080＝－1 683.
　考点二　二项式系数的和与各项系数的和问题
角度1　二项式系数和与系数和
例3 (1)(2022·广州模拟)若二项式的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为(　　)
A.－1 B.1 C.27 D.－27
答案　A
解析　依题意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.
(2)(多选)(2022·济南调研)若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论中正确的是(　　)
A.a0＝1
B.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2
C.a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35
D.a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－1
答案　ACD
解析　令x＝0，则a0＝15＝1，故A正确；
令x＝1得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－a0＝－2，故B错误；
令x＝－1得35＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，故C正确；
因为二项式(1－2x)5的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C(－2)rxr，
所以当r为奇数时，C(－2)r为负数，即ai＜0(其中i为奇数)，
所以a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，故D正确.
感悟提升　1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.
2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
角度2　展开式的逆用
例4 已知－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则a1＋a2＋a3＋…＋a99＝(　　)
A.－1 B.－2 C.299－1 D.
答案　B
解析　记f(x)＝1－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100－1＝[1－(2－x)]100－1＝(x－1)100－1，
即(x－1)100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100.
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.
令x＝0，得a0＝0.
又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2.
感悟提升　根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.
训练2 (1)(2022·山西八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A.29 B.210 C.211 D.212
答案　A
解析　由题意知C＝C，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.
(2)(多选)(2021·武汉模拟)若(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 021x2 021(x∈R)，则(　　)
A.a0＝1
B.a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝
C.a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝
D.＋＋＋…＋＝－1
答案　ACD
解析　由题意，当x＝0时，a0＝12 021＝1；
当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝(－1)2 021＝－1，
当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＝32 021，
所以a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝－，
a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝；
＋＋…＋＝a1×＋a2×＋…＋a2 021×，
当x＝时，0＝a0＋a1×＋a2×＋…＋a2 021×，
所以a1×＋a2×＋…＋a2 021×＝－a0＝－1.
(3)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 022＝(　　)
A.0 B.－2 C.－1＋i D.－1－i
答案　B
解析　x＝＝＝－1＋i，由于Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 022＝(1＋x)2 022－1＝i2 022－1＝－1－1＝－2.
　考点三　二项式系数的最值问题
例5 二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　)
A.3 B.5 C.6 D.7
答案　D
解析　根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，
∴的展开式的通项为Tk＋1＝C·(x)20－k·＝()20－k·C·x20－，要使x的指数是整数，需k是3的倍数，∴k＝0，3，6，9，12，15，18，∴x的指数是整数的项共有7项.
感悟提升　二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.
训练3 (1)已知(3x－1)n展开式的第5项的二项式系数最大，且n为偶数，则(3x－1)n展开式中x2的系数为(　　)
A.－252 B.252 C.－28 D.28
答案　B
解析　由题意可得n＝8，则(3x－1)8的展开式的通项是Tr＋1＝C(3x)8－r·(－1)r，令8－r＝2，解得r＝6，则展开式中x2的系数为C32＝252.
(2)(2022·杭州调研)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为(　　)
A.－126 B.－70 C.－56 D.－28
答案　C
解析　∵只有第5项的二项式系数最大，
∴n＝8，的展开式的通项为
Tk＋1＝(－1)kCx8－k(k＝0，1，2，…，8)，
∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3C＝－56.
1.已知的展开式的第4项等于5，则x等于(　　)
A. B.－ C.7 D.－7
答案　B
解析　由T4＝Cx4＝5，得x＝－.
2.的展开式中x2y3的系数是(　　)
A.－20 B.－5 C.5 D.20
答案　A
解析　Tr＋1＝C·(－2y)r＝C··(－2)r·x5－r·yr.当r＝3时，展开式中x2y3的系数为C×(－2)3＝－20.
3.(2021·青岛二模)已知(x＋1)的展开式中常数项为－40，则a的值为(　　)
A.2 B.－2 C.±2 D.4
答案　C
解析　的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(ax)5－r·
＝(－1)ra5－rCx5－2r，
令5－2r＝－1可得r＝3，
令5－2r＝0可得r＝，不符合题意，舍去.
∴(－1)3a5－3C＝－40，即10a2＝40，
∴a＝±2.
4.C＋2C＋4C＋…＋2n－1C＝(　　)
A.3n B.2·3n
C.－1 D.
答案　D
解析　C＋2C＋4C＋…＋2n－1C＝20C＋21C＋22C＋…＋2n－1C＝(21C＋22C＋23C＋…＋2nC)＝(20C＋21C＋22C＋23C＋…＋2nC)－＝(1＋2)n－＝.
5.(多选)在二项式的展开式中，有(　　)
A.含x的项 B.含的项
C.含x4的项 D.含的项
答案　ABC
解析　二项式的展开式的通项为Tk＋1＝C·35－k·(－2)k·x10－3k，k＝0，1，2，3，4，5，结合所给的选项，知ABC的项都含有.
6.(多选)(2022·枣庄模拟)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则(　　)
A.a0＝－32
B.a2＝－80
C.a3＋4a4＝0
D.a0＋a1＋…＋a5＝1
答案　ABC
解析　令x＝－1得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正确.
令x＝0得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正确.
令x＋1＝y，则(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5就变为(y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2即二项式(y－2)5展开式中y2项的系数，Tk＋1＝Cy5－k(－2)k，故a2＝C·(－2)3＝－80，B正确.
a4＝C(－2)1＝－10，a3＝C(－2)2＝40，故C正确.
7.(2020·天津卷)在的展开式中，x2的系数是__________.
答案　10
解析　∵Tr＋1＝Cx5－r＝2rCx5－3r，令5－3r＝2，得r＝1，∴T2＝2Cx2＝10x2，
∴x2的系数是10.
8.在(1－)7＋的展开式中，若x2的系数为19，则a＝________.
答案　2
解析　(1－)7＋的展开式中含x2的项为C(－)6＋C()5＝Cx2＋Cx2a，则aC＋C＝19，解得a＝2.
9.(2020·浙江卷)二项展开式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝__________，a1＋a3＋a5＝__________.
答案　80　122
解析　由题意，得a4＝C×24＝5×16＝80.
当x＝1时，(1＋2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243，①
当x＝－1时，(1－2)5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1.②
由①－②，得2(a1＋a3＋a5)＝243－(－1)＝244，
可得a1＋a3＋a5＝122.
10.已知在的展开式中，第6项为常数项.
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数.
解　(1)通项公式为Tr＋1＝
Cxx－＝Cx，
∵第6项为常数项，∴r＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(n－6)
＝×(10－6)＝2，
∴含x2的项的系数为C＝.
11.(2021·重庆质检)在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
已知(2x－1)n＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，若(2x－1)n的展开式中，________.
(1)求n的值；
(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的值.
解　(1)选择条件①：
若(2x－1)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则＝5.
所以n＝10.
选择条件②：
若(2x－1)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， C＝C.
所以n＝10.
选择条件③：
若(2x－1)n的展开式中所有二项式系数的和为210，则2n＝210.
所以n＝10.
(2)由(1)知n＝10，则(2x－1)10＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10，
令x＝0，则a0＝1，
令x＝－1，则
310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10
＝1＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|，
所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|＝310－1.
12.(2022·长春模拟)在的展开式中，常数项为(　　)
A.12 B.11 C.－11 D.－12
答案　C
解析　的通项为Tk＋1＝C(－1)4－k·，要求常数项，需求(k＝0，1，2，3，4)的展开式中的常数项，的展开式的通项为Tr＋1＝C·xk－r·x－2r＝C·xk－3r，令k－3r＝0 k＝3r，即k是3的倍数，所以k＝0或3.
当k＝0时，C(－1)4－0＝1；当k＝3时，r＝1，C·C·(－1)4－3＝－12，
所以原式展开后的常数项为1＋(－12)＝－11.
13.已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
答案　B
解析　由题意可知，a＝C，b＝C.
∵13a＝7b，
∴13·＝7·，
即＝，解得m＝6.
14.(2022·沈阳测试)在①只有第八项的二项式系数最大；②奇数项二项式系数之和为47；③各项系数之和为414；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.
设二项式，若其展开式中，________，是否存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.
解　若选填条件①，即只有第八项的二项式系数最大，则n＝14；
若选填条件③，即各项系数之和为414，则4n＝414，即n＝14.
二项式展开式的通项：
Tk＝C·()15－k·＝3k－1·C·x.
由21－7k＝0，得k＝3.
即存在整数k＝3，使得Tk是展开式中的常数项；
若选填条件②，即奇数项二项式系数之和为47，则2n－1＝47＝214，所以n＝15.
二项式展开式的通项：
Tk＝C·()16－k·
＝3k－1·C·x.
由22－7k＝0，得k＝ Z，即不存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项.

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