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第1节　任意角和弧度制及三角函数的概念
考试要求　1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义
前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y
余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x
正切 叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝；cos α＝，tan α＝(x≠0).
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.
3.象限角
4.轴线角
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.(　　)
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(　　)
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　　)
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)锐角的取值范围是.
(2)第一象限角不一定是锐角.
2.(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案　AC
解析　因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°＜2α＜k·360°＋180°，k∈Z，
则有k·180°＜α＜k·180°＋90°，k∈Z.
故当k＝2n，n∈Z时，n·360°＜α＜n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°＜α＜n·360°＋270°，n∈Z，α为第三象限角.故选AC.
3.(2021·肇庆二模)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与以O为圆心的单位圆相交于A点.若A的横坐标为，则(　　)
A.sin α＝ B.cos 2α＝－
C.sin 2α＝－ D.tan 2α＝－
答案　B
解析　由三角函数的定义，可得cos α＝，则sin α＝±，cos 2α＝2cos2α－1＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝±，tan 2α＝±，所以选B.
4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　)
A.cos 2α>0 B.cos 2α<0
C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
答案　D
解析　∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin αcos α<0，故选D.
5.在0到2π范围内，与角－终边相同的角是________.
答案　
解析　与角－终边相同的角是
2kπ＋(k∈Z)，
令k＝1，可得与角－终边相同角是.
6.(易错题)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝________.
答案　－3
解析　因为sin θ＝－＜0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y＜0，
由三角函数的定义，得＝－.
解得y＝－3.
　考点一　象限角及终边相同的角
1.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
答案　C
解析　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.
2.设集合M＝，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么(　　)
A.M＝N B.M N
C.N M D.M∩N＝
答案　B
解析　由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M N.
3.已知角θ在第二象限，且＝－sin ，则角在(　　)
A.第一象限或第三象限
B.第二象限或第四象限
C.第三象限
D.第四象限
答案　C
解析　∵角θ是第二象限角，
∴θ∈，k∈Z，
∴∈，k∈Z，
∴角在第一或第三象限.
∵＝－sin ，∴sin ＜0，
∴角在第三象限.
4.终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________.
答案　
解析　在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π；
在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为.
感悟提升　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置.
　考点二　弧度制及其应用
例1 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.
解　(1)因为α＝，R＝10 cm，
所以l＝|α|R＝×10＝(cm).
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5时，S取得最大值，
此时l＝10，α＝2.
(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝ cm，
所以S弓形＝××2－×22×sin ＝cm2.
感悟提升　应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
训练1 (1)(多选)(2022·青岛质检)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有(　　)
A.圆的半径为2
B.圆的半径为1
C.圆心角的弧度数是1
D.圆心角的弧度数是2
答案　ABC
解析　设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，
则由题意得解得或
可得圆心角的弧度数是4或1.
(2)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　)
A. B.
C.3－ D.－2
答案　B
解析　设∠AOB＝θ，半圆的半径为r，扇形OCD的半径为r1，依题意，有eq \f(\f(1,2)θr2－\f(1,2)θr,\f(1,2)θr2)＝，即eq \f(r2－r,r2)＝，所以eq \f(r,r2)＝＝＝，从而得＝.
　考点三　三角函数的定义及应用
角度1　三角函数的定义
例2 (1)已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________.
答案　－　－或
解析　设P(x，y).由题设知x＝－，y＝m，
所以r2＝OP2＝(－)2＋m2(O为原点)，即r＝，
所以sin α＝＝＝，
所以r＝＝2，
即3＋m2＝8，解得m＝±.
当m＝时，cos α＝＝－，
tan α＝－；
当m＝－时，cos α＝＝－，tan α＝.
(2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)
A.－ B.－ C. D.
答案　C
解析　由题意得点P(－8m，－3)，
r＝，
所以cos α＝＝－，
所以m>0，解得m＝.
角度2　三角函数值符号的判定
例3 (1)已知点P(cos α，tan α)在第二象限，则角α在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　C
解析　点P(cos α，tan α)在第二象限，则所以角α在第三象限.
(2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)
A.小于0 B.大于0
C.等于0 D.不存在
答案　A
解析　因为＜2＜3＜π＜4＜，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，所以sin 2·cos 3·tan 4＜0.
感悟提升　1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
训练2 (1)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋等于(　　)
A.－ B. C. D.
答案　D
解析　因为角α的终边经过点(3，－4)，所以sin α＝－，cos α＝，所以sin α＋＝－＋＝.故选D.
(2)设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案　B
解析　由θ是第三象限角知，为第二或第四象限角，
又＝－cos ，所以cos <0，
综上可知，为第二象限角.
(3)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为，则角α的最小正角为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　角α的终边上一点M的坐标为，即M，故点M在第四象限，且tan α＝＝－1，则角α的最小正角为，故选D.
1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A.2kπ＋45°(k∈Z)
B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋(k∈Z)
答案　C
解析　与角的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A、B，易知D错误，C正确.
2.给出下列四个命题：
①－是第二象限角；
②是第三象限角；
③－400°是第四象限角；
④－315°是第一象限角.
其中正确命题的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　①中－是第三象限角，从而①错.
②中＝π＋，则是第三象限角，从而②正确.
③中－400°＝－360°－40°，从而③正确.
④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确.
3.已知点P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为(　　)
A.－ B. C.－ D.－
答案　D
解析　因为P(sin(－30°)，cos(－30°))，所以P，
所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－.
4.(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m＜0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)
A. B.cos α－sin α
C.sin αcos α D.sin α＋cos α
答案　AB
解析　由题意知sin α＜0，cos α＞0，tan α＜0，则＞0，故A正确；
cos α－sin α＞0，故B正确；
sin αcos α＜0，故C错误；
sin α＋cos α的符号不确定，故D错误，故选AB.
5.若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　角α的取值集合为
∪
＝.
6.(多选)下列结论中正确的是(　　)
A.若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sin α＝
B.若α是第一象限角，则为第一或第三象限角
C.若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度
D.若0＜α＜，则sin α＜tan α
答案　BCD
解析　当k＝－1时，P(－3，－4)，则sin α＝－，故A错误；
∵2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z，∴kπ＜＜kπ＋，k∈Z，∴为第一或第三象限角，故B正确；
|α|＝＝＝1，故C正确；
∵0＜α＜，∴sin α＜tan α sin α＜ cos α＜1，故D正确.
7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：
[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？
[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何？
翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少？
[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少？
则下列说法正确的是(　　)
A.问题[三三]中扇形的面积为240平方步
B.问题[三四]中扇形的面积为平方步
C.问题[三三]中扇形的面积为60平方步
D.问题[三四]中扇形的面积为平方步
答案　B
解析　依题意，问题[三三]中扇形的面积为lr＝×30×＝120平方步，问题[三四]中扇形的面积为lr＝×99×＝平方步.
8.在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan αA. B. C. D.
答案　C
解析　由题意知，四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在上，tan α＞sin α，不满足；
在上，tan α＞sin α，不满足；
在上，sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，
且cos α＞tan α，满足；
在上，tan α＞0，sin α＜0，cos α＜0，不满足.
9.若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.
答案　120°或－240°
解析　因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，
令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.
10.－2 022°角是第________象限角，与－2 022°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________.
答案　二　138°　－222°
解析　∵－2 022°＝－6×360°＋138°，
∴－2 022°角的终边与138°角的终边相同.
∴－2 022°角是第二象限角.
与－2 022°角终边相同的最小正角是138°.
又138°－360°＝－222°，故与－2 022°角终边相同的最大负角是－222°.
11.(2022·南京质检)已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点(2，－1)在终边上，则cos 2α＝________.
答案　
解析　由题意可得sin α＝＝－，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝.
12.在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为________.
答案　(－1，)
解析　设点P的坐标为(x，y)，由三角函数定义得所以所以点P的坐标为(－1，).
13.(多选)(2021·山东新高考模拟)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　)
A.经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B.经过 s后，扇形AOB的弧长为
C.经过 s后，扇形AOB的面积为
D.经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
答案　ABD
解析　经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为＋3，故A正确；
经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的弧长为×1＝，故B正确；
经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的面积为S＝××12＝，故C不正确；
设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋2)＋＝2π，解得t＝(s)，故D正确.
14.在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，顶点为坐标原点O，已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，将l绕原点逆时针旋转与单位圆交于点B(x，y)，若tan α＝－，则x＝(　　)
A.0.6 B.0.8 C.－0.6 D.－0.8
答案　B
解析　已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，且tan α＝－，则tan α＝＝－，解得m＝－0.8，所以A(0.6，－0.8)在第四象限，角α为第四象限角.
由l绕原点逆时针旋转与单位圆交于点B(x，y)，可知点B(x，y)在第一象限，则∠BOx＝＋α，所以cos∠BOx＝cos＝－sin α，即＝－，解得x＝0.8.
15.一扇形的圆心角为，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________.
答案　
解析　设扇形半径为R，内切圆半径为r.
则(R－r)sin＝r，即R＝r.
又S扇＝|α|R2＝××R2＝R2＝πr2，
所以＝.
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为________.
答案　(2－sin 2，1－cos 2)
解析　如图所示，设滚动后的圆的圆心为C，
过点C作x轴的垂线，垂足为A，过点P作x轴的垂线与过点C所作y轴的垂线交于点B.
因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2，
即圆心角∠PCA＝2，则∠PCB＝2－，
所以|PB|＝sin＝－cos 2，
|CB|＝cos＝sin 2，
所以xP＝2－|CB|＝2－sin 2，
yP＝1＋|PB|＝1－cos 2，
所以＝(2－sin 2，1－cos 2).

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