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第2节　同角三角函数的基本关系及诱导公式
考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.2.能利用单位圆中的对称性推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α
正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　)
(3)若α∈R，则tan α＝恒成立.(　　)
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)对任意的角α，sin2α＋cos2α＝1.
(2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.
(3)中当α的终边落在y轴上时，商数关系不成立.
(4)当k为奇数时，sin α＝，
当k为偶数时，sin α＝－.
2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　)
A.sin(－x)＝sin x
B.sin＝cos x
C.cos＝－sin x
D.cos(x－π)＝－cos x
答案　CD
解析　sin(－x)＝－sin x，故A不成立；
sin＝－cos x，故B不成立；
cos＝－sin x，故C成立；
cos(x－π)＝－cos x，故D成立.
3.(2022·南昌一模)已知3sin＋sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sin θ＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　A
解析　∵3sin＋sin(θ＋π)＝0，
∴3cos θ－sin θ＝0，
∴tan θ＝＝3，
∵θ∈(－π，0)，sin2θ＋cos2θ＝1，
所以sin θ＝－.
4.(2021·沈阳郊联体一模)已知2sin(π－α)＝3sin，则sin2α－sin 2α－cos2α＝(　　)
A. B.－ C.－ D.
答案　B
解析　由条件得2sin α＝3cos α，
即tan α＝，
故原式＝
＝
＝＝＝－.
5.化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________.
答案　－sin2α
解析　原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
6.(易错题)已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为________.
答案　
解析　∵＜α＜，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α，
∴cos α－sin α＞0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
∴cos α－sin α＝.
　考点一　同角三角函数基本关系式的应用
角度1　切弦互化
例1 (1)已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为________.
答案　－
解析　由tan α＝－，得sin α＝－cos α，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，
所以cos2α＝，易知cos α＜0，
所以cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－.
(2)已知sin＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)，则sin θcos θ＋cos2θ＝(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由已知sin＋3cos(π－θ)＝sin(－θ) cos θ－3cos θ＝－sin θ tan θ＝2，
则sin θcos θ＋cos2θ＝＝＝.
角度2　“和”“积”转换
例2 (1)已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为(　　)
A. B.± C.－ D.－
答案　D
解析　∵sin αcos α＝，
∴(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
∵＜α＜，∴cos α＜sin α，
即cos α－sin α＜0，∴cos α－sin α＝－.
(2)(多选)(2021·滨州模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　)
A.sin θ＝ B.cos θ＝－
C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝
答案　ABD
解析　由题意知sin θ＋cos θ＝，
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
∴2sin θcos θ＝－＜0，
又∵θ∈(0，π)，∴＜θ＜π，
∴sin θ－cos θ＞0，
∴sin θ－cos θ＝
＝＝＝，
∴sin θ＝，cos θ＝－.
∴tan θ＝－，∴A、B、D正确.
感悟提升　1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)形如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切.
2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
训练1 (1)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于(　　)
A. B. C.1 D.
答案　A
解析　tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝
＝＝.
(2)已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为(　　)
A. B.－ C. D.
答案　B
解析　由题可得，sin α＋cos α＝，sin αcos α＝.
所以sin2α＋cos2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝－＝1，解得a＝－.
　考点二　诱导公式的应用
1.sin 570°的值是(　　)
A.－ B. C. D.－
答案　A
解析　sin 570°＝sin(720°－150°)
＝－sin 150°＝－.
2.化简的结果是(　　)
A.－1 B.1 C.tan α D.－tan α
答案　C
解析　原式＝
＝＝tan α.
3.已知sin＝，则cos等于(　　)
A. B. C.－ D.－
答案　B
解析　因为sin＝，
所以cos＝sin
＝sin＝.
4.设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________.
答案　
解析　因为f(α)＝
＝＝＝，
所以f＝
＝＝＝.
感悟提升　(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
　考点三　同角关系式和诱导公式的综合应用
例3 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由3cos 2α－8cos α＝5，
得3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，
解得cos α＝－或cos α＝2(舍去).
又因为α∈(0，π)，
所以sin α＝＝＝.
(2)已知α是第三象限角，且cos α＝－.则的值为________.
答案　
解析　∵α是第三象限角，
∴sin α＝－＝－，
＝＝
＝＝.
(3)已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________.
答案　0
解析　∵cos＝cos＝－cos＝－a，
sin＝sin
＝cos＝a，
∴cos＋sin＝0.
感悟提升　1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等，常见的互补关系有－θ与＋θ，＋θ与－θ，＋θ与－θ等.
训练2 (1)(多选)给出下列四个结论，其中正确的结论是(　　)
A.sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角
B.若cos(nπ－α)＝(n∈Z)，则cos α＝
C.若α≠(k∈Z)，则tan＝
D.若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα＝1
答案　CD
解析　由诱导公式二知α∈R时，sin(π＋α)＝－sin α，所以A错误；
当n＝2k(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝；
当n＝2k＋1(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－，所以B错误；
若α≠(k∈Z)，则tan＝＝＝－，所以C正确；
将等式sin α＋cos α＝1两边平方，得sin αcos α＝0，所以sin α＝0或cos α＝0.
若sin α＝0，则cos α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1；
若cos α＝0，则sin α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1，故sinnα＋cosnα＝1，所以D正确.
(2)已知sin α＋cos α＝－，且＜α＜π，则＋的值为________.
答案　
解析　由sin α＋cos α＝－，
平方得sin αcos α＝－，
∵＜α＜π，∴sin α－cos α
＝＝，
∴＋＝－＝＝＝.
1.sin 1 050°等于(　　)
A. B.－ C. D.－
答案　B
解析　sin 1 050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin 30°＝－.
2.已知sin＝，则cos的值是(　　)
A.－ B. C. D.－
答案　A
解析　∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.故选A.
3.(多选)若cos(π－α)＝－，则(　　)
A.sin(－α)＝ B.sin＝－
C.cos(π＋α)＝－ D.cos(α－π)＝－
答案　CD
解析　由cos(π－α)＝－可得cos α＝，则sin α＝±.
A中，sin(－α)＝－sin α＝±，不正确.
B中，sin＝cos α＝，不正确.
C中，cos(π＋α)＝－cos α＝－，正确.
D中，cos(α－π)＝－cos α＝－，正确.
4.(2022·广州模拟)若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin的值等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
答案　A
解析　由点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，得tan α＝－2，故sin＝cos 2α＝＝＝－.
5.(多选)(2021·临沂质检)已知sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ∈，则θ可能等于(　　)
A.－ B.－ C. D.
答案　AD
解析　∵sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－，
∵θ∈，∴θ＝－或θ＝.
6.(多选)在△ABC中，下列结论正确的是(　　)
A.sin(A＋B)＝sin C
B.sin ＝cos
C.tan(A＋B)＝－tan C
D.cos(A＋B)＝cos C
答案　ABC
解析　在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确；
sin ＝sin＝cos ，B正确；
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，C正确；
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误.故选ABC.
7.(2022·重庆诊断)已知sin α＋cos α＝－，则tan α＋等于(　　)
A.2 B. C.－2 D.－
答案　A
解析　由已知得1＋2sin αcos α＝2，
∴sin αcos α＝，
∴tan α＋＝＋
＝＝＝2.
8.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)
A. B. C. D.1
答案　B
解析　由cos 2α＝，得cos2α－sin2α＝，
∴＝，即＝，
∴tan α＝±，即＝±，
∴|a－b|＝，故选B.
9.若＝，则tan θ＝________.
答案　－3
解析　因为＝＝，
所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，
所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.
10.若tan α＝－2，则cos2α＋2sin 2α＝________.
答案　－
解析　原式＝
＝
＝＝＝－.
11.已知－＜α＜0，sin α＋cos α＝， 则的值为________.
答案　
解析　由题意，因为sin α＋cos α＝，所以1＋2sin αcos α＝，
所以2sin αcos α＝－，
所以(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，
又因为－＜α＜0，所以sin α＜0，cos α＞0，
所以cos α－sin α＝，
所以＝
＝.
12.已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
答案　－
解析　由题意，得cos＝，
∴tan＝.
∴tan＝tan
＝－＝－.
13.(2021·哈尔滨一模)若sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则的值为(　　)
A.－3 B.－ C. D.3
答案　A
解析　因为sin α＋cos α＝，所以sin2α＋cos2α＝sin2α＋＝1，
可得25sin2α－5sin α－12＝0，解得sin α＝或－，
又因为α∈(0，π) ，所以sin α＝，
所以cos α＝－＝－，
则＝
＝
＝＝＝－3，故选A.
14.(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)
A.sin β＝ B.cos(π＋β)＝
C.tan β＝ D.tan β＝
答案　AC
解析　∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝，cos α＝±，
∴若α＋β＝，则β＝－α.
sin β＝sin＝cos α可能成立，角β可能与角α“广义互余”，故A符合条件；
若B符合，则cos(π＋β)＝－cos＝－sin α＝－，与cos(π＋β)＝矛盾，故B不符合条件；
对于C，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，即C符合条件；
tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，故D不符合条件.
15.已知α为第二象限角，则cos α＋sin α＝________.
答案　0
解析　原式＝cos α＋sin α＝cos α＋sin α，
因为α是第二象限角，
所以sin α＞0，cos α＜0，
所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，即原式等于0.
16.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos2θ的值是________.
答案　－
解析　由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ，
∵小正方形的面积是，∴(cos θ－sin θ)2＝，
∵θ为直角三角形中较小的锐角，
∴cos θ＞sin θ ，∴cos θ－sin θ＝，
又∵(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
∴2sin θcos θ＝，∴1＋2sin θcos θ＝，
即(cos θ＋sin θ)2＝，∴cos θ＋sin θ＝，
∴sin2θ－cos2θ＝(cos θ＋sin θ)(sin θ－cos θ)＝－.

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