资源简介 第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x.2.能利用单位圆中的对称性推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.(2)商数关系:=tan α.2.三角函数的诱导公式公式 一 二 三 四 五 六角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α正弦 sin α -sin__α -sin__α sin__α cos__α cos__α余弦 cos α -cos__α cos__α -cos__α sin__α -sin__α正切 tan α tan__α -tan__α -tan__α口诀 奇变偶不变,符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;sin α=tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.( )(2)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( )(3)若α∈R,则tan α=恒成立.( )(4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sin α=.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)对任意的角α,sin2α+cos2α=1.(2)中对于任意α∈R,恒有sin(π+α)=-sin α.(3)中当α的终边落在y轴上时,商数关系不成立.(4)当k为奇数时,sin α=,当k为偶数时,sin α=-.2.(多选)已知x∈R,则下列等式恒成立的是( )A.sin(-x)=sin xB.sin=cos xC.cos=-sin xD.cos(x-π)=-cos x答案 CD解析 sin(-x)=-sin x,故A不成立;sin=-cos x,故B不成立;cos=-sin x,故C成立;cos(x-π)=-cos x,故D成立.3.(2022·南昌一模)已知3sin+sin(θ+π)=0,θ∈(-π,0),则sin θ=( )A.- B.-C. D.答案 A解析 ∵3sin+sin(θ+π)=0,∴3cos θ-sin θ=0,∴tan θ==3,∵θ∈(-π,0),sin2θ+cos2θ=1,所以sin θ=-.4.(2021·沈阳郊联体一模)已知2sin(π-α)=3sin,则sin2α-sin 2α-cos2α=( )A. B.- C.- D.答案 B解析 由条件得2sin α=3cos α,即tan α=,故原式=====-.5.化简·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为________.答案 -sin2α解析 原式=·(-sin α)·cos α=-sin2α.6.(易错题)已知sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α的值为________.答案 解析 ∵<α<,∴cos α<0,sin α<0且cos α>sin α,∴cos α-sin α>0.又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,∴cos α-sin α=. 考点一 同角三角函数基本关系式的应用角度1 切弦互化例1 (1)已知α是三角形的内角,且tan α=-,则sin α+cos α的值为________.答案 -解析 由tan α=-,得sin α=-cos α,将其代入sin2α+cos2α=1,得cos2α=1,所以cos2α=,易知cos α<0,所以cos α=-,sin α=,故sin α+cos α=-.(2)已知sin+3cos(π-θ)=sin(-θ),则sin θcos θ+cos2θ=( )A. B. C. D.答案 C解析 由已知sin+3cos(π-θ)=sin(-θ) cos θ-3cos θ=-sin θ tan θ=2,则sin θcos θ+cos2θ===.角度2 “和”“积”转换例2 (1)已知sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α的值为( )A. B.± C.- D.-答案 D解析 ∵sin αcos α=,∴(cos α-sin α)2=cos2α-2sin αcos α+sin2α=1-2sin αcos α=1-2×=,∵<α<,∴cos α<sin α,即cos α-sin α<0,∴cos α-sin α=-.(2)(多选)(2021·滨州模拟)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是( )A.sin θ= B.cos θ=-C.tan θ=- D.sin θ-cos θ=答案 ABD解析 由题意知sin θ+cos θ=,∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,∴2sin θcos θ=-<0,又∵θ∈(0,π),∴<θ<π,∴sin θ-cos θ>0,∴sin θ-cos θ====,∴sin θ=,cos θ=-.∴tan θ=-,∴A、B、D正确.感悟提升 1.(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化.(2)形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.3.应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.训练1 (1)若tan α=,则cos2α+2sin 2α等于( )A. B. C.1 D.答案 A解析 tan α=,则cos2α+2sin 2α====.(2)已知sin α,cos α是方程3x2-2x+a=0的两个根,则实数a的值为( )A. B.- C. D.答案 B解析 由题可得,sin α+cos α=,sin αcos α=.所以sin2α+cos2α=(sin α+cos α)2-2sin αcos α=-=1,解得a=-. 考点二 诱导公式的应用1.sin 570°的值是( )A.- B. C. D.-答案 A解析 sin 570°=sin(720°-150°)=-sin 150°=-.2.化简的结果是( )A.-1 B.1 C.tan α D.-tan α答案 C解析 原式===tan α.3.已知sin=,则cos等于( )A. B. C.- D.-答案 B解析 因为sin=,所以cos=sin=sin=.4.设f(α)=(1+2sin α≠0),则f=________.答案 解析 因为f(α)====,所以f====.感悟提升 (1)诱导公式的两个应用①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.②化简:统一角,统一名,同角名少为终了.(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α. 考点三 同角关系式和诱导公式的综合应用例3 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=( )A. B. C. D.答案 A解析 由3cos 2α-8cos α=5,得3(2cos2α-1)-8cos α=5,即3cos2α-4cos α-4=0,解得cos α=-或cos α=2(舍去).又因为α∈(0,π),所以sin α===.(2)已知α是第三象限角,且cos α=-.则的值为________.答案 解析 ∵α是第三象限角,∴sin α=-=-,====.(3)已知cos=a(|a|≤1),则cos+sin的值是________.答案 0解析 ∵cos=cos=-cos=-a,sin=sin=cos=a,∴cos+sin=0.感悟提升 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-θ与+θ,+θ与-θ,+θ与-θ等.训练2 (1)(多选)给出下列四个结论,其中正确的结论是( )A.sin(π+α)=-sin α成立的条件是角α是锐角B.若cos(nπ-α)=(n∈Z),则cos α=C.若α≠(k∈Z),则tan=D.若sin α+cos α=1,则sinnα+cosnα=1答案 CD解析 由诱导公式二知α∈R时,sin(π+α)=-sin α,所以A错误;当n=2k(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos(-α)=cos α,此时cos α=;当n=2k+1(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos[(2k+1)π-α]=cos(π-α)=-cos α,此时cos α=-,所以B错误;若α≠(k∈Z),则tan===-,所以C正确;将等式sin α+cos α=1两边平方,得sin αcos α=0,所以sin α=0或cos α=0.若sin α=0,则cos α=1,此时sinnα+cosnα=1;若cos α=0,则sin α=1,此时sinnα+cosnα=1,故sinnα+cosnα=1,所以D正确.(2)已知sin α+cos α=-,且<α<π,则+的值为________.答案 解析 由sin α+cos α=-,平方得sin αcos α=-,∵<α<π,∴sin α-cos α==,∴+=-===.1.sin 1 050°等于( )A. B.- C. D.-答案 B解析 sin 1 050°=sin(3×360°-30°)=-sin 30°=-.2.已知sin=,则cos的值是( )A.- B. C. D.-答案 A解析 ∵sin=,∴cos=cos=-sin=-.故选A.3.(多选)若cos(π-α)=-,则( )A.sin(-α)= B.sin=-C.cos(π+α)=- D.cos(α-π)=-答案 CD解析 由cos(π-α)=-可得cos α=,则sin α=±.A中,sin(-α)=-sin α=±,不正确.B中,sin=cos α=,不正确.C中,cos(π+α)=-cos α=-,正确.D中,cos(α-π)=-cos α=-,正确.4.(2022·广州模拟)若点P(cos α,sin α)在直线y=-2x上,则sin的值等于( )A.- B. C.- D.答案 A解析 由点P(cos α,sin α)在直线y=-2x上,得tan α=-2,故sin=cos 2α===-.5.(多选)(2021·临沂质检)已知sin(π+θ)=cos(2π-θ),θ∈,则θ可能等于( )A.- B.- C. D.答案 AD解析 ∵sin(π+θ)=cos(2π-θ),∴-sin θ=cos θ,∴tan θ=-,∵θ∈,∴θ=-或θ=.6.(多选)在△ABC中,下列结论正确的是( )A.sin(A+B)=sin CB.sin =cosC.tan(A+B)=-tan CD.cos(A+B)=cos C答案 ABC解析 在△ABC中,有A+B+C=π,则sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,A正确;sin =sin=cos ,B正确;tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,C正确;cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,D错误.故选ABC.7.(2022·重庆诊断)已知sin α+cos α=-,则tan α+等于( )A.2 B. C.-2 D.-答案 A解析 由已知得1+2sin αcos α=2,∴sin αcos α=,∴tan α+=+===2.8.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|=( )A. B. C. D.1答案 B解析 由cos 2α=,得cos2α-sin2α=,∴=,即=,∴tan α=±,即=±,∴|a-b|=,故选B.9.若=,则tan θ=________.答案 -3解析 因为==,所以2(sin θ+cos θ)=sin θ-cos θ,所以sin θ=-3cos θ,所以tan θ=-3.10.若tan α=-2,则cos2α+2sin 2α=________.答案 -解析 原式=====-.11.已知-<α<0,sin α+cos α=, 则的值为________.答案 解析 由题意,因为sin α+cos α=,所以1+2sin αcos α=,所以2sin αcos α=-,所以(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=,又因为-<α<0,所以sin α<0,cos α>0,所以cos α-sin α=,所以==.12.已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=________.答案 -解析 由题意,得cos=,∴tan=.∴tan=tan=-=-.13.(2021·哈尔滨一模)若sin α+cos α=,α∈(0,π),则的值为( )A.-3 B.- C. D.3答案 A解析 因为sin α+cos α=,所以sin2α+cos2α=sin2α+=1,可得25sin2α-5sin α-12=0,解得sin α=或-,又因为α∈(0,π) ,所以sin α=,所以cos α=-=-,则=====-3,故选A.14.(多选)定义:角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-,下列角β中,可能与角α“广义互余”的是( )A.sin β= B.cos(π+β)=C.tan β= D.tan β=答案 AC解析 ∵sin(π+α)=-sin α=-,∴sin α=,cos α=±,∴若α+β=,则β=-α.sin β=sin=cos α可能成立,角β可能与角α“广义互余”,故A符合条件;若B符合,则cos(π+β)=-cos=-sin α=-,与cos(π+β)=矛盾,故B不符合条件;对于C,tan β=,即sin β=cos β,又sin2β+cos2β=1,故sin β=±,即C符合条件;tan β=,即sin β=cos β,又sin2β+cos2β=1,故sin β=±,故D不符合条件.15.已知α为第二象限角,则cos α+sin α=________.答案 0解析 原式=cos α+sin α=cos α+sin α,因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以cos α+sin α=-1+1=0,即原式等于0.16.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的内角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是,则sin2θ-cos2θ的值是________.答案 -解析 由题意可知,拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ,短直角边为sin θ,小正方形的边长为cos θ-sin θ,∵小正方形的面积是,∴(cos θ-sin θ)2=,∵θ为直角三角形中较小的锐角,∴cos θ>sin θ ,∴cos θ-sin θ=,又∵(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=,∴2sin θcos θ=,∴1+2sin θcos θ=,即(cos θ+sin θ)2=,∴cos θ+sin θ=,∴sin2θ-cos2θ=(cos θ+sin θ)(sin θ-cos θ)=-. 展开更多...... 收起↑ 资源预览