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第4节　三角函数的图象与性质
考试要求　1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　)
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　)
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)
(4)y＝sin|x|是偶函数.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
(2)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
(3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.
2.(2022·福州质检)下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是(　　)
A.y＝|sin x| B.y＝tan 2x
C.y＝cos 2x D.y＝sin 2x
答案　C
解析　对于A，y＝|sin x|的周期为π，在上单调递减，不合要求；
对于B，y＝tan 2x的周期为，在和上单调递增，不合要求；
对于C，y＝cos 2x的周期为π，在上单调递增，符合要求；
对于D，y＝sin 2x的周期为π，在上不单调，不合要求.
3.(2022·青岛调研)函数y＝3tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　要使函数有意义，则2x＋≠kπ＋，k∈Z，
即x≠π＋，k∈Z，
所以函数的定义域为.
4.(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin ＋cos 的最小正周期和最大值分别是(　　)
A.3π和 B.3π和2
C.6π和 D.6π和2
答案　C
解析　因为函数f(x)＝sin ＋cos ＝
＝
＝sin，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝6π，最大值为.
5.(多选)(2022·广州一模)已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x，则(　　)
A.f(x)的最大值为3
B.f(x)的图象关于直线x＝对称
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)在上单调递增
答案　BC
解析　f(x)＝sin 2x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1，则f(x)的最大值为＋1，故A错误；
f＝sin＋1＝＋1，
则f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确；
f＝sin＋1＝1，则f(x)的图象关于点对称，故C正确；
当x∈时，2x＋∈，故当2x＋∈，即x∈时，函数单调递增；
当2x＋∈，即x∈时，函数单调递减，故D错误.
6.cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.
答案　sin 68°＞cos 23°＞cos 97°
解析　sin 68°＝cos 22°，
又y＝cos x在[0°，180°]上是减函数，
∴sin 68°＞cos 23°＞cos 97°.
　考点一　三角函数的定义域和值域
1.f(x)＝sin3xcos x－sin xcos3x的最大值为(　　)
A. B. C. D.1
答案　B
解析　∵f(x)＝sin3xcos x－sin xcos3x＝sin xcos x(sin2x－cos2x)＝－sin 2xcos 2x＝－sin 4x，
∴f(x)＝sin3xcos x－sin xcos3x的最大值为.
2.函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________.
答案　
解析　要使函数有意义，则
即
解得
所以2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)，
所以函数的定义域为
.
3.当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________.
答案　
解析　因为x∈，
所以sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x
＝3－sin x－2(1－sin2x)
＝2＋，
所以当sin x＝时， ymin＝，
当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.
即函数的值域为.
4.函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________.
答案　
解析　设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
sin xcos x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数的值域为.
感悟提升　1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
　考点二　三角函数的周期性、奇偶性、对称性
例1 (1)(多选)(2022·临沂调研)下列函数中，最小正周期为π的是(　　)
A.y＝cos|2x| B.y＝|cos x|
C.y＝cos D.y＝tan
答案　ABC
解析　A中，y＝cos |2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
B中，由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；
C中，y＝cos的最小正周期
T＝＝π；
D中，y＝tan的最小正周期T＝.
(2)(2021·抚顺调研)已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为________.
答案　
解析　∵函数f(x)为偶函数，
∴θ＋＝kπ＋(k∈Z).
又θ∈，
∴θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意.
(3)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为4π，且 x∈R有f(x)≤f成立，则f(x)图象的对称中心是________，对称轴方程是________.
答案　，k∈Z　x＝2kπ＋，k∈Z
解析　由f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝，
因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，即×＋φ＝2kπ(k∈Z)，
又∵|φ|<，所以φ＝－，
故f(x)＝cos，
令x－＝＋kπ(k∈Z)，
得x＝＋2kπ(k∈Z)，
故f(x)图象的对称中心为
，k∈Z.
令x－＝kπ(k∈Z)，
得x＝2kπ＋(k∈Z)，
故f(x)图象的对称轴方程是
x＝2kπ＋，k∈Z.
感悟提升　(1)三角函数周期的一般求法
①公式法；
②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期.
(2)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.
(3)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可.
(4)三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z).
训练1 (1)(2021·北京卷)已知函数f(x)＝cos x－cos 2x，则该函数为(　　)
A.奇函数，最大值为2
B.偶函数，最大值为2
C.奇函数，最大值为
D.偶函数，最大值为
答案　D
解析　函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数.f(x)＝cos x－cos 2x＝cos x－(2cos2x－1)＝－2cos2x＋cos x＋1＝－2＋，
又cos x∈[－1，1]，故f(x)的最大值为.
(2)(多选)(2021·大连模拟)已知函数f(x)＝sin xcos x＋(1－2sin2x)，则有关函数f(x)的说法正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于点对称
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)的图象关于直线x＝对称
D.f(x)的最大值为
答案　AB
解析　由题可知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
当x＝时，2x＋＝π，故函数f(x)的图象关于点对称，故A正确；
函数f(x)的最小正周期T＝＝π，故B正确；
当x＝时，2x＋＝，所以函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误；
函数f(x)的最大值为1，故D错误.
　考点三　三角函数的单调性
角度1　求三角函数的单调区间、比较大小
例2 (1)设函数f(x)＝cos，则f(x)在上的单调递减区间是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由已知f(x)＝cos，2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈，∴单调递减区间为.
(2)已知函数f(x)＝2cos，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
答案　A
解析　a＝f＝2cos，b＝f＝2cos，c＝f＝2cos，因为y＝cos x在[0，π]上递减，
又<<，所以a>b>c.
角度2　根据三角函数的单调性求参数
例3 已知ω＞0，函数f(x)＝cos ωx－sin(π－ωx)在上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A.[2，6] B.(2，6)
C. D.
答案　C
解析　由已知f(x)＝cos ωx－sin(π－ωx)＝cos ωx－sin ωx＝sin ωxcos ＋cos ωxsin ＝sin，又f(x)在上单调递增，
所以k∈Z，解得6k－4≤ω≤4k－，由6k－4≤4k－得k≤，又ω＞0，k∈Z，因此k＝1，所以2≤ω≤.
感悟提升　1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
训练2 (1)(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　法一　令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为?，所以区间是函数f(x)的单调递增区间.
法二　当0(2)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A. B. C. D.π
答案　A
解析　f(x)＝cos x－sin x＝cos，
由题意得a>0，故－a＋<，
因为f(x)＝cos在[－a，a]上是减函数，
所以解得0(3)已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________.
答案　
解析　由0，得＋<ωx＋<ωπ＋，
又y＝sin x的单调递减区间为
，k∈Z，
所以k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又函数f(x)在上单调递减，所以周期T＝≥π，解得0＜ω≤2.所以ω∈.
三角函数中ω的求解
三角函数中ω的求解一般要利用其性质，解决此类问题的关键是：(1)若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立ω所满足的不等式(组)求解；(2)若已知函数的对称性，则根据三角函数的对称性研究其周期性，进而可以研究ω的取值；(3)若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.
一、利用三角函数的周期求解
例1 为了使函数y＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　)
A.98π B.π C.π D.100π
答案　B
解析　由题意，至少出现50次最大值即至少需用49 个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.
二、利用三角函数的单调性求解
例2 若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　令＋2kπ≤ωx≤π＋2kπ(k∈Z)，
得＋≤x≤＋(k∈Z)，
因为f(x)在上单调递减，
所以(k∈Z)，
解得6k＋≤ω≤4k＋3(k∈Z).
又ω＞0，所以k≥0，
又6k＋＜4k＋3(k∈Z)，得0≤k＜(k∈Z)，所以k＝0.
故≤ω≤3.
三、利用三角函数的最值、图象的对称性求解
例3 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，直线x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A.11 B.9 C.7 D.5
答案　B
解析　因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋kT，即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9.
1.下列函数中，是周期函数的为(　　)
A.f(x)＝sin |x| B.f(x)＝tan |x|
C.f(x)＝|tan x| D.f(x)＝(x－1)0
答案　C
解析　对于C，f(x＋π)＝|tan(x＋π)|＝|tan x|＝f(x)，所以f(x)是周期函数，其余均不是周期函数.
2.下列函数中，是奇函数的是(　　)
A.y＝|cos x＋1| B.y＝1－sin x
C.y＝－3sin(2x＋π) D.y＝1－tan x
答案　C
解析　选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y＝－3sin(2x＋π)＝3sin 2x，所以是奇函数，选C.
3.(多选)已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)的图象关于y轴对称
D.f(x)在区间上单调递增
答案　ACD
解析　∵f(x)＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x，
∴函数f(x)的最小正周期T＝π，f(x)的最大值为1.
∵f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称.
∵y＝cos 2x在上单调递减，
∴f(x)＝－cos 2x在上单调递增，故选ACD.
4.如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由题意得3cos
＝3cos＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝kπ－(k∈Z)，取k＝0，得|φ|的最小值为.
5.若f(x)＝sin，则(　　)
A.f(1)＞f(2)＞f(3)
B.f(3)＞f(2)＞f(1)
C.f(2)＞f(1)＞f(3)
D.f(1)＞f(3)＞f(2)
答案　A
解析　由≤2x－≤，可得≤x≤，所以函数f(x)在区间上单调递减，由于1＜＜2，且－1＜2－，故f(1)＞f(2).由于＜2＜＜3，且－2＞3－，故f(2)＞f(3)，所以f(1)＞f(2)＞f(3)，故选A.
6.(多选)已知函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间单调递增
C.f(x)在[－π，π]有4个零点
D.f(x)的最大值为2
答案　AD
解析　f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确；当∴f(x)在上单调递减，故B不正确；f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故C不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故D正确.
7.函数y＝的定义域为________.
答案　(k∈Z)
解析　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为
.
8.(2021·合肥调研)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是________(填序号).
①f(x)的周期是；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是，k∈Z.
答案　④
解析　函数f(x)的周期为2π，①错；
f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；
当x＝时，x－＝≠，k∈Z，∴x＝不是f(x)的对称轴，③错；
令kπ－＜x－＜kπ，k∈Z，可得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间是，k∈Z，④正确.
9.(2022·北京海淀区一模)已知函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增，那么常数ω的一个取值为________.
答案　(答案不唯一)
解析　f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增，则ω·≤，ω·≥－，∴0＜ω≤，取一个该范围内的值即可，如ω＝.
10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)当f(x)为偶函数时，求φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间.
解　因为f(x)的最小正周期为π，
所以T＝＝π，即ω＝2.
所以f(x)＝sin(2x＋φ).
(1)当f(x)为偶函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)，
因为0＜φ＜，所以φ＝.
(2)当f(x)的图象过点时，
sin＝，
即sin＝.
又因为0＜φ＜，所以＜＋φ＜π.
所以＋φ＝，即φ＝.
所以f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
11.已知函数f(x)＝sin(2π－x)sin－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值.
解　(1)由题意，
得f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2 x＋
＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π；
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
故所求图象的对称轴方程为
x＝＋(k∈Z).
(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，
由函数图象(图略)可知，
－≤sin≤1.
即0≤sin＋≤.
故f(x)的最小值为0，最大值为.
12.若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为(　　)
A.(5，8) B.(5，8]
C.(5，11] D.[5，11)
答案　B
解析　由题意，函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，因为x∈，可得＜ωx＋＜(1＋ω)，要使得函数f(x)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足π＜(1＋ω)≤，解得5＜ω≤8，所以ω的取值范围为(5，8].
13.(多选)(2021·青岛二模)已知函数f(x)＝2sin xcos x－(sin2x－cos2x)，判断下列给出的四个命题，其中正确的为(　　)
A.对任意的x∈R，都有f＝－f(x)
B.将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到偶函数g(x)
C.函数y＝f(x)在区间上是减函数
D.“函数y＝f(x)取得最大值”的一个充分条件是“x＝”
答案　ACD
解析　由题意得f(x)＝2sin xcos x－(sin2x－cos2x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
对于A，对任意的x∈R，f
＝2sin＝2sin
＝2sin＝－2sin＝－f(x)，故A正确；
对于B，将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，可得g(x)＝sin＝sin，不是偶函数，故B错误；
对于C，因为x∈，
所以2x＋∈，
因为y＝sin x在上单调递减，
所以f(x)＝2sin
在区间上是减函数，故C正确；
对于D，当x＝时，2x＋＝，
所以f＝2sin ＝2，即函数y＝f(x)在x＝处取得最大值，充分性成立，
所以函数y＝f(x)取得最大值的一个充分条件是x＝，故D正确.
14.已知函数f(x)＝2sin＋a＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1，且x∈[－π，π]的x的取值集合.
解　(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
(2)因为当x＝时，f(x)取得最大值，
即f＝2sin ＋a＋1＝a＋3＝4.
解得a＝1.
(3)由f(x)＝2sin＋2＝1，
可得sin＝－，
则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，
可解得x＝－，－，，，
所以x的取值集合为.

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