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第5节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考试要求　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　)
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.
2.(易错题)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A.2，4π， B.2，，
C.2，，－ D.2，4π，－
答案　C
解析　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
3.若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝cos，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为
y＝cos，且该函数为偶函数，故2φ＋＝kπ(k∈Z)，所以φ的最小正值为.
4.(2020·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题图知，f＝0且f(－π)<0，f(0)>0，
所以－ω＋＝－(ω>0)，解得ω＝，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝.
5.(易错题)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.
答案　
解析　相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.
6.(2022·辽宁百校联盟质检)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到y＝sin的图象，则f(x)的解析式是________；函数f(x)在区间上的值域是________.
答案　f(x)＝sin　
解析　由题意，把y＝sin的图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得
y＝sin的图象；
再把所得图象向右平移个单位，可得f(x)＝sin＝sin的图象.
当x∈时，2x－∈，则sin∈.
　考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解　(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
又因为当x＝时，f(x)取得最大值2，所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为－<φ<，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象：
(3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin的图象.
迁移 本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？
解　因为f(x)＝2sin＝2cos＝2cos，
将y＝cos x的图象上的所有点向右平移个单位长度，
得到函数y＝cos的图象，
再将y＝cos的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，
得到函数y＝cos的图象，
再将y＝cos上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，
得到y＝2cos图象，
即为f(x)＝2sin的图象.
感悟提升　作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
训练1 (1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　　)
A.sin B.sin
C.sin D.sin
答案　B
解析　依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
所以y＝sin的图象
f（x）＝sin的图象．
（2）（多选）（2022·长沙调研）将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，对于所得图象对应的函数，下列说法正确的是（　　）
A.在区间上单调递减
B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减
D.在区间上单调递增
答案　BC
解析　将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度得到
y＝3sin＝3sin.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，化简可得单调递增区间为，k∈Z，令k＝0，可知B正确；令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，化简可得单调递减区间为，k∈Z，令k＝－1，可知C正确，故选BC.
考点二　由图象确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
例2 （2021·全国甲卷）已知函数f（x）＝2cos （ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f＝　　　　Ｗ.
答案　－
解析　由题图可知T＝－＝（T为f（x）的最小正周期），即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f（x）＝2cos （2x＋φ）.点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－.
故f（x）＝2cos ，
所以f＝2cos ＝－2cos ＝－.
感悟提升　由f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
（1）如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0（ωx0＋φ＝π）即可求出φ.
（2）代入点的坐标.利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式.再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
训练2 （多选）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋4φ）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列命题正确的是（　　）
A.函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin
B.函数g（x）的解析式为g（x）＝2sin
C.函数f（x）图象的一条对称轴是直线x＝－
D.函数g（x）在区间上单调递增
答案　ABD
解析　由题图可知，A＝2，＝π，
所以T＝4π＝，
解得ω＝，故f（x）＝2sin.
因为图象过点C（0，1），
所以1＝2sin 4φ，即sin 4φ＝.
因为0＜φ＜，所以0＜4φ＜，
所以4φ＝，
故f（x）＝2sin.故A正确；
若其纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，
所得到的函数解析式为y＝2sin，
再向右平移个单位长度，所得到的函数解析式为
g（x）＝2sin＝2sin，故B正确；
当x＝－时，f＝2sin 0＝0，
即x＝－时，
f（x）不是最值，故x＝－不是函数f（x）的一条对称轴，故C错误；
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），
得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
故函数g（x）的单调递增区间是
（k∈Z），
当k＝1时，g（x）在区间上单调递增.
故D正确.
　考点三　三角函数图象、性质的综合应用
角度1　图象与性质的综合应用
例3 已知函数f（x）＝sin（ωx＋θ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（　　）
A. B.
C. D.
答案　B
解析　因为函数f（x）＝sin（ωx＋θ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，所以＝，即T＝π，即＝π，ω＝2，得f（x）＝sin（2x＋θ），将f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到g（x）＝sin的图象，因为g（x）为偶函数，所以＋θ＝kπ＋（k∈Z），解得θ＝kπ＋（k∈Z）.
又因为－≤θ≤，所以θ＝，
所以f（x）＝sin.
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），
解得＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z）.
当k＝0时，得到一个单调递减区间为.
又 .
角度2　函数的零点（方程的根）的问题
例4 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是　　　　Ｗ.
答案　（－2，－1）
解析　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈.设2x＋＝t，则t∈，所以题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根.所以y1＝和y2＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：
由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是（－2，－1）.
角度3　三角函数模型
例5 （2021·山东省八所重点中学联考）如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0（2，0）开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动.记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
（1）求t＝时，A，B两点间的距离；
（2）若y＝y1＋y2，求y关于时间t（t＞0）的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围.
解　（1）连接AB，OA，OB（图略），
当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，
所以∠AOB＝.
又OA＝1，OB＝2，
所以AB2＝12＋22－2×1×2cos ＝7，
即A，B两点间的距离为.
（2）依题意，y1＝sin，y2＝－2sin 2t，
所以y＝sin－2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝cos，
即函数关系式为y＝cos（t＞0），
当t∈时，2t＋∈，
所以cos∈，
故当t∈时，y∈.
感悟提升　（1）研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
（3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
训练3若函数f（x）＝sin（ω>0）满足f（0）＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f（x）的最小正周期为　　　　Ｗ.
答案　π
解析　因为f（0）＝f，所以x＝是f（x）图象的一条对称轴，所以f＝±1，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝6k＋2，k∈Z，所以T＝（k∈Z）.又f（x）在上有且只有一个零点，所以≤≤－，所以≤T≤，所以≤≤（k∈Z），所以－≤k≤，又因为k∈Z，所以k＝0，所以T＝π.
1.将函数y＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，所得到的图象的解析式是（　　）
A.y＝sin x B.y＝cos x
C.y＝sin 4x D.y＝cos 4x
答案　A
解析　y＝sin→y＝sin→y＝sin＝sin x.
2.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则φ的值为（　　）
A.－ B. C.－ D.
答案　B
解析　由题意，得＝－＝，所以T＝π.
由T＝，得ω＝2.
由图可知A＝1，所以f（x）＝sin（2x＋φ）.
又因为f＝sin＝0，－＜φ＜，
所以φ＝.
3.（2022·苏北四市模拟）已知直线y＝－2与函数f（x）＝2sin（其中ω＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f（x）的单调递增区间为（　　）
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案　B
解析　∵y＝－2与函数
f（x）＝2sin（其中ω＞0）的相邻两交点间的距离为π，
∴函数的周期T＝π，即＝π，得ω＝2，
则f（x）＝2sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
即函数f（x）的单调递增区间为
，k∈Z.
4.（多选）将函数y＝sin·cos的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值可能是（　　）
A.－ B.－ C. D.
答案　ACD
解析　将y＝sincos＝sin（2x＋φ）的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数为
y＝sin，
由题意得＋φ＝kπ＋（k∈Z），
∴φ＝kπ＋（k∈Z），当k＝－1，0，1时，φ的值分别为－，，.
5.（多选）（2021·肇庆二模）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（x）＝（　　）
A.2sin B.2sin
C.2cos D.2cos
答案　BC
解析　根据题图，可得A＝2，T＝－＝，解得T＝π，所以ω＝＝2.所以f（x）＝2sin（2x＋φ）.
将最低点的坐标代入，
得2sin＝－2，则＋φ＝2kπ－（k∈Z），解得φ＝2kπ－（k∈Z），所以f（x）＝2sin，k∈Z，f（x）＝2sin＝2sin＝－2cos＝2cos.故选BC.
6.（2022·石家庄一模）人的心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p（t）＝101＋25sin（160πt），其中p（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则下列说法正确的是（　　）
A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C.收缩压高于标准值，舒张压低于标准值
D.收缩压低于标准值，舒张压高于标准值
答案　C
解析　p（t）＝101＋25sin（160πt），∵－1≤sin（160πt）≤1，∴p（t）∈[76，126]，即收缩压为126 mmHg，舒张压为76 mmHg.
又知120/80 mmHg为标准值，∴收缩压高于标准值，舒张压低于标准值.
7.（2020·江苏卷）将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　　　　.
答案　x＝－
解析　将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为
y＝3sin＝3sin.由2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋π，k∈Z，当k＝－1时，对称轴方程为x＝－π，故平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x＝－π.
8.已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则为了得到曲线C1，首先要把C2上各点的横坐标变为原来的　　　　倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移　　　　个单位长度.（本题所填数字要求为正数）
答案　2　
解析　∵曲线C1：y＝cos x＝sin
＝sin，
∴先将曲线C2上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
再把得到的曲线y＝sin向右至少平移个单位长度.
9.已知函数f（x）＝cos，其中x∈，若f（x）的值域是，则m的取值范围是　　　　.
答案　
解析　画出函数的图象如图所示.
因为f＝cos ＝－且f＝cos π＝－1，要使f（x）的值域是，只要≤m≤，即m∈.
10.已知函数f（x）＝－cos＋1－2sin2x.
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f（x）在[0，π]上的图象；
（2）先将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）图象的对称中心.
解　（1）f（x）＝－cos＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
列表如下：
x 0 π
f（x） 1 2 0 －2 0 1
描点、连线，函数f（x）在区间[0，π]上的图象如图.
（2）将函数f（x）＝2sin的图象向右平移个单位后得到y＝2sin＝2sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g（x）＝2sin的图象.
由－＝kπ（k∈Z）得x＝2kπ＋（k∈Z），故g（x）图象的对称中心为
（k∈Z）.
11.（2022·山东名校联考）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）＋1，函数f（x）的图象上两相邻对称轴之间的距离为，　　　　.
（1）在①函数f（x）的图象的一条对称轴为直线x＝－，②函数f（x）的图象的一个对称中心为点，③函数f（x）的图象经过点这三个条件中任选一个补充至横线上，然后确定函数的解析式；
（2）若动直线x＝t，t∈[0，π]与函数f（x）和函数g（x）＝2sin xcos x的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值及此时t的值.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
解　（1）函数f（x）的图象上两相邻对称轴之间的距离为，得该函数的最小正周期
T＝2×＝π，
∴ω＝＝＝2，
此时f（x）＝2sin（2x＋φ）＋1.
若选①函数f（x）的图象的一条对称轴为直线x＝－，则－＋φ＝＋kπ（k∈Z），得φ＝＋kπ（k∈Z）.
∵|φ|<，∴当k＝－1时，φ＝，
此时f（x）＝2sin＋1.
若选②函数f（x）的图象的一个对称中心为点，则＋φ＝kπ（k∈Z），
得φ＝kπ－（k∈Z）.
∵|φ|<，∴当k＝1时，φ＝，
此时f（x）＝2sin＋1.
若选③函数f（x）的图象经过点，
则f＝2sin＋1＝0，
得sin＝－.
∵|φ|<，∴<＋φ<，
∴＋φ＝，解得φ＝，
此时f（x）＝2sin＋1.
（2）由（1）可知，函数f（x）的解析式为
f（x）＝2sin＋1.
令h（x）＝f（x）－g（x）
＝2sin＋1－2sin xcos x
＝2＋1－sin 2x
＝cos 2x＋1≥0，
∴|PQ|＝h（t）＝cos 2t＋1.
∵t∈[0，π]，∴2t∈[0，2π]，
当2t＝0或2t＝2π，即当t＝0或t＝π时，线段PQ的长取到最大值2.
12.（2021·绵阳三模）设函数f（x）＝sin（ω＞0）的部分图象如图所示，且满足f（2）＝0.则f（x）的最小正周期为（　　）
A. B.16 C. D.
答案　A
解析　∵f（2）＝0，∴sin＝0，
∴2ω－＝kπ（k∈Z），
∴ω＝kπ＋（k∈Z）.
设函数f（x）＝sin（ω＞0）的最小正周期为T，
由图可知
∵ω＞0，∴∴π＜ω＜，
∵ω＝kπ＋（k∈Z），∴＜k＜.
∵k∈Z，∴k＝2，
∴ω＝π，因此T＝＝.
13.（2021·全国甲卷）已知函数f（x）＝2cos （ωx＋φ）的部分图象如图所示，则满足条件
＞0的最小正整数x为　　　　.
答案　2
解析　由题图可知，T＝－＝，得T＝π，所以ω＝2，所以f（x）＝2cos（2x＋φ）.点可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×＋φ＝，得φ＝－，所以f（x）＝2cos ，所以f＝2cos ＝2cos ＝2cos ＝1，f＝2cos ＝2cos ＝0，
所以＞0，即（f（x）－1）f（x）＞0，可得f（x）＞1或f（x）＜0，所以cos ＞或cos＜0.当x＝1时，2x－＝2－ ∈，cos ∈，不符合题意；当x＝2时，2x－＝4－∈，cos＜0，符合题意，所以满足题意的最小正整数x为2.
14.（2022·沈阳模拟）已知函数f（x）＝sin＋＋b.
（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在（1）的条件下，当x∈时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围.
解　（1）∵函数f（x）＝sin＋＋b，
且函数f（x）的图象关于直线x＝对称，
∴2ω·＋＝kπ＋（k∈Z），且ω∈[0，3]，∴ω＝1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），
解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为
（k∈Z）.
（2）由（1）知f（x）＝sin＋＋b.
∵x∈，∴2x＋∈.
当2x＋∈，即x∈时，函数f（x）单调递增；当2x＋∈，
即x∈时，函数f（x）单调递减.
又f（0）＝f，∴当f>0≥f或f＝0时，函数f（x）有且只有一个零点，
即sin≤－b－∴b∈∪.
故实数b的取值范围为
∪.

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