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第6节　正弦定理和余弦定理
考试要求　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C ＝＝＝2R
常见变形 cos A＝；cos B＝；cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；
(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B a>b sin A>sin B cos A1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形.
2.(2021·北京西城区一模)在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c＝(　　)
A. B. C.6 D.5
答案　B
解析　因为sin A＝6sin B，由正弦定理可得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，
因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcos C，即c2＝62＋12－2×1×6×，解得c＝.
3.(2022·全国百校大联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程x2－3x＋2＝0的两个实数根，且△ABC的面积为，则C的大小是(　　)
A.45° B.60°
C.60°或120° D.45°或135°
答案　D
解析　根据题意，得ab＝2，则×2×sin C＝，解得C＝45°或C＝135°.
4.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝(　　)
A. B.2 C.4 D.8
答案　C
解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，得AB＝3，所以AB＝BC.过点B作BD⊥AC，交AC于点D，则AD＝AC＝2，BD＝＝，
所以tan ∠ABD＝＝＝，
所以tan ∠ABC＝＝4.
5.(易错题)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.有解但解的个数不确定
答案　C
解析　由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝＞1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在.
6.(易错题)在△ABC中，角A，B，C，满足sin Acos C－sin Bcos C＝0，则三角形的形状为________.
答案　直角三角形或等腰三角形
解析　由已知得cos C(sin A－sin B)＝0，所以cos C＝0或sin A＝sin B，解得C＝90°或A＝B，所以△ABC是直角三角形或等腰三角形.
考点一　利用正、余弦定理解三角形
例1 (2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC＝asin C.
(1)证明：BD＝b.
(2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC.
(1)证明　因为BDsin∠ABC＝asin C，
所以由正弦定理得，BD·b＝ac，
又b2＝ac，所以BD·b＝b2，
又b>0，所以BD＝b.
(2)解　法一　如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E，
因为AD＝2DC，
所以＝＝2，
＝，
所以BE＝，DE＝a.
在△BDE中，cos∠BED＝
＝＝
＝.
在△ABC中，cos∠ABC＝
＝＝.
因为∠BED＝π－∠ABC，
所以cos∠BED＝－cos ∠ABC，
所以＝－，
化简得3c2＋6a2－11ac＝0，
方程两边同时除以a2，
得3－11＋6＝0，
解得＝或＝3.
当＝，即c＝a时，cos ∠ABC＝＝＝；
当＝3，即c＝3a时，
cos ∠ABC＝＝＝>1(舍).
综上，cos ∠ABC＝.
法二　因为＝2，
所以＝＋，
所以2＝2＋·＋2.
因为BD＝b，
所以b2＝a2＋accos∠ABC＋c2，
所以9b2＝4a2＋4accos∠ABC＋c2.①
又b2＝ac＝a2＋c2－2accos∠ABC，②
所以①－②，得8ac＝3a2＋6accos∠ABC，
所以cos∠ABC＝＝－.
由①②知
所以11＝＋，
所以6－11×＋3＝0，解得＝或＝.
当＝时，cos∠ABC＝－＝；
当＝时，cos∠ABC＝－＝(不合题意，舍去).
所以cos∠ABC＝.
感悟提升　(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
训练1 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
答案　75°
解析　由正弦定理，得sin B＝＝＝，所以B＝45°或135°，因为b(2)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于(　　)
A.2 B.3 C. D.
答案　D
解析　由正弦定理及bsin 2A＝asin B，得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B，又sin A≠0，sin B≠0，则cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.
　考点二　判断三角形的形状
例2 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，且B＝，则△ABC的形状为(　　)
A.等边三角形
B.直角边不相等的直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
答案　A
解析　因为a，b，c依次成等差数列，所以b＝.由余弦定理可得cos B＝＝，将b＝代入上式整理得(a－c)2＝0，所以a＝c.
又B＝，所以△ABC为等边三角形.
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＝＝，则该三角形的形状是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
答案　A
解析　因为＝，由正弦定理得＝，
所以sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B.
由＝，可得a≠b，所以A≠B.
又A，B∈(0，π)，
所以2A＝π－2B，即A＋B＝，
所以C＝，故△ABC是直角三角形.
感悟提升　1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
训练2 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为 (　　)
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
答案　A
解析　由＜cos A，得＜cos A.
又B∈(0，π)，所以sin B＞0，
所以sin C＜sin Bcos A，
即sin(A＋B)＜sin Bcos A，
所以sin Acos B＜0.
因为在三角形中sin A＞0，所以cos B＜0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为________.
答案　直角三角形
解析　由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，
∴sin A＝1，即A＝，
∴△ABC为直角三角形.
　考点三　和三角形面积有关的问题
例3 (2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.
答案　2
解析　由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，则b＝2.
例4 (2022·湖北八校一联)在条件①btan A＝(2c－b)tan B，②cos 2A＋2cos2＝1，③sin B＝2sin C中任选一个，补充到下列问题中，并给出问题解答.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，b＋c＝6，a＝2.
(1)求角A的值；
(2)求△ABC的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解　(1)若选①，由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btan A＝(2c－b)tan B，
∴由正弦定理得sin B·＝(2sin C－sin B)·.
∵sin B≠0，∴sin Acos B＝2sin Ccos A－sin Bcos A，
即sin(A＋B)＝2sin Ccos A，
即sin C＝2sin Ccos A.
∵sin C≠0，∴cos A＝.
又0＜A＜π，∴A＝.
若选②，∵cos 2A＋2cos2＝1，
化简可得2cos2A＋cos A＝1，
解得cos A＝或－1，且A∈(0，π)，
∴A＝.
若选③，∵sin B＝2sin C，
即sin B＝2sin C，
可得sin B＝2sin C，
即sin B·＝2sin C，
解得sin A＝.
又∵0＜A＜π，∴A＝或.
当A＝时，A是△ABC的最大内角，则边a为△ABC的最大力.则b＋c＝2a.
这与b＋c＝6，a＝2矛盾，
因此A＝不合题意，舍掉，则A＝.
(2)由(1)及余弦定理可得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc.
由题知a＝2，b＋c＝6，∴bc＝4，
∴S△ABC＝bcsin A＝×4×sin ＝.
感悟提升　与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
训练3 (2020·北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积.
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
解　选条件①：c＝7，cos A＝－，
且a＋b＝11.
(1)在△ABC中，由余弦定理，得
cos A＝＝＝－，
解得a＝8.
(2)∵cos A＝－，A∈(0，π)，∴sin A＝＝＝.
在△ABC中，由正弦定理，得
sin C＝＝＝.
∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，
∴S△ABC＝absin C＝×8×3×＝6.
选条件②：cos A＝，cos B＝，
且a＋b＝11.
(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cos A＝，cos B＝，
∴sin A＝＝＝，sin B＝＝＝.
在△ABC中，由正弦定理，可得
＝＝＝.
又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5.
(2)sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝＝.
∴S△ABC＝absin C＝×6×5×＝.
射影定理的应用
设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有：a＝bcos C＋ccos B；b＝ccos A＋acos C；c＝acos B＋bcos A.
注：以“a＝bcos C＋ccos B”为例，b，c在a上的射影分别为bcos C，ccos B，故名射影定理.
证明　如图，在△ABC中，AD⊥BC，则bcos C＝CD，ccos B＝BD，
故bcos C＋ccos B＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝bcos C＋ccos B，
同理可证b＝ccos A＋acos C，c＝acos B＋bcos A.
例 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　　)
A.a＝2b B.b＝2a
C.A＝2B D.B＝2A
答案　A
解析　法一　因为sin B(1＋2cos C)
＝2sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin B＋2sin Bcos C
＝sin Acos C＋sin(A＋C)，
所以sin B＋2sin Bcos C
＝sin Acos C＋sin B，
即cos C(2sin B－sin A)＝0，
所以cos C＝0或2sin B＝sin A，
即C＝90°或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，所以0°＜C＜90°，故2b＝a.
法二　由正弦定理和余弦定理得
b＝2a×＋c×，
所以2b2＝a2＋3b2－c2，
即(a2＋b2－c2)＝a2＋b2－c2，
即(a2＋b2－c2)＝0，
所以a2＋b2＝c2或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2＞c2，故2b＝a.
法三　由正弦定理及sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C得b＋2bcos C＝2acos C＋ccos A＝acos C＋(acos C＋ccos A)＝acos C＋b，即2bcos C＝acos C，又因为△ABC为锐角三角形，所以cos C≠0，则2b＝a.
1.已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　)
A.2 B.1 C. D.
答案　D
解析　由正弦定理＝ b＝＝.
2.(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　)
A.1 B. C. D.3
答案　D
解析　由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).故选D.
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　因为在△ABC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sin A＝sin＝cos B，
因为a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，所以cos B＝sin B，
所以tan B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝，
所以C＝π－－＝.
4.(2021·株洲二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acos C－3bcos C＝3ccos B，则角C的大小为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由正弦定理得2sin Acos C－3sin Bcos C＝3sin Ccos B，即2sin Acos C＝3(sin Bcos C＋cos Bsin C)＝3sin(B＋C)＝3sin A，
因为sin A≠0，所以cos C＝，
又因为C∈(0，π)，所以C＝.
5.(2022·杭州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知acos B＋bcos A＝3ccos C，asin A－csin C＋bsin A＝0，则＝(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　在△ABC中，由正弦定理及acos B＋bcos A＝3ccos C.
得sin Acos B＋cos Asin B＝3sin Ccos C，
∴sin(A＋B)＝sin C＝3sin Ccos C，
又sin C≠0，∴cos C＝；
由正弦定理及asin A－csin C＋bsin A＝0，得a2－c2＝－ab.
又由余弦定理得
cos C＝＝＝，
∴＝.
6.(多选)(2021·武汉调研)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　)
A.若tan A＋tan B＋tan C＞0，则△ABC是锐角三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D.若＝＝，则△ABC是等边三角形
答案　ACD
解析　∵tan A＋tan B
＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)，
∵tan A＋tan B＋tan C＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan C＝－tan C(1－tan Atan B)＋tan C＝tan Atan Btan C＞0，∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acos A＝bcos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错误；
由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理，
可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
∴sin A＝sin B，∴A＝B，则△ABC是等腰三角形，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，A＝B＝C，则△ABC是等边三角形，∴选项D正确.
7.(2021·重庆诊断)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，A＝2B，则a＝________.
答案　
解析　A＝2B sin A＝sin 2B sin A＝2sin Bcos B，由正弦定理得a＝2bcos B，
又由余弦定理得a＝2b·，
代入b＝2，c＝3，可得a2＝10，故a＝.
8.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里，14里，15里，求三角形沙田的面积.则该沙田的面积为________平方里.
答案　84
解析　由题意画出△ABC，且AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，在△ABC中，由余弦定理得，cos B
＝＝＝，所以sin B＝＝，则该沙田的面积S＝AB·BC·sin B＝×13×14×＝84(平方里).
9.(2021·广州调研)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin Csin(A＋C)＝2csin Asin2 ，则角B的大小为________；若a＋c＝6，△ABC的面积为2，则b的值为________.
答案　　2
解析　由正弦定理可得
sin Asin Csin(A＋C)＝2sin C·sin Asin2 ，
∵sin Asin C≠0，A＋C＝π－B，
∴sin B＝2sin2 ，
即2sin cos ＝2sin2，
又0＜＜，故tan ＝，
∴＝，即B＝.
∵S△ABC＝acsin B＝2，
∴ac＝8，而a＋c＝6，
∴(a＋c)2＝a2＋2ac＋c2＝36，
∴a2＋c2＝20，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝20－8＝12，解得b＝2.
10.(2020·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
(2)若sin A＋sin C＝，求C.
解　(1)由题设及余弦定理得
28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°，
解得c＝－2(舍去)或c＝2，从而a＝2.
因此△ABC的面积为
×2×2×sin 150°＝.
(2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，
所以sin A＋sin C＝sin(30°－C)＋sin C
＝sin(30°＋C)，
故sin(30°＋C)＝.
而0°所以30°＋C＝45°，故C＝15°.
11.(2022·山东三校一联)在①cos C(acos B＋bcos A)＝csin C，②asin＝csin A，③(sin B－sin A)2＝sin2C－sin Bsin A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，当________时，求sin A·sin B的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解　若选①，由正弦定理得
cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)
＝sin Csin C，
即cos Csin(A＋B)＝sin Csin C，
∵sin C≠0，∴tan C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
∴A＋B＝，
∴sin A·sin B＝sin A·sin
＝sin A·
＝sin A·cos A＋sin2A
＝sin 2A＋(1－cos 2A)
＝sin＋，
∵A∈，∴2A－∈，
∴当A＝时，sin A·sin B取得最大值为.
若选②，由正弦定理得
sin Asin ＝sin Csin A，
∵sin A≠0，∴cos ＝sin C＝2sin cos ，
∵cos ≠0，∴sin ＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
余下同①.
若选③，由正弦定理得(b－a)2＝c2－ba，
即a2＋b2－c2＝ba，∴cos C＝＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
余下同①.
12.(2022·昆明诊断)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是(　　)
A.或 B.
C. D.
答案　A
解析　由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc，
则cos A＝＝＝，
因为0由bc＝a2及正弦定理，
得sin Bsin C＝sin2A＝×＝，
即4sin(π－C－A)sin C＝，
即4sin(C＋A)sin C＝4sinsin C＝，
整理得cos 2C＝sin 2C，则tan 2C＝，又0<2C<，
即2C＝或，即C＝或.
13.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________.
答案　9
解析　∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，
∴cos A＝＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
法一　∵a＝3，
∴由正弦定理得＝＝＝＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C，
则a＋b＋c＝3＋2sin B＋2sin C
＝3＋2sin B＋2sin
＝3＋3sin B＋3cos B＝3＋6sin，
∵B∈，∴当B＝时，周长取得最大值9.
法二　∵a＝3，
∴由余弦定理得9＝b2＋c2－bc，
∴(b＋c)2－3bc＝9，
∴(b＋c)2－9＝3bc≤3·，
∴(b＋c)2≤36，
∵b＋c＞0，∴0＜b＋c≤6，当且仅当b＝c时取“＝”，
∴a＋b＋c≤9，∴△ABC的周长最大值为9.
14.(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
解　(1)因为2sin C＝3sin A，所以2c＝3a，又因为c＝a＋2，所以2(a＋2)＝3a，则a＝4，b＝a＋1＝5，c＝a＋2＝6，
所以cos C＝＝，所以C为锐角，则sin C＝＝，
因此S△ABC＝absin C＝×4×5×＝.
(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
故由余弦定理可得cos C＝
＝＝
<0，又a>0，
故解得0又由三角形三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，故1又a为正整数，故a＝2.

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