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第二课时　简单的三角恒等变换
　考点一　三角函数式的化简
1.＝(　　)
A.－ B.1 C. D.2
答案　C
解析　原式＝＝
＝＝.
2.化简：＝________.
答案　cos 2x
解析　原式＝
＝
＝＝＝cos 2x.
3.(tan 10°－)·＝________.
答案　－2
解析　原式＝·＝＝－2.
4.化简：(－tan )·＝________.
答案　
解析　(－tan )·(1＋tan α·tan )
＝(－)·(1＋·)
＝·
＝·＝.
感悟提升　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
　考点二　三角函数求值问题
角度1　给角求值
例1 (1)计算＝________.
答案　－1
解析　＝
＝－＝－＝－1.
(2)(2021·盐城二模)＝________.
答案　－4
解析　原式＝
＝
＝＝
＝＝－4.
(3)(多选)下列各式中值为的是(　　)
A.1－2cos275°
B.sin 135°cos 15°－cos 45°cos 75°
C.tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°
D.
答案　BD
解析　对于A，1－2cos2 75°＝－cos 150°＝cos 30°＝，A错误；
对于B，sin 135°cos 15°－cos 45°cos 75°＝sin 45°sin 75°－cos 45°cos 75°＝－cos 120°＝，B正确；
对于C，∵tan 45°＝1＝，∴1－tan 20°tan 25°＝tan 20°＋tan 25°，∴tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1，C错误；
对于D，
＝
＝
＝
＝＝，D正确；故选BD.
角度2　给值求值
例2 (1)已知cos＝，θ∈，则sin＝________.
答案　
解析　由题意可得
cos2＝＝，
cos＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.
因为cos＝＞0，θ∈，
所以0＜θ＜，2θ∈，
根据同角三角函数基本关系式，
可得cos 2θ＝，
由两角差的正弦公式，可得
sin＝sin 2θcos －cos 2θsin
＝×－×＝.
(2)(2021·常州一模)若2sin x＋2cos x＝1，则sin·cos＝________.
答案　
解析　由题意可得4sin＝1，令x＋＝t，则sin t＝，x＝t－，所以原式＝sin(π－t)cos 2t＝sin t(1－2sin2t)＝.
角度3　给值求角
例3 (1)已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.
答案　(1)　(2)－
解析　(1)∵0<β<α<，∴0<α－β<，
sin α＝.
又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
又0<β<，∴β＝.
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝＝>0，
又α∈(0，π)，∴0<α<，
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
感悟提升　1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.
训练1 (1)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝________.
答案　－
解析　cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－＝－
＝－＝－.
(2)若tan α＋＝，α∈，则sin＋cos2α的值为________.
答案　0
解析　∵tan α＋＝，α∈，
∴tan α＝3或tan α＝(舍)，
则sin＋cos2α
＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＋·
＝sin 2α＋cos 2α＋
＝(2sin αcos α)＋(cos2α－sin2α)＋
＝·＋·＋
＝·＋·＋
＝×＋×＋＝0.
(3)已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________.
答案　　
解析　因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又因为α，β均为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.
因为α为锐角，所以0＜2α＜π.
又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，
又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
　考点三　三角恒等变换的应用
例4 (2021·浙江卷)设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R).
(1)求函数y＝的最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)f在上的最大值.
解　(1)因为f(x)＝sin x＋cos x，
所以f＝sin＋cos
＝cos x－sin x，
所以y＝＝(cos x－sin x)2
＝1－sin 2x.
所以函数y＝的最小正周期
T＝＝π.
(2)f＝sin＋cos＝sin x，
所以y＝f(x)f
＝sin x
＝(sin xcos x＋sin2x)
＝
＝sin＋.
当x∈时，2x－∈，
所以当2x－＝，即x＝时，
函数y＝f(x)f在上取得最大值，且ymax＝1＋.
感悟提升　三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.
训练2 已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值.
解　(1)由f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1，
得f(x)＝(2sin xcos x)－(2cos2x－1)
＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
∴函数f(x)的最小正周期为π.
易知f(x)＝2sin在区间上为增函数，
在区间上为减函数，
又f(0)＝－1，f＝2，f＝－1，
∴函数f(x)在上的最大值为2，最小值为－1.
(2)∵2sin＝，
∴sin＝.
又x0∈，∴2x0－∈，
∴cos＝.
∴cos 2x0＝cos
＝coscos －sinsin
＝×－×＝.
万能公式
sin α＝，cos α＝，tan α＝.
注意　(1)上述三个公式统称为万能公式.
(2)上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小了.
例 (1)已知α，β∈(0，π)，tan ＝，sin(α－β)＝，则cos β＝________.
答案　
解析　∵tan ＝，∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝，
∵α，β∈(0，π)，cos α＞0，∴α∈，
∴α－β∈，
∵sin(α－β)＝＞0，∴α－β∈，
∴cos(α－β)＝，
∴cos β＝cos(－β)＝cos(α－β－α)＝cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝×＋×＝.
(2)已知6sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝0，α∈.则tan α＝________，sin＝________.
答案　－　
解析　∵6sin2α＋sin αcos α－2cos2α
＝
＝＝0，
即6tan2α＋tan α－2＝0，解得tan α＝－或tan α＝，
因为α∈，∴tan α＝－.
∵sin 2α＝＝－，
cos 2α＝＝，
∴sin＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝－×＋×＝.
1.(2022·昆明诊断)已知角α的终边与单位圆的交点为P，且sin α·cos α>0，则＋的值等于(　　)
A. B. C. D.3
答案　A
解析　根据三角函数的定义得sin α＝－，由同角三角函数的基本关系及sin αcos α>0，得cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝，所以＋＝＋＝＋＝.
2.已知α，β为锐角，tan α＝，则cos 2α等于(　　)
A. B.－ C. D.－
答案　B
解析　∵tan α＝，tan α＝，
∴sin α＝cos α，
∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝，
∴cos 2α＝2cos2α－1＝－.
3.计算：等于(　　)
A. B. C. D.－
答案　A
解析　＝
＝＝.
4.已知0<α<，－<β<0，cos(α－β)＝－，sin α＝，则sin β＝(　　)
A. B.－ C. D.－
答案　D
解析　因为sin α＝，0<α<，
所以cos α＝.
因为－<β<0，0<α<，
所以α－β∈(0，π)，
所以sin(α－β)＝＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝－.故选D.
5.(多选)(2021·威海调研)函数f(x)＝sin xcos x的单调递减区间可以是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　AB
解析　f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，
由＋2kπ≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
得＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)＝sin xcos x的单调递减区间是(k∈Z)，
∵函数的周期是kπ(k≠0)，故A也正确.故选AB.
6.(2022·杭州模拟)设α＝，若β∈，且tan α＝，则β＝(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由tan α＝得sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
即sin(α－β)＝cos α＝sin，
因为β∈，α＝π，
所以α－β∈，－α∈，
由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，
所以2α－β＝，所以β＝π.
7.已知sin＝，则cos＝________.
答案　－
解析　cos＝cos
＝2cos2－1＝2cos2－1＝2sin2－1＝2×－1＝－.
8.(2021·烟台一模)已知α∈，若sin＝，则tan α的值为________.
答案　
解析　∵sin＝cos 2α＝，α∈，
∴sin α＝＝，
cos α＝＝，
∴tan α＝＝.
9.化简：(180°＜α＜360°)＝________.
答案　cos α
解析　原式
＝
＝
＝＝.
因为180°＜α＜360°，所以90°＜＜180°，
所以cos ＜0，所以原式＝cos α.
10.已知0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos(β＋α)＝.
(1)求sin β的值；
(2)求的值.
解　(1)由0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，
cos(β＋α)＝，得sin α＝，sin(β＋α)＝.
所以sin β＝sin[(β＋α)－α]
＝sin(β＋α)cos α－cos(β＋α)sin α
＝×－×＝.
(2)因为cos α＝，sin α＝，
所以＝
＝＝12.
11.已知0<α<<β<π，cos＝，sin＝.
(1)求sin 2β的值；
(2)求cos的值.
解　(1)法一　因为cos
＝coscos β＋sinsin β＝cos β＋sin β＝，
所以cos β＋sin β＝，
所以1＋sin 2β＝，所以sin 2β＝－.
法二　sin 2β＝cos
＝2cos2－1＝－.
(2)因为0<α<<β<π，
所以<β－<π，<α＋β<.
所以sin>0，cos(α＋β)<0，
所以sin＝，cos(α＋β)＝－.
所以cos＝cos
＝cos(α＋β)cos
＋sin(α＋β)sin
＝－×＋×＝.
12.设θ∈R，则“0＜θ＜”是“sin θ＋cos 2θ＞1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　sin θ＋cos 2θ＞1 sin θ＞1－cos 2θ＝2sin2θ (2sin θ－)sin θ＜0 0＜sin θ＜.
当0＜θ＜时，0＜sin θ＜；当0＜sin θ＜时，2kπ＜θ＜＋2kπ，k∈Z或＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z.
所以0＜θ＜是sin θ＋cos 2θ＞1的充分不必要条件.
13.若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A. B.
C.或 D.或
答案　A
解析　∵α∈，∴2α∈，
∵sin 2α＝＞0，∴2α∈，
∴α∈且cos 2α＝－.
又∵sin(β－α)＝，β∈，
∴β－α∈，cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝×－×＝，
又∵α＋β∈，∴α＋β＝.
14.(2021·重庆诊断)已知函数f(x)＝sin＋2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求f(x)的值域.
解　(1)f(x)＝sin 2xcos －cos 2xsin ＋1－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin＋1，
∴T＝＝π，即f(x)的最小正周期为π.
(2)∵x∈，∴2x－∈，
∴－≤sin≤1，
∴－≤sin＋1≤＋1，
∴f(x)的值域为.

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