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第1节　平面向量的概念及线性运算
考试要求　1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||.
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).
2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等和a，b的方向无关.(　　)
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)
(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(　　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(2)若b＝0，则a与c不一定平行.
(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.
2.(多选)(2022·威海月考)下列说法正确的是(　　)
A.非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件
B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向
D.设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
答案　ABC
解析　根据向量的有关概念可知ABC正确，对于D，当λ＝μ＝0时，a与b不一定共线，故D错误.
3.(2021·长沙调研)已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案　A
解析　由＋＋＝0，得＋＝，又O为△ABC的外接圆的圆心，
根据加法的几何意义，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.
4.(易错题)下列四个命题中，正确的是(　　)
A.若a∥b，则a＝b
B.若|a|＝|b|，则a＝b
C.若|a|＝|b|，则a∥b
D.若a＝b，则|a|＝|b|
答案　D
解析　A中，a∥b，则a＝λb，故A不正确；
B、C中，由于向量a，b的大小相等，但其方向不确定，故B、C都不正确；D显然正确.
5.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
答案　A
解析　法一　如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A.
法二　＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A.
6.设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.
答案　－
解析　由已知2a－b≠0，依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，因为a，b是两个不共线向量，故a与b均不为零向量，所以解得k＝，λ＝－.
　考点一　平面向量的概念
1.(多选)下列命题中正确的有(　　)
A.平行向量就是共线向量
B.相反向量就是方向相反的向量
C.a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b
D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
答案　AD
解析　由平行向量和共线向量可知，A正确；
因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B是错误的；
因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C是错误的；
因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D是正确.
2.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A.a＝－b B.a∥b
C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
答案　C
解析　因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除A，B，D.
当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件.
3.(多选)下列命题正确的有(　　)
A.方向相反的两个非零向量一定共线
B.单位向量都相等
C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D.“若A，B，C，D是不共线的四点，且＝” “四边形ABCD是平行四边形”
答案　AD
解析　方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；
单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B错误；
两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误；
A，B，C，D是不共线的点，＝，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，故D正确.
感悟提升　平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.
　考点二　向量的线性运算
角度1　平面向量的加、减运算的几何意义
例1 (1)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是(　　)
A.a∥b B.a⊥b
C.|a|＝|b| D.a＋b＝a－b
答案　B
解析　由已知a，b不共线，在 ABCD中，设＝a，＝b，由|a＋b|＝|a－b|，知||＝||，从而 ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
(2)若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________.
答案　2
解析　因为||＝||＝|－|＝2，
所以△ABC是边长为2的正三角形，
所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，
所以|＋|＝2.
角度2　向量的线性运算
例2 (1)(多选)如图所示，在△ABC中，D是AB的中点，下列关于向量表示正确的是(　　)
A.＝＋
B.＝＋
C.＝＋
D.＝＋
答案　AD
解析　对于A，因为D是AB的中点，所以＝，因为＝＋，所以＝＋，所以A正确；
对于B，由三角形法则得，＝＋＝＋＝－＋，所以B不正确；
对于C，＝＋＝－，所以C不正确；
对于D，因为D是AB的中点，所以＝＋，所以D正确.
(2)如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　法一　由题图可得
＝＋＝＋
＝＋(＋＋)
＝＋(＋)
＝＋
＝＋.
因为＝r＋s，所以r＝，s＝，
则2r＋3s＝1＋2＝3.
法二　因为＝2，
所以－＝2(－)，
整理，得＝＋＝＋(＋)＝＋，
以下同法一.
法三　如图，建立平面直角坐标系xAy，
依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.
由＝r＋s，
得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，
所以解得
所以2r＋3s＝1＋2＝3.
感悟提升　1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
训练1 (1)(2021·昆明二模)已知点P是△ABC所在平面内一点，且＋＋＝0，则(　　)
A.＝－＋
B.＝＋
C.＝－－
D.＝－
答案　D
解析　由题意，－＝，＋＝，而＋＋＝0，
∴3－＋＝0，又＝－，即3－2＋＝0，
∴＝－.
(2)在正六边形ABCDEF中，对角线BD，CF相交于点P.若＝x＋y，则x＋y＝(　　)
A.2 B. C.3 D.
答案　B
解析　如图，记正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OB，OD，易证四边形OBCD为菱形，且P恰为其中心，
于是＝＝，
因此＝＋＝＋，
因为＝x＋y，
所以x＝且y＝1，故x＋y＝.
　考点三　共线向量定理的应用
例3 设两向量a与b不共线.
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
(1)证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴，共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线.
(2)解　∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
感悟提升　利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 ，共线.
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
训练2 (1)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是(　　)
A.λμ＝1 B.λμ＝－1
C.λ－μ＝－1 D.λ＋μ＝2
答案　A
解析　∵与有公共点A，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t使＝t，即λa＋b＝ta＋μtb，则消去参数t得λμ＝1；
反之，当λμ＝1时，＝a＋b，此时存在实数使＝，故和共线.
∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线.故选A.
(2)(2022·石家庄模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________.
答案　－
解析　由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得＝λ.
又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，
所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
又e1与e2不共线，
所以解得k＝－.
(3)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________.
答案　2
解析　连接AO，则＝(＋)
＝＋，
因为M，O，N三点共线，
所以＋＝1，所以m＋n＝2.
1.已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　　)
A.a＋b＝0
B.a＝b
C.a与b共线反向
D.存在正实数λ，使a＝λb
答案　D
解析　因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a与b共线同向，故D正确.
2.已知＝a＋5b，＝－3a＋6b，＝4a－b，则(　　)
A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线
C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线
答案　A
解析　由题意得＝＋＝a＋5b＝，又，有公共点B，所以A，B，D三点共线.
3.如图所示，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　)
A.0 　　　 B.
C. 　　　 D.
答案　D
解析　根据正六边形的性质，
易得，＋＋＝＋＋＝＋＝.
4.矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝(　　)
A. B. C.1 D.
答案　A
解析　＝－＝－
＝(＋)－＝－，
∴λ＝，μ＝－.∴λ2＋μ2＝＋＝.
5.(2022·广州一模)在△ABC中，点M为AC上的点，且＝，若＝λ＋μ，则λ－μ的值是(　　)
A.1 B. C. D.
答案　C
解析　由＝，得＝，
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，又因为＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，故λ－μ＝.
6.(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A.若＝＋，则点M是边BC的中点
B.若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C.若＝－－，则点M是△ABC的重心
D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
答案　ACD
解析　若＝＋，则点M是边BC的中点，故A正确；
若＝2－，即有－＝－，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若＝－－，即＋＋＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；
如图，＝x＋y，且x＋y＝，
可得2＝2x＋2y，设＝2，则M为AN的中点，
则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确.
7.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.
答案　
解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得解得λ＝μ＝.
8.在锐角△ABC中，＝3，＝x＋y(x，y∈R)，则＝________.
答案　3
解析　由题设可得
＋＝3(－)，
即4＝3＋，即＝＋.
又＝x＋y，则x＝，y＝.
故＝3.
9.已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正确命题有________.
答案　②③④
解析　＝a，＝b，＝＋＝(＋)＋＝＋＝－a－b，故①错；
＝＋＝a＋b，故②正确；
＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；
＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正确.
10.已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由.
解　由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，
C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，
所以有解得t＝.
故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上.
11.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示，，；
(2)证明：B，E，F三点共线.
(1)解　在△ABC中，因为＝a，＝b，
所以＝－＝b－a，
＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝＋＝－＋＝－a＋b.
(2)证明　因为＝－a＋b，
＝＋＝－＋
＝－a＋＝－a＋b
＝，
所以＝，与共线，
且有公共点B，
所以B，E，F三点共线.
12.(多选)(2022·武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半.这个定理就是著名的欧拉线定理.设△ABC中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项中结论正确的是(　　)
A.＝2
B.＋＋＝0
C.设BC边的中点为D，则有＝3
D.＝＝
答案　AB
解析　由题意作图，如图所示，易知BC的中点D与A，G共线.
对于A，由题意得，＝2，OD⊥BC，AH⊥BC，所以OD∥AH，所以＝2，所以A正确；
对于B，由题意得，＋＝2＝－，所以＋＋＝0，所以B正确；
对于C，由题意知AG＝2GD，又GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以＝2，故C错误；
对于D，向量，，的模相等，方向不同，故D错误.故选AB.
13.如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为________.
答案　
解析　法一　因为＝，
所以＝，
所以＝t＋＝t＋，
因为B，P，N三点共线，
所以t＋＝1，所以t＝.
法二　因为＝，所以＝，
设＝λ，则＝＋
＝＋λ
＝＋λ(＋)
＝＋λ
＝λ＋(1－λ).
又＝t＋，
所以t＋＝λ＋(1－λ)，
得解得t＝λ＝.
14.经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R＋.
(1)证明：＋为定值；
(2)求m＋n的最小值.
(1)证明　设＝a，＝b.
由题意知＝×(＋)
＝(a＋b)，
＝－＝nb－ma，
＝－＝a＋b，
由P，G，Q三点共线得，
存在实数λ，使得＝λ，
即nb－ma＝λa＋λb，
从而
消去λ得＋＝3.
(2)解　由(1)知，＋＝3，
于是m＋n＝(m＋n)
＝≥(2＋2)＝.
当且仅当m＝n＝时，m＋n取得最小值，最小值为.

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