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第2节　平面向量基本定理及坐标表示
考试要求　1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
1.平面向量的基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x＋y).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(　　)
(2)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
解析　(1)共线向量不可以作为基底.
(3)若b＝(0，0)，则＝无意义.
2.(2022·合肥质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(　　)
A. B.(－6，8)
C. D.(6，－8)
答案　D
解析　因为向量b与a方向相反，则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b|＝＝5|λ|＝10，∴λ＝－2，b＝(6，－8).
3.(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若 A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　)
A.－2 B. C.1 D.－1
答案　ABD
解析　各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形.因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1).假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形，故选ABD.
4.(2021·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，＝－2，若＝x＋y，则x＋y＝(　　)
A.1 B.6 C. D.
答案　C
解析　因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝，＝，
因为＝－2，所以＝，
＝＋＝－＝－，
又因为＝x＋y，
所以x＝，y＝－，故x＋y＝.
5.已知A(－5，8)，B(7，3)，则与向量反向的单位向量为________.
答案　
解析　由已知得＝(12，－5)，所以||＝13，
因此与反向的单位向量为－＝.
6.给出下列三个向量：a＝(－2，3)，b＝，c＝(－1，1)，在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________.
答案　2
解析　易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.
　考点一　平面向量基本定理的应用
例1 (1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a－b
C.－a－b D.－a＋b
答案　C
解析　＝＋
＝＋
＝(－)－
＝－－＝－a－b.
(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为________.
答案　
解析　如图所示.
∵A，M，Q三点共线，
∴＝x＋(1－x)
＝＋(1－x)，
又∵＝＋，＝t，
∴解得t＝.
感悟提升　(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
训练1 (1)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.
(2)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点.若DC＝3DF，设＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案　B
解析　如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF，
∴＝＝(－)＝(－)，＝－＝＋.
则＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选B.
　考点二　平面向量的坐标运算
1.在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以＝－＝－(＋)＝.
2.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　D
解析　以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，
∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3).
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
则解得λ＝－2，μ＝－，
∴＝＝4.
3.已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，||＝2||，则向量的坐标是________.
答案　(4，7)
解析　由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2.
设点B为(x，y)，
则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，
即解得
所以向量的坐标是(4，7).
4.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________.
答案　6
解析　以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，
则A(1，0)，C(2cos 30°，2sin 30°)，
B(cos 120°，sin 120°).
即A(1，0)，C(3，)，B.
由＝λ＋μ得，
∴∴λ＋μ＝6.
感悟提升　平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
　考点三　平面向量共线的坐标表示
角度1　利用向量共线求参数
例2 (1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
答案　
解析　2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝.
(2)已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝________.
答案　－
解析　＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2).
因为A，B，C三点共线，所以，共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
角度2　利用向量共线求向量或点的坐标
例3 已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________.
答案　(3，3)
解析　法一　由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4，4λ).
又＝－＝(－2，6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3).
法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，
解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3，3).
感悟提升　1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
训练2 平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标.
解　(1)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，
2b－a＝(－5，2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2，4)，|d－c|＝，
∴解得
或
∴d的坐标为(3，－1)或(5，3).
等和线的应用
等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得＝k，则＝k＝kλ＋kμ，又＝x＋y(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.
(2)平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和(高)线.
例 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，如图，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________.
答案　2
解析　法一　由已知可设OA为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系.
其中A(1，0)，B，C(cos θ，sin θ)，.
则有＝(cos θ，sin θ)
＝x(1，0)＋y，
即得x＝sin θ＋cos θ，y＝sin θ，
x＋y＝sin θ＋cos θ＋sin θ＝sin θ＋cos θ＝2sin，
其中0≤θ≤，所以(x＋y)max＝2，
当且仅当θ＝时取得.
法二　如图，连接AB交OC于点D，
设＝t，由于＝x＋y，
所以＝t(x＋y).
因为D，A，B三点在同一直线上，所以tx＋ty＝1，x＋y＝，
由于||＝t||＝t，当OD⊥AB时t取到最小值，
当点D与点A，或点B重合时t取到最大值1，
故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值为2.
法三　(等和线法)连接AB，过C作直线l∥AB，则直线l为以，为基底的平面向量基本定理系数的等和线，显然当l与圆弧相切于C1时，定值最大，
因为∠AOB＝120°，所以＝＋，
所以x＋y的最大值为2.
1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是(　　)
A.(2，2)
B.(－2，－2)
C.(1，1)
D.(－1，－1)
答案　D
解析　因为A(2，2)，B(1，1)，
所以＝(－1，－1).
2.在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是(　　)
A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
答案　B
解析　对于A，C，D都有e1∥e2，所以只有B成立.
3.如图，已知＝a，＝b，＝4，＝3，则＝(　　)
A.b－a 　　 B.a－b
C.a－b 　　 D.b－a
答案　D
解析　＝＋＝＋＝(－)－＝－＝b－a.
4.(多选)(2021·威海调研)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是(　　)
A.给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c
B.给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc
C.给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc
D.给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc
答案　AB
解析　∵向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，∴b≠0，c≠0，
给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，
即为所求的向量c，
故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；
当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，
由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；
取a＝(4，4)，μ＝2，b＝(1，0)，
无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，
要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，
故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；
因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，
这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，
故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误.故选AB.
5.(2022·岳阳一模)已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且＋＋2＝0，则△AOB的面积是(　　)
A.4 B.
C. D.2
答案　D
解析　根据题意，设AB边的中点为D，
因为△ABC是等边三角形，则CD⊥AB.
由AB的中点为D，得＋＝2，
又由＋＋2＝0，得＝－，则O是CD的中点，又△ABC的边长为4，则AD＝2，CD＝2，则OD＝，
所以S△AOB＝×4×＝2.
6.(2021·揭阳联考)在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2||＋||＝1，设＝x＋y，则2x＋3y的最小值为(　　)
A.48 B.49 C.50 D.51
答案　B
解析　如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，
B(4，0)，C(4，3)，D(0，3).
设M(m，0)，N(0，n)，因为2||＋||＝1，
所以2m＋n＝1.
因为＝x＋y＝＋，
所以x＝，y＝，
所以2x＋3y＝＋＝(2m＋n)＝25＋＋≥25＋24＝49，
当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号，故选B.
7.已知O为坐标原点，向量＝(1，2)，＝(－2，－1)，若2＝，则||＝________.
答案　
解析　设P点坐标为(x，y)，＝－＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，＝(x－1，y－2)，
则由2＝得2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，
所以解得
故||＝＝.
8.(2021·青岛质检)已知非零向量a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，则＝________.
答案　－
解析　因为a∥b，所以2x·(－2)－y·1＝0，所以＝－.
9.(2022·衡水质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________.
答案　
解析　如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，
因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0).
＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以＝.
10.已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线，
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
解　(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)法一　∵A，B，C三点共线，
∴＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
法二　＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，
∴m＝.
11.如图，在△ABC中，＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值.
解　(1)在△ABC中，
由＝＋，
得4－3－＝0，
即3(－)＝－，即3＝，
即点M是线段BC上的靠近B的四等分点，
∴△ABM与△ABC的面积之比为.
(2)∵＝＋，
＝x＋y(x，y∈R)，
∥，＝，
∴设＝λ＝＋
＝＋.
∵N，P，C三点共线，∴＋＝1，
解得λ＝，x＝＝，y＝λ＝，
故x＋y＝.
12.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)
A.3 B.2 C. D.2
答案　A
解析　如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，直线BD的方程为BD：y＝－2x＋2，
⊙C方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝r2，
又＝(1，0)，＝(0，2)，则＝λ＋μ＝(λ，2μ)，
圆与直线BD相切，则半径r＝.
P点坐标可表示为x＝1＋rcos θ＝λ，y＝2＋rsin θ＝2μ，
则λ＋μ＝2＋sin θ＋rcos θ
＝2＋sin(θ＋φ)，
当sin(θ＋φ)＝1时，有最大值，为2＋×＝3.
13.(多选)(2022·珠海一模)在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ(λ，μ为正实数)，则下列结论正确的是(　　)
A.λμ的最小值为16
B.λμ的最大值为
C.＋的最大值为16
D.＋的最小值为4
答案　BD
解析　因为D为AC上一点且满足＝，所以＝4，因为＝λ＋μ，
所以＝λ＋4μ，
因为P为BD上一点，所以B，P，D三点共线，则有λ＋4μ＝1，
由基本不等式可得1＝λ＋4μ≥2＝4，解得λμ≤，
当且仅当λ＝4μ＝时取等号，故λμ的最大值为，故A错误，B正确；
＋＝(λ＋4μ)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当λ＝4μ＝时取等号，
故＋的最小值为4，故C错误，D正确.
14.如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值.
解　以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
由tan α＝7知α为锐角，
则sin α＝，cos α＝，
故cos(α＋45°)＝－，sin(α＋45°)＝.
∴点B，C的坐标分别为
，，
∴＝，＝.
又＝m＋n，
∴＝m(1，0)＋n，
∴解得
∴m＋n＝＋＝.

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