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第4节　复　数
考试要求　1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
1.复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的分类 a＋bi为实数 b＝0
a＋bi为虚数 b≠0
a＋bi为纯虚数 a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
3.复数的模与共轭复数的关系
z·＝|z|2＝||2.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　　)
(3)原点是实轴与虚轴的交点.(　　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.
2.(2021·北京卷)在复平面内，复数z满足(1－i)·z＝2，则z＝(　　)
A.1 B.i C.1－i D.1＋i
答案　D
解析　由题意可得z＝＝＝1＋i.
3.(2021·新高考Ⅱ卷)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　A
解析　＝＝＝，所以该复数在复平面内对应的点为，该点在第一象限.
4.(2021·上海卷)已知z＝1－3i，则|－i|＝________.
答案　
解析　∵z＝1－3i，∴＝1＋3i，∴－i＝1＋3i－i＝1＋2i，∴|－i|＝＝.
5.已知a＋bi(a，b∈R)是的共轭复数，则a＋b＝________.
答案　1
解析　由＝＝－i，得a＋bi＝i，即a＝0，b＝1，则a＋b＝1.
6.(易错题)i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数m等于________.
答案　2
解析　因为(1＋mi)(i＋2)＝2－m＋(1＋2m)i是纯虚数，所以2－m＝0，且1＋2m≠0，解得m＝2.
　考点一　复数的概念
1.(2022·北京朝阳区一模)如果复数(b∈R)的实部与虚部相等，那么b＝(　　)
A.－2 B.1 C.2 D.4
答案　A
解析　＝＝b－2i，所以实部为b，虚部为－2，故b的值为－2，故选A.
2.(多选)若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　)
A.z的虚部为－1
B.|z|＝
C.z2为纯虚数
D.z的共轭复数为－1－i
答案　ABC
解析　z＝＝＝＝1－i，对于A，z的虚部为－1，正确；
对于B，模长|z|＝，正确；
对于C，因为z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，正确；
对于D，z的共轭复数为1＋i，错误.
3.(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是(　　)
A.若|z1－z2|＝0，则1＝2
B.若z1＝2，则1＝z2
C.若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D.若|z1|＝|z2|，则z＝z
答案　ABC
解析　对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以1＝2为真；
对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，所以1＝z2为真；
对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R，
若|z1|＝|z2|，则eq \r(a＋b)＝eq \r(a＋b)，
即a＋b＝a＋b，
所以z1·1＝a＋b＝a＋b＝z2·2，
所以z1·1＝z2·2为真；
对于D，若z1＝1，z2＝i，
则|z1|＝|z2|，而z＝1，z＝－1，
所以z＝z为假.故选ABC.
4.若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________.
答案　－1
解析　∵z为纯虚数，∴
∴x＝－1.
感悟提升　1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi，则z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝，若z∈R，则＝z.
　考点二　复数的四则运算
例1 (1)(2021·辽宁百校联盟质检)＝(　　)
A.＋i B.－i
C.－＋i D.－－i
答案　D
解析　原式＝＝＝－－i.
(2)(2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝(　　)
A.－3－4i B.－3＋4i
C.3－4i D.3＋4i
答案　C
解析　因为iz＝4＋3i，所以z＝＝＝＝3－4i.
(3)(2021·全国乙卷)设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　　)
A.1－2i B.1＋2i C.1＋i D.1－i
答案　C
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
感悟提升　(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
训练1 (1)(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　　)
A.－1－i B.－1＋i
C.－＋i D.－－i
答案　B
解析　z＝＝＝＝－1＋i.
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　)
A.6－2i B.4－2i
C.6＋2i D.4＋2i
答案　C
解析　因为z＝2－i，
所以z(＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i.
(3)(多选)(2022·湛江一模)若复数z＝－i，则(　　)
A.|z|＝2
B.|z|＝4
C.z的共轭复数＝＋i
D.z2＝4－2i
答案　AC
解析　依题意得|z|＝＝2，故A正确，B错误；
＝＋i，C正确；
z2＝(－i)2＝3－2i＋i2＝2－2i，D错误.
　考点三　复数的几何意义
例2 (1)(2021·珠海一模)设i是虚数单位，复数z1＝i2 021，复数z2＝，则z1＋z2在复平面上对应的点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　A
解析　因为复数z1＝i2 021＝i，z2＝＝＝－i，所以z1＋z2＝＋i，故z1＋z2在复平面上对应的点为，在第一象限.
(2)(2021·衡水联考)已知复数z＝a＋(a－1)i(a∈R)，则|z|的最小值为(　　)
A. B. C. D.1
答案　B
解析　因为z＝a＋(a－1)i，所以|z|＝＝≥，所以|z|的最小值为.
(3)(多选)(2021·德州二模)已知复数z1＝(i为虚数单位)，下列说法正确的是(　　)
A.z1对应的点在第三象限
B.z1的虚部为－1
C.z＝4
D.满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上
答案　AB
解析　由题意，复数z1＝
＝＝－1－i，所以复数z1在复平面内对应的点是(－1，－1)，位于第三象限，所以A正确；
复数z1的虚部为－1，所以B正确；
z＝(－1－i)4＝[(－1－i)2]2＝(2i)2＝－4，所以C不正确；
由|z1|＝＝，得满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上，所以D不正确.
感悟提升　1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
训练2 (1)(2022·长沙一模)已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　D
解析　因为z＝＝＝－i，所以复数z在复平面内对应的点为，在第四象限.
(2)若复数z＝(2＋ai)(a－i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a∈R，i为虚数单位，则实数a的取值范围为(　　)
A.(－，) B.(－，0)
C.(0，) D.[0，)
答案　B
解析　z＝(2＋ai)(a－i)＝3a＋(a2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，
∴解得－(3)如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为(　　)
A.1＋3i B.－3－i
C.3－i D.3＋i
答案　D
解析　由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.
　考点四　复数与方程
例3 已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
解　(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得－1＋i＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根.
感悟提升　(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
训练3 在复数集内解方程x2－ix＋i－1＝0.
解　因为a＝1，b＝－i，c＝i－1，
所以Δ＝(－i)2－4×1×(i－1)＝3－4i.
设(m＋ni)2＝3－4i，则
解得或
所以3－4i的平方根为±(2－i)，
所以x＝＝，
得x1＝＝1，x2＝＝－1＋i，
即原方程的根为x1＝1，x2＝－1＋i.
1.(2021·浙江卷)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a＝(　　)
A.－1 B.1 C.－3 D.3
答案　C
解析　法一　因为(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，解得a＝－3.
法二　因为(1＋ai)i＝3＋i，所以1＋ai＝＝1－3i，所以a＝－3.
2.(2021·岳阳一模)已知＝1＋i(其中i为虚数单位)，则复数|z|＝(　　)
A.i B.－i C.1 D.2
答案　C
解析　因为＝1＋i，所以z＝，故|z|＝＝＝1.
3.(2021·石家庄二模)在复平面内，复数＝(i为虚数单位)，则z对应的点的坐标为(　　)
A.(3，4) B.(－4，3)
C. D.
答案　D
解析　因为＝＝＝＝－＋i，所以z＝－－i，所以复数z所对应的点的坐标为.
4.(2021·日照一模)复平面内表示复数z＝i(a－i)(a＜0)的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　D
解析　z＝i(a－i)＝1＋ai表示的点为(1，a)，因为a＜0，所以点(1，a)位于第四象限.
5.(2021·南京三模)已知i为虚数单位，若复数z＝＋i，则复数的虚部为(　　)
A.－ B. C.－i D.i
答案　A
解析　结合复数的运算得＝＝＝－i，因而复数的虚部为－.
6.设复数z满足|z－i|＝|z＋i|，i为虚数单位，且z在复平面内对应的点为Z(x，y)，则下列结论一定正确的是(　　)
A.x＝1 B.y＝1 C.x＝0 D.y＝0
答案　D
解析　因为满足|z－i|＝|z＋i|的点Z为复平面内到点(0，－1)和(0，1)的距离相等的点的集合，所以Z(x，y)的轨迹为x轴，其方程为y＝0.
7.(多选)(2021·重庆质检)已知i为虚数单位，复数z＝，则以下说法正确的是(　　)
A.z在复平面内对应的点在第一象限
B.z的虚部是－
C.|z|＝3
D.若复数z1满足|z1－z|＝1，则|z1|的最大值为1＋
答案　AD
解析　∵z＝＝＝＋i，∴z在复平面内对应的点为，在第一象限，故A正确；
z的虚部是，故B不正确；
|z|＝＝，故C不正确；
设z1＝x＋yi，x，y∈R，由|z1－z|＝1得＋＝1，则点(x，y)在以为圆心，以1为半径的圆上，则(x，y)到(0，0)的距离的最大值为1＋＝1＋，即|z1|的最大值为1＋，故D正确.
8.如果关于x的方程2x2＋3ax＋a2－a＝0至少有一个模等于1的根，那么实数a的值(　　)
A.不存在 B.有一个
C.有三个 D.有四个
答案　C
解析　(1)当根为实数时，将x＝1代入原方程得a2＋2a＋2＝0，无解；
将x＝－1代入原方程得a2－4a＋2＝0，解得a＝2±，都符合要求；
(2)当根为虚数时，Δ＝a(a＋8)＜0，
∴－8＜a＜0.
此时有x1x2＝(x1)2＝1＝，
即a2－a－2＝0.
解得a＝－1或a＝2(舍去)，故a的值共有三个.
9.若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________.
答案　－2
解析　(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，
由已知，得a＋2＝0，1－2a≠0，
∴a＝－2.
10.若复数z＝i＋i2 022，则＋的模等于________.
答案　6
解析　z＝i＋i2 022＝i－1，＋＝1＋i＋＝6＋6i，其模为6.
11.设O是坐标原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i.那么向量对应的复数是________.
答案　5－5i
解析　∵向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，
∴＝(2，－3)，＝(－3，2)，
∴＝－＝(5，－5)，其对应的复数是5－5i.
12.若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是________，a＝________.
答案　2＋3i　13
解析　设方程的另外一根为x，则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13.
13.(多选)(2022·福州一模)设z为复数，则下列命题中正确的是(　　)
A.|z|2＝z·
B.z2＝|z|2
C.若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2
D.若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2
答案　ACD
解析　对于A，设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi，
∴|z|2＝a2＋b2，而z·＝a2＋b2，
所以|z|2＝z·成立；
对于B，z＝a＋bi(a，b∈R)，当ab均不为0时，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，而|z|2＝a2＋b2，所以z2＝|z|2不成立；
对于C，|z|＝1可以看成以O(0，0)为圆心，1为半径的圆上的点P，|z＋i|可以看成点P到Q(0，－1)的距离，所以当P(0，1)时，可取|z＋i|的最大值2；
对于D，|z－1|＝1可以看成以M(1，0)为圆心，1为半径的圆上的点N，则|z|表示点N到原点的距离，故O，N重合时，|z|＝0最小，当O，M，N三点共线时，|z|＝2最大，故0≤|z|≤2.故选ACD.
14.(多选)(2021·济南十一学校联考)欧拉公式exi＝cos x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是(　　)
A.复数e2i对应的点位于第三象限
B.ei为纯虚数
C.复数的模长等于
D.ei的共轭复数为－i
答案　BC
解析　对于A，e2i＝cos 2＋isin 2，
∵2∈，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误；
对于B，ei＝cos ＋isin ＝i，可得ei为纯虚数，故B正确；
对于C，＝
＝
＝＋i，
可得其模长为
＝，故C正确；
对于D，ei＝cos ＋isin ＝＋i，可得ei的共轭复数为－i，故D错误.
15.已知复数z满足是纯虚数，则|z2＋z＋3|的最小值为________.
答案　
解析　设z＝a＋bi，
则＝.
因为为纯虚数，所以a2＋b2＝1(b≠0)，所以a2＝1－b2，所以－1＜a＜1.
所以|z2＋z＋3|＝|a2－b2＋2abi＋a＋bi＋3|
＝|a2－b2＋a＋3＋(2ab＋b)i|
＝
＝
＝.
当a＝－时，|z2＋z＋3|取得最小值，最小值为.
16.(2022·枣庄模拟)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且满足|z－2|＝1，则的取值范围是________.
答案　
解析　复数z＝x＋yi，且|z－2|＝1，
所以(x－2)2＋y2＝1，
它表示圆心为(2，0)，半径为1的圆，
则表示圆上的点与原点连线的斜率，
由题意设过点O且与圆相切的直线方程为
y＝kx，则
消去y，整理得(k2＋1)x2－4x＋3＝0，
由Δ＝16－12(k2＋1)＝0，
解得k＝－或k＝，
由题意得的取值范围是.

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