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第2节　常用逻辑用语
考试要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，綈p(x) x∈M，綈p(x)
1.区别A是B的充分不必要条件(A B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B A且A B)两者的不同.
2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)若A?B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
(3)若A＝B，则p是q的充要条件.
3.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.
4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.
6.命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.(　　)
(2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.(　　)
(3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(　　)
(4)若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
解析　(1)错误，至少有一个三角形的内角和为π是存在量词命题.
2.(易错题)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　由x＞y推不出x＞|y|，由x＞|y|能推出x＞y，所以“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件.
3.(易错题)命题“ x∈R， n∈N*，使得n≤x2”的否定是(　　)
A. x∈R， n∈N*，使得n＞x2
B. x∈R， n∈N*，使得n＞x2
C. x∈R， n∈N*，使得n＞x2
D. x∈R， n∈N*，使得n＞x2
答案　D
解析　含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，可知选D.
4.(多选)(2021·山东新高考模拟)已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是(　　)
A.l α，l⊥β B.l⊥α，m⊥β，l⊥m
C.α⊥γ，β∥γ D.l α，m β，l⊥m
答案　ABC
解析　由面面垂直的判定可以判断A，B，C符合题意；对于D，l α，m β，l⊥m，也可以得到α∥β，D不符合题意.故选ABC.
5.(2021·浙江卷)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件.故选B.
6.(易错题)命题“ x∈R，ax2－ax＋1＞0”为真命题，则实数a的取值范围是________.
答案　[0，4)
解析　①当a＝0时，1＞0恒成立，∴a＝0满足条件，
②当a≠0时，解得0＜a＜4.
综上，0≤a＜4.
　考点一　充分、必要条件的判定
例1 (1)已知p： x∈R，mx2－2mx＋1＞0，q：指数函数f(x)＝mx(m＞0，且m≠1)为减函数，则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　当m＝0时，1＞0成立；
当m≠0时，可得解得0＜m＜1.
由p得出P＝{m|0≤m＜1}，由q得出Q＝{m|0＜m＜1}，Q?P，故p是q的必要不充分条件.
(2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案　B
解析　当a1＜0，q＞1时，an＝a1qn－1＜0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件.
当数列{Sn}递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，
若a1＞0，则qn＞0(n∈N*)，即q＞0；
若a1＜0，则qn＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条件.
综上，甲是乙的必要不充分条件.
感悟提升　充分条件、必要条件的两种判定方法：
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
训练1 (1)(2021·广州一模)a＞b＋1是2a＞2b的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当a＞b＋1时，得a＞b，则a＞b＋1是2a＞2b的充分条件；取a＝2，b＝1，满足2a＞2b，不能推出a＞b＋1，故a＞b＋1是2a＞2b的充分不必要条件.故选A.
(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　①若k为偶数，设k＝2n(n∈Z)，则α＝2nπ＋β，有sin α＝sin(2nπ＋β)＝sin β；若k为奇数，设k＝2n＋1(n∈Z)，则α＝(2n＋1)π－β，有sin α＝sin[(2n＋1)π－β]
＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β.
充分性成立.
②若sin α＝sin β，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，
即α＝2kπ＋β或α＝(2k＋1)π－β(k∈Z)，
故α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z).
必要性成立.
故选C.
　考点二　充分、必要条件的应用
例2 已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围.
解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴A＝{x|－2≤x≤10}.
由x∈A是x∈B的必要条件，知B A.
则∴0≤m≤3.
∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，
即所求m的取值范围是[0，3].
感悟提升　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
训练2 (1)(多选)使≥1成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.0＜x＜1 B.0＜x＜2
C.x＜2 D.0＜x≤2
答案　AB
解析　由≥1得0＜x≤2，
依题意由选项组成的集合是(0，2]的真子集，故选AB.
(2)设p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.
答案　
解析　p对应的集合A＝{x|y＝ln(2x－1)≤0}＝，q对应的集合B＝{x|(x－a)[x－(a＋1)]≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}.
由q是p的必要而不充分条件，知A?B.
所以a≤且a＋1≥1，因此0≤a≤.
　考点三　全称量词与存在量词
角度1　含有量词的命题的否定
例3 (1)(2022·武汉模拟)命题“ x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　)
A. x∈(－∞，0)，x3＋x＜0
B. x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C. x∈[0，＋∞)，x3＋x＜0
D. x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0
答案　C
解析　含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，所以，命题“ x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是“ x∈[0，＋∞)，x3＋x＜0”，故选C.
(2)已知命题p：“ x∈R，ex－x－1≤0”，则綈p为(　　)
A. x∈R，ex－x－1≥0
B. x∈R，ex－x－1＞0
C. x∈R，ex－x－1＞0
D. x∈R，ex－x－1≥0
答案　C
解析　根据全称量词命题与存在量词命题的否定关系，可得綈p为“ x∈R，ex－x－1＞0”，故选C.
角度2　命题的真假判断及应用
例4 (1)(多选)(2022·德州模拟)下列四个命题中为真命题的是(　　)
A. x∈(0，＋∞)，＜
B. x∈(0，1)，logx＞logx
C. x∈(0，＋∞)，＞logx
D. x∈，＜logx
答案　BD
解析　对于A，当x∈(0，＋∞)时，总有＞成立，故A是假命题；
对于B，当x＝时，有1＝log＝log＞log成立，故B是真命题；
对于C，当0＜x＜时，logx ＞1＞，故C是假命题；
对于D， x∈，＜1＜logx，故D是真命题.
(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若 x1∈[0，3]， x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.
答案　
解析　当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，
由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，
所以m≥.
感悟提升　(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.
(2)判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可.
(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与綈p的关系，转化成綈p的真假求参数的范围.
训练3 (1)下列命题为假命题的是(　　)
A. x∈R，2x－1＞0
B. x∈N*，(x－1)2＞0
C. x∈R，lg x＜1
D. x∈R，tan x＝2
答案　B
解析　当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当x＝1时取等号，故B错误；易知A，C，D正确，故选B.
(2)(2022·福州质检)已知命题“ x∈R，mx2－x＋1＜0”是假命题，则实数m的取值范围是________.
答案　
解析　若命题“ x∈R，mx2－x＋1＜0”是假命题，则“ x∈R，mx2－x＋1≥0”为真命题，所以解得m≥.
1.命题p： x∈R，x2＋＞4，则綈p为(　　)
A. x∈R，x2＋≤4
B. x R，x2＋≤4
C. x∈R，x2＋≤4
D. x R，x2＋＞4
答案　A
解析　由于全称量词命题的否定为存在量词命题，故綈p： x∈R，x2＋≤4.
2.(多选)(2021·重庆质检)下列命题中是真命题的有(　　)
A. x∈R，log2x＝0
B. x∈R，cos x＝1
C. x∈R，x2＞0
D. x∈R，2x＞0
答案　ABD
解析　因为log21＝0，cos 0＝1，所以A，B均为真命题；02＝0，C为假命题；2x＞0，D为真命题.
3.已知m，n是平面α内的两条相交直线，且直线l⊥n，则“l⊥m”是“l⊥α”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当l⊥m时，m，n是平面α内的两条相交直线，又l⊥n，根据线面垂直的判定定理，可得l⊥α.当l⊥α时，因为m α，所以l⊥m.综上，“l⊥m”是“l⊥α”的充要条件.
4.已知命题p： x∈(0，1)，ex－a≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A.a＞1 B.a≥e C.a≥1 D.a＞e
答案　B
解析　∵綈p： x∈(0，1)，ex－a＜0为真命题，∴a≥e.
5.(2021·北京卷)设函数f(x)的定义域为[0，1]，则“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　前推后，一定成立；后推前，不一定成立.如函数f(x)＝在[0，1]上的最大值为f(1)，但f(x)在上单调递减，在上单调递增，故选A.
6.(2022·湖南雅礼中学月考)若关于x的不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，1] B.(－∞，1)
C.(3，＋∞) D.[3，＋∞)
答案　D
解析　|x－1|＜a 1－a＜x＜1＋a，∵不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，∴(0，4) (1－a，1＋a)，∴解得a≥3.
7.(2021·淄博一模)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则“S2 020＞0，S2 021＜0”是“a1 010a1 011＜0”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　∵S2 020＝
＝1 010(a1 010＋a1 011)＞0，
S2 021＝＝2 021a1 011＜0，
∴a1 011＜0，∴a1 010＞0，则a1 010a1 011＜0，
因此充分性成立；
若a1 010a1 011＜0，
则或因此必要性不成立.故选B.
8.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(　　)
A.[1，＋∞) B.(－∞，1]
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]
答案　A
解析　由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.
9.命题“ x∈(1，＋∞)，x2＋x≤2”的否定为__________________________.
答案　 x∈(1，＋∞)，x2＋x＞2
10.设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________________条件(填“充分不必要”“必要不充分” “充要”“既不充分也不必要”).
答案　充分不必要
解析　由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集，∴p是q的充分不必要条件.
11.(2021·青岛二中检测)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
答案　－1＜k＜3
解析　直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于＜，解得－1＜k＜3.
12.已知命题p： x∈R，x2－a≥0；命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为________.
答案　(－∞，－2]
解析　由命题p为真，得a≤0；由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
13.(多选)(2022·南京调研)下列说法正确的是(　　)
A.“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件
B.“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件
C.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B
D.“a＞b＞0”是“an＞bn(n∈N，n≥2)”的充要条件
答案　BC
解析　A项，ac＝bc不能推出a＝b，比如a＝1，b＝2，c＝0.而a＝b可以推出ac＝bc，所以“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，故错误；
B项，＞不能推出a＜b，比如＞－，但是2＞－3；a＜b不能推出＞，比如－2＜3，－＜，所以“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件，故正确；
C项，因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以x∈A可以推出x∈B，即A B，故正确；
D项，an＞bn(n∈N，n≥2)不能推出a＞b＞0，比如a＝1，b＝0，1n＞0n(n∈N，n≥2)满足，但是a＞b＞0不满足，所以必要性不满足，故错误.
14.(多选)下列四个命题中，为假命题的是(　　)
A. x∈(0，1)，2x＝
B.“ x∈R，x2＋x－1＞0”的否定是“ x∈R，x2＋x－1＜0”
C.“函数f(x)在(a，b)内f′(x)＞0”是“f(x)在(a，b)内单调递增”的充要条件
D.已知f(x)在x0处存在导数，则“f′(x0)＝0”是“x0是函数f(x)的极值点”的必要不充分条件
答案　BC
解析　对于A，由图象可知A正确(图略)，A正确；
对于B，“ x∈R，x2＋x－1＞0”的否定是“ x∈R，x2＋x－1≤0”，B错误；
对于C，“函数f(x)在(a，b)内f′(x)＞0”是“f(x)在(a，b)内单调递增”的充分不必要条件，C错误；
对于D，因为f(x)在x0处存在导数，根据极值点的定义可知，“x0是函数f(x)的极值点”可以推出“f′(x0)＝0”，但是“f′(x0)＝0”不一定可以推出“x0是函数f(x)的极值点”，比如函数f(x)＝x3在x＝0处有f′(0)＝0，但是x＝0不是函数f(x)的极值点，D正确.
15.(2022·苏州模拟)已知p：|x－1|≤2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.
答案　(0，2]
解析　∵|x－1|≤2，∴－1≤x≤3，
即p：－1≤x≤3.
∵x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，
∴x≤1－a或x≥1＋a，
∴綈q：1－a＜x＜1＋a，∵p是綈q的必要不充分条件，
∴解得0＜a≤2，
∴实数a的取值范围是(0，2].
16.已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1).
(1)若 x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为________；
(2)若 x1∈[2，＋∞)， x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________.
答案　(1)[3，＋∞)　(2)(1，]
解析　(1)f(x)＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立.
若 x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞).
(2)当x≥2时，f(x)≥3，g(x)≥a2，
若 x1∈[2，＋∞)， x2∈[2，＋∞)，
使得f(x1)＝g(x2)，则
解得1＜a≤.

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