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第3节　不等关系与不等式性质
考试要求　1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.2.理解不等式的概念.3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)同向可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
(5)可乘方性：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2).
1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.有关分式的性质
(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b <.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)a＞b ac2＞bc2.(　　)
(2)a＝b ac＝bc.(　　)
(3)若>1，则a>b.(　　)
(4)0答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2 a＞b；反之，c＝0时，a＞b ac2＞bc2.
(2)由等式的性质，a＝b ac＝bc；反之，c＝0时，ac＝bc a＝b.
(3)a＝－3，b＝－1，则>1，但a2.(易错题)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)
A.－＞0 B.－＜0
C.＞ D.＜
答案　D
解析　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴－＞－＞0.
故－＞－＞0，则＜＜0.
3.(易错题)已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a－b的取值范围是(　　)
A.(－3，2) B.(－6，5)
C.(－4，7) D.(－5，－1)
答案　B
解析　∵－3＜b＜5，∴－5＜－b＜3，
又－1＜a＜2，∴－6＜a－b＜5.
4.(2021·厦门期末)实数x，y满足x>y，则下列不等式成立的是(　　)
A.<1 B.2－x<2－y
C.lg(x－y)>0 D.x2>y2
答案　B
解析　由x>y，得－x<－y，所以2－x<2－y，故选B.
5.(多选)(2022·湖北七市联考)设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是(　　)
A.c2＜cd B.a－c＜b－d
C.ac＞bd D.－＞0
答案　AD
解析　对于A，c2－cd＝c(c－d)＜0，所以A正确；
对于B，a－c－(b－d)＝(a－b)－(c－d)，无法判断与0的大小关系，所以B错误；
对于C，不妨设a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd，所以C错误；
对于D，－＝＞＝＞0，所以D正确.故选AD.
6.比较两数的大小：＋________＋.
答案　＞
解析　(＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，∴(＋)2＞(＋)2，∴＋＞＋.
　考点一　比较数(式)的大小
1.若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)
A.A≤B B.A≥B C.A＜B D.A＞B
答案　B
解析　由题意得，B2－A2＝－2≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B.
2.若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A.aC.c答案　B
解析　法一　易知a，b，c都是正数，＝＝log8164<1，所以a>b；＝＝log6251 024>1，所以b>c.即c法二　构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，
由f′(x)>0，得0由f′(x)<0，得x>e.
∴f(x)在(0，e)为增函数，在(e，＋∞)为减函数.
∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.
3.已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________.
答案　<
解析　当q＝1时，＝3，＝5，
所以<；
当q>0且q≠1时，
－＝－
＝＝<0，
所以<.综上可知<.
4.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________.
答案　eπ·πe＜ee·ππ
解析　＝＝，
又0＜＜1，0＜π－e＜1，
∴＜1，即＜1，
即eπ·πe＜ee·ππ.
感悟提升　1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.
2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.
3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.
4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.
　考点二　不等式的基本性质
例1 (1)(多选)(2021·长沙调研)若＜＜0，则下列不等式中正确的是(　　)
A.＜ B.|a|＋b＞0
C.a－＞b－ D.ln a2＞ln b2
答案　AC
解析　由＜＜0，可知b＜a＜0.A中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即A正确；
B中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.
故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故B错误；
C中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故C正确；
D中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故D错误.由以上分析，知A，C正确.
(2)(多选)(2021·石家庄模拟)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是(　　)
A.xy＞yz B.xy＞xz
C.xz＞yz D.x|y|＞|y|z
答案　ACD
解析　因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，
所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定.
对于A，由题意得x＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A错误；
对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；
对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C错误；
对于D，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D错误.
感悟提升　解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；
(2)利用特殊值法排除错误答案；
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
训练1 (1)若2m＞2n，则下列结论一定成立的是(　　)
A.＞ B.m|m|＞n|n|
C.ln(m－n)＞0 D.πm－n＜1
答案　B
解析　∵2m＞2n，
∴可取m＝2，n＝1，可得ACD不成立.
(2)(多选)设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　)
A.a＜b B.－c＞－c
C.＞ D.ac2＜bc2
答案　ABC
解析　∵y＝x在(0，＋∞)上是增函数，
∴a＜b.
∵y＝－c在(0，＋∞)上是减函数，
∴－c＞－c.
∵－＝＞0，∴＞.
当c＝0时，ac2＝bc2，∴D不成立.故选ABC.
　考点三　不等式性质的综合应用
例2 (1)已知－1答案　(－4，2)　(1，18)
解析　因为－1所以－3<－y<－2，所以－4由－1所以1<3x＋2y<18.
(2)已知－1答案　
解析　设3x＋2y＝λ(x－y)＋μ(x＋y)，
即3x＋2y＝(λ＋μ)x＋(μ－λ)y，
于是解得
∴3x＋2y＝(x－y)＋(x＋y).
∵－1∴－<(x－y)<2，5<(x＋y)<，
∴<(x－y)＋(x＋y)<.
故3x＋2y的取值范围是.
感悟提升　利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
训练2 (1)已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是________.
答案　(－3，－1)
解析　因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，
所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c.
因为a＞b＞c，所以－2a－c＜a，
即3a＞－c，解得＞－3，
将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，
即c＜－a，得＜－1，所以－3＜＜－1.
(2)已知a∈(－3，－2)，b∈(2，4)，则的取值范围是________.
答案　
解析　∵a∈(－3，－2)，∴∈，
故＜－＜，又∵2＜b＜4，
∴＜－＜2，则－2＜＜－.
1.(2021·深圳调研)若a，b∈R，且a＞|b|，则(　　)
A.a＜－b B.a＞b C.a2＜b2 D.＞
答案　B
解析　由a＞|b|可知，当b≥0时，a＞b；当b＜0时，a＞－b，则a＞0＞b，综上可知，当a＞|b|时，a＞b恒成立，故选B.
2.已知a＋b＜0，且a＞0，则(　　)
A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2
C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2
答案　A
解析　法一　令a＝1，b＝－2，
则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，
从而a2＜－ab＜b2，选A.
法二　由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，
且a＜－b.
因为a2－(－ab)＝a(a＋b)＜0，
所以0＜a2＜－ab.
又因为0＜a＜－b，
所以0＜－ab＜(－b)2，所以0＜a2＜－ab＜b2，选A.
3.设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.b＞a＞c D.b＞c＞a
答案　B
解析　因为(＋)2－(＋)2＝9＋2－9－2＜0，
所以＋＜＋，
所以－＜－，即b＜c.
又a－c＝2－＝－＞0，故a＞c.
综上，a＞c＞b.
4.(多选)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为(　　)
A.若a＞b，则ac＜bc
B.若ac2＞bc2，则a＞b
C.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
D.若a＞0＞b，则|a|＜|b|
答案　BC
解析　当c＞0时，ac＞bc，A错误；
当a＝3，b＝－1时，|a|＞|b|，D错误；B，C正确.
5.(多选)下面四个选项能推出＜的有(　　)
A.b＞0＞a B.0＞a＞b
C.a＞0＞b D.a＞b＞0
答案　ABD
解析　＜ ＜0 ab(a－b)＞0.
对于A，ab＜0，a－b＜0，ab(a－b)＞0，符合题意；
对于B，ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0，符合题意；
对于C，ab＜0，a－b＞0，ab(a－b)＜0，不符合题意；
对于D，ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0，符合题意.
6.把下列各题中的“＝”全部改成“＜”，结论仍然成立的是(　　)
A.如果a＝b，c＝d，那么a－c＝b－d
B.如果a＝b，c＝d，那么ac＝bd
C.如果a＝b，c＝d，且cd≠0，那么＝
D.如果a＝b，那么a3＝b3
答案　D
解析　对于A，如果a＜b，c＜d，那么a－c＜b－d不一定正确，如5＜6，4＜9，但5－4＞6－9；
对于B，如果a＜b，c＜d，那么ac＜bd不一定正确，如－2＜－1，1＜4，此时ac＞bd；
对于C，如果a＜b，c＜d，且cd≠0，那么＜不一定正确，如1＜2，1＜8，此时＞；
易知D正确.
7.已知非零实数a，b满足a＞b，则下列结论正确的是________(填序号).
①＜；②a3＞b3；③2a＞2b；④ln a4＞ln b4.
答案　②③
解析　当a＞0，b＜0时，＞0＞，故①错误；
由函数y＝x3，y＝2x的单调性可知，②③正确；
当a＝1，b＝－1时，ln a4＝ln b4＝ln 1＝0，故④错误.
8.设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.
答案　[5，10]
解析　设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
9.实数a，b，c，d满足下列三个条件：
①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c.
那么a，b，c，d的大小关系是________.
答案　b＞d＞c＞a
解析　由题意知d＞c①；
②＋③得2a＋b＋d＜2c＋b＋d，
化简得a＜c④；
由②式a＋b＝c＋d及a＜c可得到b＞d⑤，综合①④⑤式得到b＞d＞c＞a.
10.已知a＋b＞0，试比较＋与＋的大小.
解　＋－＝＋
＝(a－b)·＝.
∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，
∴≥0.
∴＋≥＋.
11.(1)若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤；
(2)已知c＞a＞b＞0，求证：＞.
证明　(1)∵bc≥ad，＞0，∴≥，
∴＋1≥＋1，∴≤.
(2)∵c＞a＞b＞0，∴c－a＞0，c－b＞0.
∵a＞b＞0，∴＜，
又∵c＞0，∴＜，∴＜，
又c－a＞0，c－b＞0，∴＞.
12.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a＜b≤c B.b≤c＜a
C.b＜c＜a D.b＜a＜c
答案　A
解析　∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b，
又∵b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，
两式相减得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，
∴b－a＝a2＋1－a＝＋＞0，
∴b＞a，∴a＜b≤c.
13.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则的取值范围是________.
答案　
解析　因为f(1)＝0，所以a＋b＋c＝0，
所以b＝－(a＋c).
又因为a>b>c，所以a>－(a＋c)>c，且a>0，c<0，
所以1>－>，即1>－1－>，
所以解得－2<<－.
即的取值范围为.
14.若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|.
(1)求证：b＋c＞0.
(2)求证：＜.
(3)在(2)的不等式中，能否找到一个代数式，满足＜所求式＜？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
(1)证明　因为|b|＞|c|，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所以b＋c＞0.
(2)证明　因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.
又a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0，
所以(a－c)2＞(b－d)2＞0，
所以0＜＜①.
因为a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c，
所以a＋d＞b＋c＞0②.
①②相乘得＜.
(3)解　因为a＋d＞b＋c＞0，0＜＜，
所以＜＜或＜＜.
所以，均为所求代数式.(只要写出一个即可)

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