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第4节　基本不等式
考试要求　1.了解基本不等式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在生活实际中的应用.
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤≤.
3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.
4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　)
(2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(3)函数y＝sin x＋，x∈的最小值是4.(　　)
(4)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，≥成立的条件是a＞0，b＞0.
(2)由于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y＝x＋无最小值.
(3)sin x＋的最小值不为4.
(4)“＋≥2”的充要条件是xy＞0.
2.(易错题)当x＜0时，函数y＝x＋(　　)
A.有最大值－4 B.有最小值－4
C.有最大值4 D.有最小值4
答案　A
解析　y＝x＋＝－≤
－2＝－4.
当且仅当x＝－2时等号成立，故选A.
3.(易错题)函数y＝x(3－2x)的最大值为(　　)
A.3 B. C. D.
答案　D
解析　y＝x(3－2x)≤·＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时等号成立.
4.(2022·滨州三校联考)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)
A.1＋ B.1＋
C.3 D.4
答案　C
解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.
5.(2021·长沙月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则当这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.
答案　15　
解析　设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30(0＜x≤18)，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.
6.(2021·天津卷)若a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值为________.
答案　2
解析　∵a＞0，b＞0，
∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立，
∴＋＋b的最小值为2.
　考点一　利用基本不等式求最值
角度1　配凑法
例1 (1)已知0＜x＜，则x的最大值为________.
答案　
解析　∵0＜x＜，∴1－2x2＞0，
x＝·x≤
·＝.
当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时等号成立.
(2)已知x＞，则f(x)＝4x－2＋的最小值为________.
答案　5
解析　∵x＞，∴4x－5＞0，
∴f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5，
当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号.
(3)已知函数f(x)＝(x<－1)，则(　　)
A.f(x)有最小值4 B.f(x)有最小值－4
C.f(x)有最大值4 D.f(x)有最大值－4
答案　A
解析　f(x)＝＝
＝－＝－
＝－(x＋1)＋＋2.
因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，
所以f(x)≥2＋2＝4，
当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立.
故f(x)有最小值4.
角度2　常数代换法
例2 若直线2mx－ny－2＝0(m＞0，n＞0)过点(1，－2)，则＋的最小值为(　　)
A.2 B.6
C.12 D.3＋2
答案　D
解析　因为直线2mx－ny－2＝0(m＞0，n＞0)过点(1，－2)，
所以2m＋2n－2＝0，即m＋n＝1，
所以＋＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当＝，即n＝m时取等号，
所以＋的最小值为3＋2.
角度3　消元法
例3 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
答案　6
解析　法一(换元消元法)
由已知得x＋3y＝9－xy，
∵x>0，y>0，
∴x＋3y≥2，
∴3xy≤，
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，
∴x＋3y＋≥9，
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
解得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
法二(代入消元法)
由x＋3y＋xy＝9，得x＝，
∴x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝，即x＝3，y＝1时等号成立，
∴x＋3y的最小值为6.
感悟提升　1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值.
3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.
训练1 (1)已知0＜x＜2，则x(5－2x)的最大值为________.
答案　
解析　因为0＜x＜2，
所以2x＞0，5－2x＞0，
则x(5－2x)＝·2x·(5－2x)≤·＝×＝，
当且仅当2x＝5－2x，即x＝时等号成立，
故x(5－2x)的最大值为.
(2)正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为________；2x＋y的最大值为________.
答案　　
解析　∵1－xy＝4x2＋y2≥4xy，
∴5xy≤1，∴xy≤，
当且仅当y＝2x时取等号.
∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，
∴(2x＋y)2－1＝3xy
＝·2x·y≤，
即(2x＋y)2－1≤(2x＋y)2，
∴(2x＋y)2≤，∴2x＋y≤，
当且仅当2x＝y时取等号.
(3)(2020·江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________.
答案　
解析　由题意知y≠0.由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝，所以x2＋y2＝＋y2＝＝≥×2＝，当且仅当＝4y2，即y＝±时取等号，所以x2＋y2的最小值为.
考点二　基本不等式的综合应用
角度1　与其他知识交汇的最值问题
例4 已知D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点(不包含D，E两点)，且满足＝α＋β，则＋的最小值为________.
答案　6＋4
解析　由于M是线段DE上的一动点(不包含D，E两点)，D，E分别是AB，AC的中点，
则＝α＋β＝2α＋2β，
所以α，β＞0且2α＋2β＝1.
＋＝(2α＋2β)＝6＋＋≥6＋4，当且仅当α＝，β＝时取等号，
故＋的最小值为6＋4.
角度2　求参数值或取值范围
例5 (2022·杭州调研)对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为(　　)
A. B.2 C.4 D.
答案　B
解析　∵对任意m，n∈(0，＋∞)，
都有m2－amn＋2n2≥0，
∴m2＋2n2≥amn，即a≤＝＋恒成立，
∵＋≥2＝2，
当且仅当＝，即m＝n时取等号，
∴a≤2，故实数a的最大值为2，故选B.
感悟提升　(1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.
(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围.
训练2 (1)设0＜m＜，若＋≥k2－2k恒成立，则k的取值范围为________.
答案　[－2，4]
解析　由于0＜m＜，
则＋＝＝，
而1－2m＞0，且2m＋(1－2m)＝1，
由基本不等式可得
2m＋(1－2m)≥2，
所以2m×(1－2m)≤＝，所以≥＝8.
当且仅当2m＝1－2m，即m＝时取等号.
由已知不等式恒成立可知
k2－2k≤＝8，
即k2－2k≤8，解得－2≤k≤4.
(2)设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________.
答案　
解析　因为an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
所以＝＝
≥＝，
当且仅当n＝，即n＝4时取等号，
所以的最小值是.
　考点三　基本不等式的实际应用
例6 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)
A.80元 B.120元 C.160元 D.240元
答案　C
解析　由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×(2x＋)≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号.
感悟提升　(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.
训练3 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.
答案　30
解析　由题意得，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240(万元)，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x的值是30.
基本不等式链
若a＞0，b＞0，则≤≤≤(a＞0，b＞0).
当且仅当a＝b时等号成立，其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.
一、利用基本不等式链求最值
例1 当－＜x＜时，函数y＝＋的最大值为________.
答案　2
解析　由≤，
得a＋b≤2，
则y＝＋
≤2＝2，
当且仅当＝，即x＝时等号成立.
二、利用基本不等式链证明不等式
例2 (2021·衡水市联考)已知a，b，c都是非负实数，求证：＋＋≥(a＋b＋c).
证明　∵≥.
即≥(a＋b)，
同理，≥(b＋c)，
≥(c＋a)，
相加可得＋＋≥(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝(a＋b＋c)，
当且仅当a＝b＝c时等号成立.
1.下列等式中最小值为4的是(　　)
A.y＝x＋ B.y＝2t＋
C.y＝4t＋(t＞0) D.y＝t＋
答案　C
解析　运用基本不等式的条件是“一正、二定、三相等”，A，B，D均不满足“一正”条件，故选C.
2.已知a＞0，且b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　)
A. B.4 C. D.2
答案　D
解析　4＝2a＋b≥2，
即2≥，两边平方得4≥2ab，
∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，
∴ab的最大值为2.
3.若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　)
A.8 B.6 C.4 D.2
答案　C
解析　依题意ab＝a＋b，
∴a＋b＝ab≤，即a＋b≤，
∴a＋b≥4，当且仅当a＝b时取等号，
∴a＋b的最小值为4.
4.设x＞0，则3－3x－的最大值是(　　)
A.3 B.3－2
C.－1 D.3－2
答案　D
解析　∵x＞0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立，
∴－≤－2，
则3－3x－≤3－2.
5.(多选)下列四个函数中，最小值为2的是(　　)
A.y＝sin x＋
B.y＝ln x＋(x＞0，x≠1)
C.y＝
D.y＝4x＋4－x
答案　AD
解析　对于A，因为0＜x≤，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋≥2，当且仅当sin x＝，即sin x＝1时取等号，符合题意；
对于B，当0＜x＜1时，ln x＜0，此时y＝ln x＋为负值，最小值不是2，不符合题意；
对于C，y＝＝＋，设t＝，则t≥，则y≥＋＝，其最小值不是2，不符合题意；
对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋≥2＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意.故选AD.
6.若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是(　　)
A.6 B. C.4 D.
答案　B
解析　x2＋y2＋xy＝1 (x＋y)2－xy＝1，
∵xy≤，当且仅当x＝y时取等号，
∴(x＋y)2－≤1，
即(x＋y)2≤1，∴－≤x＋y≤，
∴x＋y的最大值是.故选B.
7.(2021·南通一模)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则＋的最小值为________.
答案　4＋2
解析　＋＝(a＋b)＝4＋≥4＋2＝4＋2，
当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立.
8.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元.
答案　8
解析　每台机器运转x年的年平均利润为＝万元，由于x＞0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元.
9.命题“ x∈(1，＋∞)，x2－ax＋a＋2＞0”为真命题，则实数a的取值范围是________.
答案　(－∞，2＋2)
解析　依题意 x∈(1，＋∞)，x2－ax＋a＋2＞0恒成立，
即a(x－1)＜x2＋2，即a＜恒成立.
∵＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2，
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立，
∴a＜2＋2.
10.(1)当x＞1时，求2x＋的最小值；
(2)当x＞1时，求的最小值.
解　(1)2x＋＝2＋2，
∵x＞1，∴x－1＞0，
∴2x＋≥2×2＋2＝10，
当且仅当x－1＝，即x＝3时，取等号.
(2)令y＝＝＝(x－1)＋＋2.
因为x－1＞0，所以y≥2＋2＝8，
当且仅当x－1＝，即x＝4时，y取最小值为8.
11.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值.
解　(1)∵xy＝2x＋8y≥2，
即xy≥8，即xy≥64，
当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，等号成立，
∴xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1，
则x＋y＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当＝，即x＝12，y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
12.(2022·济南模拟)已知△ABC的面积为1，内切圆的半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋的最小值为(　　)
A.2 B.2＋
C.4 D.2＋2
答案　D
解析　因为△ABC的面积为1，内切圆的半径也为1，
所以(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2，
当且仅当＝且a＋b＋c＝2，即c＝2－2时，等号成立，
所以＋的最小值为2＋2.
13.(多选)(2021·石家庄一模)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是(　　)
A.a＋b＋c≤ B.(a＋b＋c)2≥3
C.＋＋≥2 D.a2＋b2＋c2≥1
答案　BD
解析　由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)＝2，
∴a2＋b2＋c2≥1，
当且仅当a＝b＝c＝±时，等号成立.
∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥.
若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3<2.因此，A，C错误，B，D正确.
14.(1)(2020·天津卷改编)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，求＋＋的最小值；
(2)若a，b∈R，ab>0，求的最小值.
解　(1)因为a＞0，b＞0，ab＝1，所以原式＝＋＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即a＋b＝4时，等号成立.
故＋＋的最小值为4.
(2)∵a，b∈R，ab>0，
∴≥＝4ab＋
≥2＝4，
当且仅当即时取得等号.

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