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第5节　二次函数与一元二次方程、不等式
考试要求　1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式 解集
ab
(x－a)·(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}
(x－a)·(x－b)<0 {x|a4.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为
(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形.
3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立 或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 或
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　)
(3)不等式x2≤a的解集为[－，].(　　)
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(1)错误.≥0等价于
(x－a)(x－b)≥0且x≠b.
(3)错误.当a＝0时，其解集为{0}，当a<0时，其解集为 .
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为 .
2.(2021·湖南师大附中月考)已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则A∩B＝(　　)
A.(3，＋∞) B.(－1，＋∞)
C.(－1，1) D.(1，3)
答案　D
解析　易知A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝{x|1＜x＜3}，故选D.
3.(2022·福州质检)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b的值是(　　)
A.－10 B.－14 C.10 D.14
答案　A
解析　由题意知，－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，所以解得故a－b＝－10.
4.(多选)(2022·青岛质检)关于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)＞0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为(　　)
A.－ B.1 C.－1 D.2
答案　AC
解析　由题意知a＜0，则排除B，D；
对于A，当a＝－时，(x－2)＞0，即(x＋2)(x－2)＜0，解得－2＜x＜2，恰有3个整数，符合题意；
对于C，当a＝－1时，(－x－1)(x－3)＞0，
即(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，恰有3个整数，符合题意，故选AC.
5.(2021·上海卷)不等式＜1的解集为________.
答案　(－7，2)
解析　＜1，即－1＜0，即＜0，解得－7＜x＜2，因此不等式的解集为(－7，2).
6.(易错题)不等式mx2＋mx＋1＞0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________.
答案　[0，4)
解析　当m＝0时，1＞0，不等式恒成立，
当m≠0时，
得0＜m＜4.
综上，0≤m＜4.
　考点一　一元二次不等式的求解
角度1　不含参数的不等式
例1 (1)不等式－2x2＋x＋3＜0的解集为(　　)
A.
B.
C.(－∞，－1)∪
D.∪(1，＋∞)
答案　C
解析　－2x2＋x＋3＜0可化为2x2－x－3＞0，即(x＋1)(2x－3)＞0，
∴x＜－1或x＞.
(2)不等式≥0的解集为(　　)
A.[－2，1]
B.(－2，1]
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)
答案　B
解析　原不等式化为
即解得－2＜x≤1.
(3)不等式0＜x2－x－2≤4的解集为________.
答案　[－2，－1)∪(2，3]
解析　由题意得
故
即－2≤x＜－1或2＜x≤3.
故不等式的解集为[－2，－1)∪(2，3].
角度2　含参数的不等式
例2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R).
解　原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，
当a＞0时，所以(x－1)＜0，
所以当a＞1时，解得＜x＜1；
当a＝1时，解集为 ；
当0＜a＜1时，解得1＜x＜.
当a＝0时，原不等式等价于－x＋1＜0，
即x＞1.
当a＜0时，＜1，原不等式可化为
(x－1)＞0，
解得x＞1或x＜.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为
，
当a＝1时，不等式的解集为 ，
当a＞1时，不等式的解集为，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}，
当a＜0时，不等式的解集为
.
感悟提升　含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论.
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式.
(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.
训练1 解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R).
解　将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为
(x－a)(x－a2)＞0.
当a＜0时，a＜a2，∴原不等式的解集为
{x|x＜a或x＞a2}；
当a＝0时，a＝a2＝0，∴原不等式的解集为{x|x≠0}；
当0＜a＜1时，a＞a2，∴原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝1时，a＝a2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＞1时，a＜a2，∴原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}.
综上所述，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.
考点二　三个二次之间的关系
例3 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是，求不等式ax2－bx＋c＞0的解集.
解　由条件知－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0，
所以－2－＝－，(－2)×＝，
所以b＝a，c＝a.
从而不等式ax2－bx＋c＞0，
即为a＞0.
因为a＜0，所以原不等式等价于
2x2－5x＋2＜0，
即(x－2)(2x－1)＜0，解得＜x＜2.
所以不等式的解集为.
感悟提升　1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
训练2 若ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，则对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c，有(　　)
A.f(5)＜f(2)＜f(－1)
B.f(2)＜f(5)＜f(－1)
C.f(－1)＜f(2)＜f(5)
D.f(2)＜f(－1)＜f(5)
答案　D
解析　因为ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，所以a＞0，
且－2，4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系得所以
所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c＝ax2－2ax－8a＝a(x2－2x－8)，
其图象的对称轴为直线x＝1，开口向上，
所以f(2)＜f(－1)＜f(5).
　考点三　一元二次不等式恒成立问题
角度1　在实数R上恒成立
例4 若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－2，2)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－2，2]
D.(－∞，2]
答案　C
解析　当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意.
当a－2≠0，即a≠2时，要使不等式恒成立，
需满足解得－2＜a＜2.
综上可知，a的取值范围为(－2，2].
角度2　在给定区间上恒成立
例5 (1)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.
答案　
解析　要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，故mx2－mx＋m－6＜0，
则m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.
法一　令g(x)＝m＋m－6，
x∈[1，3].
当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，
所以m＜，则0＜m＜.
当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，
所以m＜6，所以m＜0.
综上所述，m的取值范围是
.
法二　因为x2－x＋1＝＋＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.
因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可.
因为m≠0，所以m的取值范围是
.
(2)(2022·宁波模拟)若对任意的t∈[1，2]，函数f(x)＝t2x2－(t＋1)x＋a总有零点，则实数a的取值范围是________.
答案　
解析　函数f(x)＝t2x2－(t＋1)x＋a总有零点等价于方程t2x2－(t＋1)x＋a＝0的根的判别式Δ＝(t＋1)2－4at2≥0对任意的t∈[1，2]恒成立，
所以a≤对任意的t∈[1，2]恒成立.
令g(t)＝＝，t∈[1，2].
因为t∈[1，2]，所以∈，
所以g(t)∈，
即的最小值为.
故实数a的取值范围是.
角度3　给定参数范围的恒成立问题
例6 已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　　)
A.(－∞，2)∪(3，＋∞)
B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.(－∞，1)∪(3，＋∞)
D.(1，3)
答案　C
解析　把不等式的左端看成关于a的函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，
得f(－1)＝x2－5x＋6＞0，
且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，
解不等式组得x＜1或x＞3.
感悟提升　(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.
①若ax2＋bx＋c＞0恒成立，则有a＞0，且Δ＜0；若ax2＋bx＋c＜0恒成立，则有a＜0，且Δ＜0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).
训练3 已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1).
(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于m∈[－2，2]恒成立，求实数x的取值范围；
(3)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围.
解　(1)原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)＜0，
当m＝0时，－2x＋1＜0不恒成立；
当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，
则需m＜0且Δ＝4－4m(1－m)＜0，无解，
所以不存在实数m，使不等式恒成立.
(2)设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，
当m∈[－2，2]时，f(m)＜0恒成立.
当且仅当
由①，得＜x＜.
由②，得x＜或x＞.
取交集，得＜x＜.
所以x的取值范围是
.
(3)因为x＞1，所以m＜.
设2x－1＝t(t＞1)，x2－1＝，
所以m＜＝.
设g(t)＝t－＋2，t∈(1，＋∞)，
显然g(t)在(1，＋∞)上为增函数.
当t→＋∞时，t－＋2→＋∞，→0，
所以m≤0.
一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布一般要考虑以下几点：
(1)一元二次函数的开口方向；
(2)一元二次函数方程的根的判别式；
(3)一元二次函数图象的对称轴与区间的关系；
(4)一元二次函数在区间端点处函数值的符号.
只要能准确把握以上四点，这类问题就能够顺利解决.
例1 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围；
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
解　(1)设函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，
画出示意图，
得∴
∴－＜m＜－.
(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，
列不等式组
∴
∴－＜m≤1－.
例2 (1)已知二次函数f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围.
解　由(m＋2)·f(1)＜0，
即(m＋2)·(2m＋1)＜0，∴－2＜m＜－，
即m的取值范围为.
(2)已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围.
解　设f(x)＝2x2－(m＋1)x＋m，
由∴
∴
∴0＜m＜3－2或m＞3＋2，
即m的取值范围为(0，3－2)∪(3＋2，＋∞).
1.不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为(　　)
A.(－2，5)
B.(－∞，－2)∪(5，＋∞)
C.(－5，2)
D.(－∞，－5)∪(2，＋∞)
答案　A
解析　由－x2＋3x＋10＞0得x2－3x－10＜0，解得－2＜x＜5.
2.函数y＝的定义域为(　　)
A.(－4，－1) B.(－4，1)
C.(－1，1) D.(－1，1]
答案　C
解析　由解得－1＜x＜1.
3.关于x的不等式x2＋px－2＜0的解集是(q，1)，则p＋q的值为(　　)
A.－2 B.－1 C.1 D.2
答案　B
解析　依题意得q，1是方程x2＋px－2＝0两根，
∴q＋1＝－p，即p＋q＝－1.
4.(2021·东北三省三校联考)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　)
A.[0，1]
B.(0，1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞)
D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案　A
解析　当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，其恒成立；
当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，
只需解得0综上，k的取值范围是[0，1].
5.(多选)设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为(　　)
A. B.3 C.－4.5 D.－5
答案　BC
解析　不等式[x]2＋[x]－12≤0可化为([x]＋4)([x]－3)≤0，解得－4≤[x]≤3.
又[x]表示不小于实数x的最小整数，
且[]＝4，[3]＝3，[－4.5]＝－4，[－5]＝－5，
所以满足不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为3和－4.5.
6.(多选)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a＞0)有且只有一个零点，则(　　)
A.a2－b2≤4
B.a2＋≥4
C.若不等式x2＋ax－b＜0的解集为(x1，x2)，则x1x2＞0
D.若不等式x2＋ax＋b＜c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4
答案　ABD
解析　因为f(x)＝x2＋ax＋b(a＞0)有且只有一个零点，故可得Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b＞0.
对于A，a2－b2≤4等价于b2－4b＋4≥0，显然(b－2)2≥0，故A正确；
对于B，a2＋＝4b＋≥2＝4，当且仅当4b＝＞0，即b＝时，等号成立，故B正确；
对于C，因为不等式x2＋ax－b＜0的解集为(x1，x2)，故x1x2＝－b＜0，故C错误；
对于D，因为不等式x2＋ax＋b＜c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则方程x2＋ax＋b－c＝0的两根为x1，x2，故可得＝＝＝2＝4，故可得c＝4，故D正确.
7.不等式＞2的解集为________.
答案　{x|1＜x＜4}
解析　原不等式可化为－2＞0，
即＞0，
即＞0，即(x－1)(x－4)＜0，
解得1＜x＜4，
∴原不等式的解集为{x|1＜x＜4}.
8.若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.∪{2}
答案　B
解析　当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，
当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意；
当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集.
当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，
则有解得－2＜a＜.
综上，实数a的取值范围是.
9.(2022·东营调研)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，若关于x的不等式f(x)＞c－1的解集为(m－4，m)，则实数c的值为________.
答案　－3
解析　因为函数f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，
所以Δ＝0，即a2＋4b＝0，所以b＝－a2.
又关于x的不等式f(x)＞c－1的解集为
(m－4，m)，
所以方程f(x)＝c－1的两根分别为
m－4，m，
即方程－x2＋ax－a2＝c－1的两根分别为m－4，m，
又方程－x2＋ax－a2＝c－1的根为
x＝±，
所以两根之差为2＝m－(m－4)＝4，解得c＝－3.
10.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)＞0；
(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值.
解　(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－2＜a＜3＋2.
所以不等式的解集为
{a|3－2＜a＜3＋2}.
(2)∵f(x)＞b的解集为(－1，3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
∴解得
故a的值为3±，b的值为－3.
11.函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.
解　(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，
∴实数a的取值范围是[－6，2].
(2)由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0
在x∈[－2，2]上恒成立，
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
则有①Δ≤0或②或
③
解①得－6≤a≤2，解②得a∈ ，
解③得－7≤a＜－6.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2].
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3，
当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立，
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞).
12.若mx2－mx－1＜0对于m∈[1，2]恒成立，则实数x的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.R
答案　B
解析　设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1，2]时，图象为一条线段，则
即
解得＜x＜.
13.已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________.
答案　
解析　对任意x∈N*，f(x)≥3，
即 ≥3恒成立，
即a≥－＋3.
设g(x)＝x＋，x∈N*，
则g(x)＝x＋≥4，
当且仅当x＝2时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝，
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝，
∴－＋3≤－，
∴a≥－，故a的取值范围是.
14.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a＞0时，
原不等式可化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③当a＜0时，
原不等式化为(x＋1)≤0.
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当＜－1，即－2＜a＜0时，
解得≤x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＞0时，不等式的解集为
；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为
；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为.