资源简介

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手拉手模型
教学内容
1、手拉手全等；
2、手拉手相似．
教学过程
考点一:手拉手全等
诊断1．（2022 南山区二模）如图1，正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以DP为边向右作正方形DPFE，连接CE；
【初步探究】
（1）则AP与CE的数量关系是　　　　，AP与CE的夹角度数为　　　　；
【探索发现】
（2）点P在线段AC及其延长线上运动时，如图1，图2，探究线段DC，PC和CE三者之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）点P在对角线AC的延长线上时，如图3，连接AE，若AB＝，AE＝，求四边形DCPE的面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ACD＝∠DAC＝45°，∠ADC＝90°，
∵四边形DPFE是正方形，
∴DP＝DE，∠PDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADP＝∠CDE，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（SAS），
∴AP＝CE，∠DAC＝∠DCE＝45°，
∴∠ACE＝90°，
故答案为：AP＝CE，90°；
（2）如图1，PC+CECD，理由如下：
由（1）可得AP＝CE，
∴PC+CE＝PC+AP＝ACCD，
∴PC+CECD，
如图2，CE﹣CPCD，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ACD＝∠DAC＝45°，∠ADC＝90°，ACCD，
∵四边形DPFE是正方形，
∴DP＝DE，∠PDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，
在△ADP和△CDE中，，
∴△ADP≌△CDE（SAS），
∴AP＝CE，∠DAC＝∠DCE＝45°，
∴CE﹣CPCD；
（3）连接CE，
∵△ADP≌△CDE，
∴∠DCE＝∠DAP＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°，
∵AB＝2，
∴CD＝AB＝2，AC24，
∴CE6，
∵AP＝CE＝6，
∴PC＝6﹣4＝2，
∴PE2，
∴DE2，
∴10，2×2＝2，
∴S四边形DCPE＝S△PDE+S△PDC＝12．
内化1-1．（2021 毕节市）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．
【解答】证明（1）如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
又∵∠AOB＝∠COF，∴∠BFC＝∠BAC＝90°，∴BD⊥CE；
（2）AF∥CD，理由如下：如图2，作AG⊥BF于G，AH⊥CE于H，
由（1）知△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，∴AG＝AH，
又∵AG⊥BF，AH⊥CE，∴AF平分∠BFE，
又∵∠BFE＝90°，∴∠AFD＝45°，
∵∠BDC＝135°，
∴∠FDC＝45°，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴AF∥CD．
内化1-2．（2021 郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°．
【解答】（1）证明：如图1，
由旋转得：AH＝AG，∠HAG＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAH＝∠CAG，
∵AB＝AC，∴△ABH≌△ACG（SAS）；
（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，AEAB，AFAC，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，
∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AFG＝∠AEH＝45°，∴∠HFG＝45°+45°＝90°；
内化1-3．（2021 贵港）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是　　　　；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【解答】解：（1）结论：AE＝CF．理由：如图1中，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，AO⊥BC，
∵∠AOC＝∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，
∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．
（2）结论成立．理由：如图2中，
∵∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，
∵∠AOC＝∠EOF，∴∠AOE＝∠COF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
内化1-4．（2021 营口）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．（1）求证：AF＝CE；
（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：连接AD．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC．
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，
∵DF＝DE，∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴AF＝CE．
（2）结论：CE2+BF2BC2．
理由：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，
∴ACBC，∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCE，
∵∠BAD＝∠ACD＝45°，
∴∠BAD+∠DAF＝∠ACD+∠DCE，
∴∠BAF＝∠ACE，
∵AB＝CA，AF＝CE，
∴△BAF≌△ACE（SAS），
∴BF＝AE，
∵∠AEC＝∠DEC﹣∠DEF＝135°﹣45°＝90°，
∴AE2+CE2＝AC2，
∴BF2+CE2BC2．
内化1-5．（2021 通辽）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2．
【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，
即∠AOM＝∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OM＝ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴AM＝BN；
（2）①证明：连接BN，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，
∴∠MBN＝90°，∴MB2+BN2＝MN2，
∵△MON是等腰直角三角形，∴MN2＝2ON2，∴AM2+BM2＝2OM2；
内化1-6．（2022 龙岗区一模）如图，在正方形ABCD中，M是对角线BD上一点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转90°得AN，连接MN交AD于E点，连接DN．则下列结论中：①ND⊥BD；②∠MAE＝∠DNE；③MN2＝2ED AD；④当AD＝MD时，则．其中正确结论的序号是　　　　．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵将AM绕点A逆时针旋转90°得AN，∴AM＝AN，∠MAN＝90°＝∠BAD，
∴∠BAM＝∠DAN，∴△ABM≌△DAN（SAS），∴∠ABM＝∠ADN＝45°，
∴∠BDN＝∠ADB+∠ADN＝90°，∴DN⊥BD，故①正确；
∵∠MAN＝∠MDN＝90°，∴点A，点M，点D，点N四点共圆，
∴∠MAE＝∠DNE，故②正确；
∵AM＝AN，∠MAN＝90°，∴MN2＝AM2+AN2＝2AN2，∠ANM＝45°，
∵∠DAN＝∠NAE，∠ANM＝∠ADN＝45°，∴△AEN∽△AND，
∴，
∴AN2＝AD AE，
∴MN2＝2AD AE，故③错误；
设AB＝AD＝a，则BDa，
∵AD＝MD＝a，
∴BM＝（1）a＝DN，
∴MN2＝DN2+MD2＝2AN2，
∴AN2＝（2）a2，
∵点A，点M，点D，点N四点共圆，
∴∠DAN＝∠DMN，∠ANM＝∠ADM，
∴△ANE∽△MDE，
∴（）2＝2，故④正确，
故答案为：①②④．
考点二:手拉手相似
诊断1．问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝　　　　；②直线AE与DF所夹锐角的度数为　　　　．
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，
∴cos∠ABD，
如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，
∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，
∴∠DBF＝∠ABE＝90°，
∴△FBD∽△EBA，
∴，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOB＝∠AOF，
∴∠DBA＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，
故答案为：，30°；
（2）结论仍然成立，
理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，
∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，
∴∠ABE＝∠DBF，
又∵，
∴△ABE∽△DBF，
∴，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOH＝∠AOB，
∴∠ABD＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．
内化1-1．（2021 广元）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上一点（含端点A、B），过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EF＝BE，连接AF、BF．
（1）求证：△ABF∽△CBE；
（2）如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN．求∠PMN的度数及的值；
（3）在（2）的条件下，若BC＝，直接写出△PMN面积的最大值．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，EF＝EB，∠BEF＝90°，
∴∠CBA＝∠EBF＝45°，ABBC，BFBE，
∴∠CBE＝∠ABF，，
∴△ABF∽△CBE．
（2）解：如图2中，延长PM交AF于T．
∵BE⊥CF，
∴∠CEB＝90°，
∵△ABF∽△CBE，
∴∠CEB＝∠AFB＝90°，，
∴AFEC，
∵∠EFB＝45°，
∴∠AFC＝45°，
∵AP＝PC，AM＝ME，
∴PT∥CF，PMEC，
∵AM＝ME，EN＝NF，
∴MN∥AF，MNAF，
∴四边形MNFT是平行四边形，MNPM，
∴∠TMN＝∠AFC＝45°，
∴∠PMN＝135°，
∴．
（3）解：∵MNPM，∠PMN＝135°，PMEC，
∴当EC的值最大时，PM的值最大，此时△PMN的面积最大，
∵当点E与B重合时，EC的值最大，EC的最大值为，
此时PM，MNPM＝1，
∴△PMN的面积的最大值为1．
内化1-2．（2021 深圳模拟）（1）问题背景：如图1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，求证：△ABE∽△ACD；
（2）尝试应用：如图2，E为正方形ABCD外一点，∠BED＝45°，过点D作DF⊥BE，垂足为F，连接CF．求的值；
（3）拓展创新：如图3，四边形ABCD是正方形，点F是线段CD上一点，以AF为对角线作正方形AEFG，连接DE，BG．当DF＝1，S四边形AEDF＝5时，则BG的长为　　　　．
【解答】（1）证明：如图，∵∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，
∴∠DAE＝∠CAB＝45°，且ABAC，AEAD，
∴∠DAC＝∠EAB，，
∴△ABE∽△ACD；
（2）解：如图2，连接BD，
∵∠E＝45°，DF⊥BE，
∴∠EDF＝∠E＝45°，
在正方形ABCD中，∠BDC＝45°，
∴∠EDB＝∠FDC＝45°+∠FDB，，
∴△EDB∽△FDC，
∴；
（3）解：如图3，连接AC，过点E作EM⊥AD于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∠DAC＝45°，，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AE＝AG，∠EAG＝90°，∠EAF＝45°，，
∵∠EAD＝∠EAG﹣∠DAG，∠GAB＝∠DAB﹣∠DAG，∠EAD＝∠EAF﹣∠DAF，∠FAC＝∠DAC﹣∠DAF，
∴∠EAD＝∠GAB，∠EAD＝∠FAC，
∴△EAD≌△GAB（SAS），△ACF∽△ADE，
∴DE＝BG，，
设DM＝x，则BG＝DEx，CFDE＝2x，
∵S四边形AEDF＝S△ADE+S△ADF＝5，
∴x（2x+1）1×（2x+1）＝5，
∴2x2+3x﹣9＝0，解得：x1＝﹣3（舍去），x2，
∴BG．
故答案为：．
内化1-3．（2022 南山区育才三中一模）（1）【问题发现】
如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．
填空：
①线段CF与DG的数量关系为　　　　；
②直线CF与DG所夹锐角的度数为　　　　．
（2）【拓展探究】
如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．
（3）【解决问题】
如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为　　　　（直接写出结果）．
【解答】解：（1）连接AF，
∵四边形AEFG、ABCD是正方形，
∴∠GAF＝45°，
∴点A、F、C三点共线，
∴AC，AFAG，
∴CFGD，
故答案为：CFGD，45°；
（2）仍然成立，连接AF，AC，
∵∠CAD＝∠FAG＝45°，
∴∠CAF＝∠DAC，，
∴△CAF∽△DAG，
∴CFDG，∠ACF＝∠ADG，
∴∠COD＝∠CAD＝45°，
∴（1）中的结论仍然成立；
（3）连接CE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∴当OE⊥CE时，OE最小，
∵AC＝10，O为AC的中点．
∴OC＝5，
∵∠OCE＝45°，
∴OEOC，
故答案为：．
内化1-4．（2021 宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图①，连接BG、CF，求的值；
（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．
【解答】解：（1）如图①，连接AF，AC，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴ACAB，AFAG，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠CAF＝∠BAG，，
∴△CAF∽△BAG，
∴；
（2）BE＝2MN，MN⊥BE，
理由如下：如图②，连接ME，过点C作CH∥EF，交直线ME于H，连接BH，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，
∵CH∥EF，∴∠FCH＝∠CFE，
∵点M是CF的中点，∴CM＝MF，
又∵∠CMH＝∠FME，∴△CMH≌△FME（ASA），
∴CH＝EF，ME＝HM，
∴AE＝CH，
∵CH∥EF，AG∥EF，
∴CH∥AG，
∴∠HCF＝∠CRA，
∵AD∥BC，
∴∠BCF＝∠APR，
∴∠BCH＝∠BCF+∠HCF＝∠APR+∠ARC，
∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，
∴∠BAE＝∠BCH，
又∵BC＝AB，CH＝AE，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，
∴∠HBE＝∠CBA＝90°，
∵MH＝ME，点N是BE中点，
∴BH＝2MN，MN∥BH，
∴BE＝2MN，MN⊥BE；
（3）如图③，取AB中点O，连接ON，OQ，AF，
∵AE＝6，
∴AF＝6，
∵点N是BE的中点，点Q是BF的中点，点O是AB的中点，
∴OQAF＝3，ONAE＝3，
∴点Q在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，
∴线段QN扫过的面积＝π×（3）2﹣π×32＝9π．
内化1-5．（2022 深圳联考）数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知△ABC中，AB＝AC＝m，BC＝n，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和β的度数与m、n、α的关系．
请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【问题发现】小明研究了α＝60°时，如图1，求出了的值和β的度数分别为＝　　　　，β＝　　　　；
小红研究了α＝90°时，如图2，求出了的值和β的度数分别为＝　　　　，β＝　　　　；
【类比探究】他们又共同研究了α＝120°时，如图3，也求出了的值和β的度数；
【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律：＝　　　　（用含m、n的式子表示）；β＝　　　　（用含α的式子表示）．
（2）求出α＝120°时的值和β的度数．
【解答】解：（1）如图1，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，
当α＝60°时，△ABC和△PDC都是等边三角形，
∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝β＝∠ACB＝60°，
当α＝90°时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，
∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PCCD，ACCB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝β＝∠ACB＝45°，
由此，可归纳出，β＝∠ACB；
（2）当α＝120°，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，
∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，∠CAE＝60°
∴sin60°，
同理可得：，
∴，
∴，
又∵∠ECF＝∠ACP，
∴△PCA∽△FCE，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝β＝∠ACB＝30°．
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手拉手模型
教学内容
1、手拉手全等；
2、手拉手相似．
教学过程
考点一:手拉手全等
诊断1．（2022 南山区二模）如图1，正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以DP为边向右作正方形DPFE，连接CE；
【初步探究】
（1）则AP与CE的数量关系是　　　　，AP与CE的夹角度数为　　　　；
【探索发现】
（2）点P在线段AC及其延长线上运动时，如图1，图2，探究线段DC，PC和CE三者之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）点P在对角线AC的延长线上时，如图3，连接AE，若AB＝，AE＝，求四边形DCPE的面积．
内化1-1．（2021 毕节市）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．
内化1-2．（2021 郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°．
内化1-3．（2021 贵港）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是　　　　；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
内化1-4．（2021 营口）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．（1）求证：AF＝CE；
（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明．
内化1-5．（2021 通辽）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2．
内化1-6．（2022 龙岗区一模）如图，在正方形ABCD中，M是对角线BD上一点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转90°得AN，连接MN交AD于E点，连接DN．则下列结论中：①ND⊥BD；②∠MAE＝∠DNE；③MN2＝2ED AD；④当AD＝MD时，则．其中正确结论的序号是　　　　．
考点二:手拉手相似
诊断1．问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝　　　　；②直线AE与DF所夹锐角的度数为　　　　．
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
内化1-1．（2021 广元）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上一点（含端点A、B），过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EF＝BE，连接AF、BF．
（1）求证：△ABF∽△CBE；
（2）如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN．求∠PMN的度数及的值；
（3）在（2）的条件下，若BC＝，直接写出△PMN面积的最大值．
内化1-2．（2021 深圳模拟）（1）问题背景：如图1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，求证：△ABE∽△ACD；
（2）尝试应用：如图2，E为正方形ABCD外一点，∠BED＝45°，过点D作DF⊥BE，垂足为F，连接CF．求的值；
（3）拓展创新：如图3，四边形ABCD是正方形，点F是线段CD上一点，以AF为对角线作正方形AEFG，连接DE，BG．当DF＝1，S四边形AEDF＝5时，则BG的长为　　　　．
内化1-3．（2022 南山区育才三中一模）（1）【问题发现】
如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．
填空：
①线段CF与DG的数量关系为　　　　；
②直线CF与DG所夹锐角的度数为　　　　．
（2）【拓展探究】
如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．
（3）【解决问题】
如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为　　　　（直接写出结果）．
内化1-4．（2021 宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图①，连接BG、CF，求的值；
（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．
内化1-5．（2022 深圳联考）数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知△ABC中，AB＝AC＝m，BC＝n，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和β的度数与m、n、α的关系．
请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【问题发现】小明研究了α＝60°时，如图1，求出了的值和β的度数分别为＝　　　　，β＝　　　　；
小红研究了α＝90°时，如图2，求出了的值和β的度数分别为＝　　　　，β＝　　　　；
【类比探究】他们又共同研究了α＝120°时，如图3，也求出了的值和β的度数；
【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律：＝　　　　（用含m、n的式子表示）；β＝　　　　（用含α的式子表示）．
（2）求出α＝120°时的值和β的度数．
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