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第七章 随机变量及其分布
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
学案
一、学习目标
1. 通过实例理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值；
2. 理解离散型随机变量的均值的性质；
3. 会利用离散型随机变量的均值解决简单的实际问题.
二、基础梳理
1. 定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，
X …
P …
则称____________________________为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.
2. 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么__________.
3. 均值的性质：一般地，有_____________.
三、巩固练习
1.若离散型随机变量X的分布列如下表，则( )
X 0 1 2 3 4 5
P
A. B. C. D.
2.在掷一枚图钉的随机试验中，令若随机变量X的分布列如下表，则( )
X 0 1
P 0.3 p
A.0.21 B.0.3 C.0.5 D.0.7
3.随机变量X的分布列如下表，则( )
X 0 2 4
P 0.3 0.2 0.5
A.16 B.11 C.2.2 D.2.3
4.射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.8，若枪内只有3颗子弹，则他射击次数的数学期望是( )
A.0.8 B.0.992 C.1 D.1.24
5.甲、乙两工人在同样的条件下生产某产品，两人的日产量相等，每天出废品的情况如表所示：
工人 甲 乙
废品数 0 1 2 3 0 1 2 3
概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0
则下列结论正确的是( )
A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些
B.乙的产品质量比甲的产品质量好一些
C.两人的产品质量一样好
D.无法判断谁的产品质量好一些
6.已知随机变量和，其中，且.若的分布列如表所示，则m的值为( )
1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
7.已知，随机变量的分布列如下表，则当增大时，的期望的变化情况是( )
0 1
A.增大 B.减小
C.先增大后减小 D.先减小后增大
8.甲，乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察后，的分布列分别是
X 0 1 2 3
P 0.7 0.1 0.1 0.1
Y 0 1 2 3
P 0.5 0.3 0.2 0
据此判定( )
A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同 D.无法判定
9.随机变量X的分布列如表所示.
X -2 0 2
P a c
若数学期望，则___________.
10.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案，方案一：交纳延保金7 000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次后每次收取维修费2 000元；方案二：交纳延保金10 000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次后每次收取维修费1 000元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得到下表：
维修次数 0 1 2 3
台数 5 10 20 15
以这50台机器维修次数的频率作为1台机器维修次数发生的概率，记表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.
（1）求的分布列；
（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更划算
答案以及解析
基础梳理
；
巩固练习
1.答案：D
解析：.故选D.
2.答案：D
解析：易知，
所以，
所以.故选D.
3.答案：A
解析：由题意得，
故，
故选A.
4.答案：D
解析：记射击次数为随机变量X，则X的可能取值为1，2，3，
，
，
，
.
故选D.
5.答案：B
解析：由题知，甲生产废品的期望是，
乙生产废品的期望是，
所以甲生产废品的期望大于乙生产废品的期望，故乙的产品质量比甲的产品质量好一些.
故选B.
6.答案：A
解析：且，
即，
又，
，故选A.
7.答案：B
解析：由题意可知，所以当增大时，的期望减小，故选B.
8.答案：A
解析：，，由于，故甲比乙质量好.故选A.
9.答案：
解析：由已知得
解得
10.答案：（1）的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
，
，
，
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3 4 5 6
（2）若选择方案一，则所需费用的分布列为
7 000 9 000 11 000 13 000 15 000
(元).
若选择方案二，则所需费用的分布列为
10 000 11 000 12 000
(元).
，
该医院选择延保方案二更划算.

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