资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
垂美四边形
教学内容
1、对边平方和相等；
2、面积．
教学过程
考点一:对边平方和相等
诊断1．（2021 枣庄）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
理由如下：如图2，连接AC、BD，
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，
理由如下：
如图1中，
∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）如图3，连接CG、BE，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∵∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC3，
∵CG4，BE5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，
∴GE．
内化1-1．（2020 深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．
【解答】（1）证明：∵四边形AEFG为正方形，
∴AE＝AG，∠EAG＝90°，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠GAD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴BE＝DG；
（2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG，
理由如下：
∵∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAB＝∠GAD，
又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴BE＝DG；
（3）解：方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，
过点G作GN⊥AB交AB于点N，
由题意知，AE＝4，AB＝8，
∵，∴AG＝6，AD＝12，
∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN，∴△AME∽△ANG，
设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b，
∴ED2＝（2a）2+（12+2b）2＝4a2+144+48b+4b2，GB2＝（3a）2+（8﹣3b）2＝9a2+64﹣48b+9b2，
∴ED2+GB2＝13（a2+b2）+208＝13×4+208＝260．
方法二：如图2，设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P，
∵，AE＝4，AB＝8∴AG＝6，AD＝12．
∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，∴∠EAG＝∠BAD，∴∠EAB＝∠GAD，
∵，∴△EAB∽△GAD，
∴∠BEA＝∠AGD，
∴A，E，G，Q四点共圆，
∴∠GQP＝∠PAE＝90°，
∴GD⊥EB，
连接EG，BD，
∴ED2+GB2＝EQ2+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2，
∴EG2+BD2＝42+62+82+122＝260．
考点二:面积
诊断1．（2021 深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）如图所示，四边形A'B'C'D'即为所求；
（2）四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD4×14×3＝8．
内化1-1．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5，与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2．CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣5上，
∴，∴，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5，
（2）设H（t，t2﹣4t﹣5），
∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为﹣5，
∵E在抛物线上，∴x2﹣4x﹣5＝﹣5，∴x＝0（舍）或x＝4，
∴E（4，﹣5），∴CE＝4，
∵B（5，0），C（0，﹣5），∴直线BC的解析式为y＝x﹣5，
∴F（t，t﹣5），∴HF＝t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）＝﹣（t）2，
∵CE∥x轴，HF∥y轴，
∴CE⊥HF，
∴S四边形CHEFCE HF＝﹣2（t）2，
当t时，四边形CHEF的面积最大为．
当t时，t2﹣4t﹣510﹣5，
∴H（，）；
内化1-2．（2021 光明区二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），顶点为D，其对称轴直线x＝1交x轴于点P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，线段MN的两端点M，N都在抛物线上（点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧），且MN＝4，求四边形PMDN面积的最大值和此时点N的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为yx2﹣x﹣4；
（2）由抛物线的表达式知，点D（1，），
设四边形PMDN面积为S，
则S＝S△PDM+S△PDNPD（xN﹣xM）（xN﹣xM），
故当MN与轴平行时，此时MN＝4，S的面积最大，
则S＝9．
此时点M、N关于抛物线对称轴对称，则点N的横坐标为3，
当x＝3时，yx2﹣x﹣4＝﹣2.5，
故点N的坐标为（3，﹣2.5）；
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
垂美四边形
教学内容
1、对边平方和相等；
2、面积．
教学过程
考点一:对边平方和相等
诊断1．（2021 枣庄）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
内化1-1．（2020 深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．
考点二:面积
诊断1．（2021 深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；
（2）求四边形ABCD的面积．
内化1-1．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5，与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2．CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积．
内化1-2．（2021 光明区二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），顶点为D，其对称轴直线x＝1交x轴于点P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，线段MN的两端点M，N都在抛物线上（点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧），且MN＝4，求四边形PMDN面积的最大值和此时点N的坐标．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑