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第 4课时 离散型随机变量及其分布列(2)
知识技能
1．理解并运用离散型随机变量分布列的性质．
2．进一步求离散型随机变量的概率分布．
思想方法
体会转化化归思想在解决问题中的运用．
核心素养
在求解概率分布问题的过程中，发展逻辑推理和数学运算素养．
离散型随机变量分布列性质的运用；求离散型随机变量的概率分布．
问题导引
预习教材 P102～106，思考下面的问题：
1．通过上节课的学习，你认为如何用函数思想研究概率问题？
解 先引入随机变量的概念，建立起样本空间到实数集的对应关系，为随机
事件的表示带来方便；然后再引入分布列的概念，建立起随机变量取值与其概率
的对应关系．有了随机变量及其分布列的概念，就可以将不同背景的概率问题转
化为统一的数学问题．
2．离散型随机变量的分布列与样本频率分布有什么联系与区别？
解 联系：都是统计离散型随机变量各个取值的可能性大小．
区别：分布列呈现的是准确值(概率)，而样本频率分布呈现的是统计数据的
经验值(频率)；频率一般容易得到，通常用来代替随机变量分布列进行定量分析．
即时体验
1．盒中装有 6支白粉笔和 8支红粉笔，从中任意取出 3支，其中所含白粉
笔的支数 X的所有可能取值为__0,1,2,3__.
2．在某项考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得 100
分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能
取值是__300,100,－100,－300__.
提示 当答对 3道题时，ξ＝300；当答对 2道题时，ξ＝100；当答对 1道题
时，ξ＝－100；当答对 0道题时，ξ＝－300.
3 1．已知随机变量 X的分布列如下表所示，则 P(02
X 1 2 3 4
P 1 1 1 1
6 3 6 3
一、 复习回顾
1．离散型随机变量的概率分布
概率分布：P(X＝xi)＝pi,i＝1,2,…，n，或
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
2.随机变量的概率分布的性质
① pi≥0; ② p1＋p2＋…＋pn＝1.
利用这两个性质可以列出方程或不等式(组)求参数的值或范围．
3. 求概率分布的一般步骤
① 写出 X的所有可能取值；
② 求出 X取各个值的概率；
③ 按定义规范形式写出分布列(通常写出表格形式)．
二、 数学运用
例 1 若随机变量 X的分布列如下表所示，试求出常数 c.[1]
(见学生用书课堂本 P65)
X 0 1
P 9c2－c 3－8c
[处理建议] 从分布列的两条性质考虑列方程和不等式．
9c2－c＋3－8c＝1，
[规范板书] 解 由随机变量分布列的性质可知 0≤9c2－c≤1， 解
0≤3－8c≤1，
得 c 1＝ .
3
[题后反思] (1) 分布列的两个性质：①pi≥0, i＝1,2,…，n,这是由概率的非负
性所决定的；② p1＋p2＋…＋pn＝1，这是因为一次试验的各种结果是互斥的，
而全部结果之和为必然事件．
(2) 两个性质的应用：①检查写出的分布列是否正确；②在求分布列的某些
参数时，可通过列方程或不等式(组)求出参数．
1 k
设离散型随机变量ξ的分布列为 P(ξ＝k)＝a 3 (k＝1,2,3,4)，求实数
a的值．
[规范板书] 解 由已知，a>0，
由随机变量分布列的性质可知
1 1 1 2 1 3 1 4
a 3 81＋ 3 ＋ 3 ＋ 3 ＝1,解得 a＝ .
40
例 2 (教材 P105例 4)同时抛掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的
点数．设两颗骰子中出现的点数分别为 X1,X2,记 X＝max{X1,X2}．
(1) 求 X的概率分布；
(2) 求 P(2(见学生用书课堂本 P66)
[处理建议] 强调求概率分布的步骤，尤其是随机变量所有可能的取值情况．
[规范板书] 解 (1) 依题意易知抛掷两颗骰子出现的点数有36种等可能的
情况：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)．因而 X
的可能取值为 1,2,3,4,5,6,详见下表．
X的值 出现的点 样本点个数
1 (1,1) 1
2 (2,2)，(2,1)，(1,2) 3
3 (3,3)，(3,2)，(3,1)，(2,3)，(1,3) 5
4 (4,4)，(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,4)，(2,4)，(1,4) 7
5 (5,5)，(5,4)，(5,3)，(5,2)，(5,1)，(4,5)，(3,5)，(2,5)，(1,5) 9
(6,6)，(6,5)，(6,4)，(6,3)，(6,2)，(6,1)，(5,6)，(4,6)，(3,6)，
6 11
(2,6)，(1,6)
由古典概型可知 X的概率分布如下表所示．
X 1 2 3 4 5 6
P 1 3 5 7 9 11
36 36 36 36 36 36
(2) P(236 36 3
[题后反思] 对于(2)，由于 X只能在 1,2,3,4,5,6中取值，所以 2X＝3或 X＝4.又因为 X＝3与 X＝4互斥，所以 P(2即随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
在例 2中，求 2颗骰子出现较小点数 Y的概率分布．
[规范板书] 解 与例 2类似，通过列表可知：
P(Y＝1) 11＝ ，P(Y＝2) 9＝ ，
36 36
P(Y＝3) 7 5＝ ，P(Y＝4)＝ ，
36 36
P(Y 5) 3＝ ＝ ，P(Y 1＝6)＝ .
36 36
例 3 一批笔记本电脑共有 10台，其中 A品牌 3台，B品牌 7台．如果从
中随机挑选 2台，求这 2台电脑中 A品牌台数的分布列．[3]
(见学生用书课堂本 P66)
[处理建议] 先设出随机变量 X，分析 X所有可能取值．
[规范板书] 解 设挑选的 2台电脑中 A品牌的台数为 X，则 X的可能取值
为 0,1,2.根据古典概型的知识，可得 X的分布列为
C03C2 1 1P(X 0) 7 7 C3C7 7＝ ＝ 2 ＝ ，P(X＝1)＝ 2 ＝ ，C10 15 C10 15
C32C0P(X＝2)＝ 7 12 ＝ .C10 15
故随机变量 X的分布列为
X 0 1 2
P 7 7 1
15 15 15
[题后反思] 求离散型随机变量X的分布列的关键是弄清X每一个值对应的
随机事件，进一步利用古典概型及排列、组合知识求出 X取每一个值的概率．
为检测某产品的质量，现抽取 5件产品，测量产品中微量元素 x, y
的含量(单位：毫克)，测量数据如下：
编号 1 2 3 4 5
x 169 178 166 177 180
y 75 80 77 70 81
如果产品中的微量元素 x, y满足 x≥177且 y≥79时，该产品为优等品．
现从上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2件产品中优等品数 X的
分布列．
[规范板书] 解 根据题意，产品中的微量元素 x, y满足 x≥177且 y≥79时，
该产品则为优等品．只有编号为 2与 5的抽测品是优等品，所以 5件抽测品中有
2件优等品，则 X的可能取值为 0, 1, 2.
2 1 1
P(X＝0) C3＝ 2＝0.3, P(X＝1)
C3C2
＝ 2 ＝0.6,C5 C5
2
P(X C＝2)＝ 22＝0.1.C5
故优等品数 X的分布列为
X 0 1 2
P 0.3 0.6 0.1
1
袋中装有黑球和白球共 7个，从中任取 2个球都是白球的概率为 .
7
现在甲、乙两人从袋中轮流摸取 1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不
放回，直到两人中有一人取到白球时停止．每个球在每一次被取出的机会是等可
能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数．
(1) 求袋中原有白球的个数；
(2) 求随机变量ξ的概率分布；
(3) 求甲取到白球的概率．
n n－1
2
[规范板书] 解 (1) 1 C 2设袋中原有 n 个白球，由题意知 ＝ n
7 C72
＝ ＝
7×6
2
n n－1
，所以 n(n－1)＝6，解得 n＝3(n＝－2舍去)，即袋中原有 3个白球．
7×6
(2) 由题意，ξ的可能取值为 1,2,3,4,5.
P ξ 4 3( 1) 3 × 2＝ ＝ ，P(ξ＝2)＝ ＝ ，
7 7×6 7
P(ξ 3) 4×3×3 6＝ ＝ ＝ ，P(ξ＝4) 4×3×2×3 3＝ ＝ ，
7×6×5 35 7×6×5×4 35
P(ξ 5) 4×3×2×1×3 1＝ ＝ ＝ .
7×6×5×4×3 35
所以取球次数ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P 3 2 6 3 17 7 35 35 35
(3) 因为甲先取，所以甲只可能在第 1次、第 3次和第 5次取球．记“甲取
到白球”为事件 A，则 P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ 5) 3 6 1 22＝ ＝ ＋ ＋ ＝ .
7 35 35 35
例 4 设离散型随机变量 X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：(1) 2X＋1的分布列；(2) |X－1|的分布列．[4]
[处理建议] 引导学生观察新变量与原变量的关系．
[规范板书] 解 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得 m＝
0.3.
首先列表为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
|X－1| 1 0 1 2 3
从而由上表得两个分布列为
(1) 2X＋1的分布列：
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2) |X－1|的分布列：
|X－1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
[题后反思] 求离散型随机变量 Y＝f(X)的分布列的一般步骤：(1)明确随机
变量 X的分布列；(2)弄清 X取每一个值时对应的 Y的取值，再把 Y所取相同的
值所对应的事件的概率相加，得出 Y值所对应的概率值；(3)列出概率分布表，
即得 Y的分布列．
三、 课堂练习
1．(多选)如果 X是一个离散型随机变量，那么下列命题中正确的是(ABC)
A. X取每个可能值的概率是非负数
B. X取每个可能值的概率之和为 1
C. X取某 2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D. X取某 2个可能值的概率大于分别取其中每个值的概率之和
2．已知离散型随机变量ξ的分布列如下表：
ξ 1 2 3 4
P 1 3 110 10 p 10
则 p等于(D)
A. 1 B. 1
10 5
C. 2 D. 1
5 2
1 3 1 1
提示 由 ＋ ＋p＋ ＝1，解得 p＝ .
10 10 10 2
3．若随机变量 ξ的所有可能取值为 1,2,3,4,5,且 P(ξ＝ k)＝ ck，则 c＝
1 ,P(2≤ξ≤4) 3＝ .
15 5
提示 由已知有 c＋2c＋3c＋4c＋5c＝1 c 1，解得 ＝ ，故 P(2≤ξ≤4) 2＝ ＋
15 15
3 4 3
＋ ＝ .
15 15 5
4. 若随机变量 X服从两点分布，且 P(X＝1)＝0.2, Y＝3X－2，则 P(Y＝－2)
＝__0.8__.
提示 由题意知 P(X＝0)＝0.8. Y＝－2，则 X＝0，所以 P(Y＝－2)＝P(X＝0)
＝0.8.
5．从含有 2名女生的 10名高二学生中任选 3人进行某项社会实践活动，记
7
女生入选的人数为 X，则 X的所有可能取值为__0,_1,2__,_P(X＝1)＝ .
15
1 2
提示 P(X 1) C2C8 7＝ ＝ 3 ＝ .C10 15
四、 课堂小结
1．离散型随机变量的分布列的性质．
2．求离散型随机变量的分布列的关键点：(1)确定随机变量的取值；(2)求每
一个取值所对应的概率；(3)检验所有概率之和是否为 1.
3．易错点：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误.
[1] 巩固分布列性质的应用．
[2] 进一步巩固离散型随机变量的概率分布．
[3] 进一步巩固如何求离散型随机变量的分布列．
[4] 了解两个相关随机变量的分布列的求法．

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