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第 5课时 离散型随机变量的均值
知识技能
1．通过实例，理解取有限值的离散型随机变量的均值(数学期望)的概念和
意义．
2．能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望)，并能解决一些实际问题．
思想方法
从样本平均数到离散型随机变量的均值，感受类比思想；通过均值的实际应
用，培养学生的数学应用意识．
核心素养
1．在对离散型随机变量的均值意义理解的过程中，发展数学抽象素养．
2．通过对离散型随机变量的均值的计算及在决策中的应用，发展数学运算
及数据分析素养．
重点：离散型随机变量的均值的理解及应用．
难点：离散型随机变量的均值在实际问题中的应用．
问题导引
预习教材 P107～110，思考下面的问题：
1．在必修第二册“统计”一章中，已知取值为 x1,x2,…，xn的频率分别为
p1,p2,…，pn，如何计算样本的平均数？
解 x1p1＋x2p2＋ … ＋xnpn，其中 pi的值为 xi的频率值．
2．如何计算离散型随机变量的均值(数学期望)
解 E(X)＝x1p1＋x2p2＋ … ＋xnpn，其中，pi≥0，i＝1,2,…，n,p1＋p2＋…＋
pn＝1.
3．随机变量的均值与样本平均数有什么区别？
解 对于确定的随机现象，均值(数学期望)都是确定的实数，它们没有随机
性；而对于不同的样本，其平均数不一定相同．
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)：
(1) 随机变量的数学期望是一个确定的数；(√)
(2) 随机变量的数学期望反映了随机变量取值的波动情况；(×)
(3) 随机变量的均值反映了样本的平均水平；(×)
(4) 若随机变量 X服从两点分布，则 E(X)＝P(X＝1)．(√)
2．已知 X的分布列如下表所示，那么 E(X)＝__－0.3__.
X －1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
提示 E(X)＝(－1)×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3.
一、 问题情境
某种福利彩票每张面值 2元，购买者可从 0,1,2,…， 9这十个数字中选择 3
个数字(可以重复)．当所选 3个数字与随机摇出的开奖号码数字及顺序均相同时，
可以获得 500元奖金．如果你长期购买这种彩票，那么你的收益状况如何？[1]
分析：要了解长期收益情况，也就是要确定在购买很多次这种彩票的前提下，
平均每张彩票的收益金额．因为从 0,1,2,…，9这十个数字中选择 3个数字(可以
重复)，共有 1000 1种抽法，所以购买一张彩票的获奖概率为 .
1000
根据条件可知，若设随机变量 X为购买一张彩票时的中奖金额，则其概率
分布如下表所示：
X 0 500
P 0.999 0.001
也就是说，在购买很多张彩票的前提下，平均来说，每 1000张彩票中有且
只有 1 500张中奖，即中奖总金额为 500元．因此，平均每张彩票的中奖金额为
1000
＝0.5元，即购买一张彩票的平均收益为 0.5元．
二、 数学建构
1．离散型随机变量的均值或数学期望
“问题情境”中的 0.5也可以由下面的式子求得：
0．5＝0×0.999＋500×0.001.
类比必修第二册“统计”一章中求样本平均数的方法( x—＝x1p1＋x2p2＋ …
＋xnpn，其中 pi为 xi的频率值)，可以得到，
一般地，离散型随机变量 X的概率分布如下：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
其中，pi≥0,i＝1,2,…，n,p1＋p2＋…＋pn＝1，则称 x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为随
机变量 X的均值或数学期望，记为 E(X)或μ.即
E(X)＝x1p1＋x2p2＋ … ＋xnpn.
数学期望(均值)是随机变量的一个重要数字特征，它是随机变量可能取值关
于取值概率的加权平均数，综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变
量取值的平均水平或分布的“集中趋势”．均值在实际生活中有着广泛的应用，
如通过均值进行估计、比较均值选择方案等．[2]
巩固概念：甲、乙两名工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产
100件产品所出的不合格品数分别用 X1,X2表示，X1,X2的概率分布如表所示．问：
如何比较甲、乙两名工人的技术？
X1 0 1 2 3
pk 0.7 0.1 0.1 0.1
X2 0 1 2 3
pk 0.5 0.3 0.2 0
解答如下：
E(X1)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，
E(X2)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
由于 E(X1)讲，甲的技术比乙的技术好．
2.两点分布的数学期望
如果随机变量 X～两点分布：
X 0 1
P 1－p p
那么 E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
3．离散型随机变量的均值的性质
如果 X是一个离散型随机变量，将 X进行平移(X＋b)或伸缩(aX)后，其均值
会发生变化．
设 X的概率分布如下表：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
根据随机变量均值的定义，
E(X＋b)＝(x1＋b)p1＋(x2＋b)p2＋ …
＋(xn＋b)pn
＝(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)
＋b(p1＋p2＋…＋pn)
＝E(X)＋b.
类似地，可以证明 E(aX)＝aE(X)．
一般地，有下面的结论：
E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
三、 数学运用
例 1 抛掷一颗质地均匀的骰子，设出现的点数为 X，求 X的均值．[3]
(见学生用书课堂本 P67)
[处理建议] 先求出 X的分布列，再根据定义计算 X的均值．
[规范板书] 解 X的概率分布为
X 1 2 3 4 5 6
P 1 1 1 1 1 1
6 6 6 6 6 6
1
因此，E(X)＝ (1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5.
6
[题后反思] 求离散型随机变量的均值一般分为四步：(1)确定 X的可能取值；
(2)计算出 P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用 E(X)的计算公式计算 E(X)．其中正
确写出分布列是求均值的关键．
袋中有 4只红球、3只黑球，今从袋中随机取出 4只球，设取到一
只红球得 2分，取到一只黑球得 1分，试求得分 X的均值．
[规范板书] 解 取出 4 只球颜色及得分分布情况是：4 红得 8 分，3 红 1
黑得 7分，2红 2黑得 6分，1红 3黑得 5分，因此，
1
P(X＝5) C＝ 4C
33 4 2 2
4 ＝ ， P(X＝6)
C4C＝ 3 18＝ ，
C7 35 C74 35
3 1
P(X＝7) C C＝ 4 3 12＝ ， P(X＝8) C＝ 4
4C03 1
4 ＝ .C7 35 C74 35
故 X的分布列如下：
X 5 6 7 8
P 4 18 12 1
35 35 35 35
E(X) 5 4 6 18 12＝ × ＋ × ＋7× ＋8 1 44× ＝ (分)．
35 35 35 35 7
[题后反思] 均值(数学期望)是随机变量的一个重要的数字特征，它反映了
随机变量取值的平均水平，因此，随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单
位．
某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量 X，其概率分布如
下表所示，均值 E(X)＝2，则 ab 1＝ .
18
X 0 3 6
P 12 a b
[处理建议] 利用分布列的性质以及均值的计算公式建立方程组求解．
1
1 a＝ ，a＋b＝ ， 3
[规范板书] 解 根据题意可得方程组 2 解得 1 从
3a＋6b＝2， b＝ ，6
而 ab 1＝ .
18
例 2 (教材 P109例 2)在一个人数很多的地区普查某种疾病，由以往经验知
道，该地区居民得此病的概率为 0.1%.现有 1000人去验血，给出下面两种化验方
法．
方法 1：对 1000人逐一进行化验；
方法 2：将 1000人分成 100组，每组 10 人．对于每个组，先将 10人的血
各取出部分，并混合在一起进行一次化验，如果呈阴性，那么可断定这 10人均
无此疾病；如果结果呈阳性，那么再逐一化验．
试问：哪种方法较好？[4]
(见学生用书课堂本 P68)
[处理建议] 引导学生选择合适的评判标准，即选择怎样的随机变量来刻画
检测方法的优劣．
[规范板书] 解 第 1种方法的化验次数为 1000.
第 2种方法：如果一组的混合血液化验结果是阴性的，就可以断定这 10个
人均无此疾病，那么这 10个人只需化验 1次．
如果结果呈阳性，那么必须对这 10个人逐个分别化验，这时对这 10个人共
需进行 11次化验．因为对所有人来说，化验结果呈阳性的概率均为 0.001，而且
这些人的化验结果是相互独立的，所以每个人的化验次数 X的概率分布如下表
所示．
X 1 11
10 10
P (1－0.001)10 1－(1－0.001)10
所以，每个人化验次数 X的均值为
E(X) 1＝ ×(1－0.001)10 11＋ ×[1－(1－0.001)10]．
10 10
故 1000个人的化验次数的均值为
1
× 1－0.001 10 11＋ ×[1－ 1－0.001 10]
1000× 10 10
＝1100－1000×0.99910≈110.
所以，方法 2远好于方法 1.
[题后反思] (1) 对于第 2种化验方法，关键是求出每个人化验次数的均值，
从而得到 1000个人化验次数的均值．(2)解答此类实际应用题的步骤：①把实际
问题概率模型化；②确定分布列，计算随机变量的均值；③利用所得数据，对实
际问题做出判断．
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利
润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，
保修期均为 2年，先从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50辆，统计数据
如下：
品 牌 甲 乙
首次出现故障时间 x/年 0＜x≤1 1＜x≤2 x＞2 0＜x≤1 x＞2
轿车数量/辆 2 3 45 5 45
每辆利润/万元 1 2 3 1.8 2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1) 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保
修期内的概率；
(2) 若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1，生产
一辆乙品牌轿车的利润为 X2，分别求 X1，X2的分布列；
(3) 该厂预计今后这两种品牌轿车销售量相当，由于资金限制，只能生产其
中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？
说明理由．
[规范板书] 解 (1) 设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事
件 A，则 P(A) 2＋3 1＝ ＝ .
50 10
(2) 依题意得，X1的分布列为
X1 1 2 3
P 1 3 9
25 50 10
X2的分布列为
X2 1.8 2.9
P 1 9
10 10
(3) 由(2)得 E(X1)＝1 1 3 9× ＋2× ＋3× ＝2.86(万元)，
25 50 10
E(X 1 92)＝1.8× ＋2.9× ＝2.79(万元)．
10 10
因为 E(X1)＞E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．
例 3 人寿保险中(某一年龄段)，在 1年的保险期内，每个被保险人需交纳
保险费 a元，被保险人意外死亡则保险公司赔付 3万元，出现非意外死亡则赔付
1万元．经统计此年龄段 1年内意外死亡的概率是 p1，非意外死亡的概率是 p2，
则 a需要满足什么条件，保险公司才能盈利？
[规范板书] 解 设 X为盈利数，其分布列为
X a a－30000 a－10000
P 1－p1－p2 p1 p2
E(X)＝a(1－p1－p2)＋(a－30000)p1＋(a－10000)p2
＝a－30000p1－10000p2.
要盈利，至少需使 X 的数学期望大于 0,由 a－30000p1－10000p2>0,故
a>30000p1＋10000p2.
四、 课堂练习
1．已知离散型随机变量 X的分布列为
X 1 2 3
P 3 3 1
5 10 10
则 X的数学期望 E(X)等于(A)
A. 3 B. 2
2
C. 5 D. 3
2
2．已知离散型随机变量 X的概率分布如下表：
X －1 0 1 2
P 0.2 0.3 0.3 0.2
则 E(X＋1)＝__1.5__,E(2X)＝__1__.
3．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利 50元，生产一件乙
等品可获利 30元，生产一件次品会亏损 20元．已知这台机器生产甲等品、乙等
品和次品的概率分别为 0.6, 0.3和 0.1，则这台机器每生产一件产品的平均预期收
入为__37__元．
提示 50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)．
4．口袋中装有 5个球，编号分别为 1,2,3,4,5，从中任取 3个球，以ξ表示取
出球的最大号码，求 E(ξ)．
解 由题意知ξ的可能取值为 3,4,5,且 P(ξ＝3)＝0.1,P(ξ＝4)＝0.3,P(ξ＝5)＝
0.6，故 E(ξ)＝3×0.1＋4×0.3＋5×0.6＝4.5.
五、 课堂小结
1．离散型随机变量的均值(数学期望)计算公式及其意义．
2．离散型随机变量均值的性质：E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
3．会用均值对实际问题做出正确的分析.
[1] 在进行分析时，要让学生感受到是从“长期购买”彩票的前提下，得奖
与不得奖的“概率”的角度思考问题的．这就要把一次购买的随机性与长期购买
时频率的趋势的稳定性之间的关系理解清楚．
[2] 教学中不要把如何计算均值、方差作为教学的重点，而应关注对其本质
的理解以及均值、方差在解决实际问题中的作用.
[3] 利用定义求离散型随机变量的均值.
[4] 本例是均值的实际应用，运用所学的知识解决实际问题，增强学好概率
知识的兴趣．

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