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第 8课时 二项分布(2)
知识技能
1．掌握二项分布的均值、方差的计算公式，并能用其解决一些简单的问题．
2．进一步理解 n次独立重复试验的模型及二项分布的特点，能解决一些较
综合的问题．
思想方法
结合实例，完善对解决问题过程的认识，培养学生把实际问题抽象成数学问
题的能力和学以致用的数学应用意识．
核心素养
1．在运用二项分布模型解决问题的过程中，发展数学建模素养．
2．在运用相关公式求概率的过程中，发展数学运算素养．
二项分布的数字特征及二项分布的综合应用．
问题导引
预习教材 P116～117，思考下面的问题：
1．回顾：什么是二项分布？二项分布与二项式定理之间有什么联系？
2．确定一个二项分布模型的步骤有哪些？
解 其步骤如下：(1)明确伯努利试验及事件 A的意义，确定事件 A发生的
概率 p；(2)确定重复试验的次数 n，并判断各次试验的独立性；(3)设 X为 n次独
立重复试验中事件 A发生的次数，则 X～B(n,p)．
3．如何求二项分布的均值、方差？
即时体验
1．如果随机变量 X～B(n,p)，那么 E(X)＝__np__,D(X)＝__np(1－p)__,σ＝
np 1－p .
2．若在一次试验中事件 A出现的概率为 p，则在 n次试验中 A 出现 k次的
概率为__Ckn(1－p)kpn－k__.
提示 设在 n次试验中 A 出现 X次，则 X～B(n，1－p)，故 P(X＝k)＝Ckn(1
－p)kpn－k.
3．某射手射击 1次，命中 10环的概率为 0.7，命中 9环的概率为 0.3，则该
射手射击 3次得到不少于 29环的概率为__0.784__.
提示 记事件 A为“射击 3次得到不少于 29环”，则 A有两种情况：①射
击 3次得到 30环；②射击 3次得到 29环．故 P(A)＝C33×0.73＋C23×0.72×0.3＝
0.784.
一、 问题情境
“三个臭皮匠能顶一个诸葛亮”吗？
刘备帐下以诸葛亮为首的智囊团共有 3名谋士(不包括诸葛亮)，假定对某事
进行决策时，每名谋士贡献正确意见的概率为 0.7，诸葛亮贡献正确意见的概率
为 0.9.现为某事可行与否而分别征求智囊团每名谋士的意见，并按智囊团中过半
数人的意见做出决策，这样做出正确决策的概率与诸葛亮做出正确决策的概率谁
大？
分析 用随机变量 X 表示贡献正确意见的人数，由二项分布可知 X～
B(3,0.7)．若按智囊团中过半数人的意见做出决策，则要有 2个及以上的人提供
正确意见才能算胜算．故 C23×0.72×0.31＋C33×0.73×0.30＝0.441＋0.343＝0.784.
因为 0.784＜0.9，所以三个臭皮匠顶不上一个诸葛亮．
二、 数学建构
1．含有“至少”“至多”的二项分布问题
对于解决“至少”“至多”情形的概率问题，需要对事件进行拆分或考虑对
立事件，然后就每个事件依据 n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事
件的概率加法公式计算．
2．二项分布的数字特征
对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布外，我们自然关心它的均
值和方差等数字特征．
设 X～B(n,p)，则
(1) X的均值为 E(X)＝np；
(2) X的方差为 D(X)＝np(1－p)，标准差σ＝ np 1－p .
下面对均值计算公式进行证明：
由 X～B(n,p)知 X的分布列：
X 0 1 2 … n
P C0qn C1 －npqn 1 C2p2qn－2n n … Cnnpn
得 E(X)＝0×Cn0qn＋1×C1npqn－1＋2×Cn2p2qn－2＋…＋nCnnpn.
－
因为 kCkn＝nCkn 1－1，
所以 E(X)＝np(C0 qn－1＋C1 pqn－2＋…＋Cn－ －n 1 n 1 n 11pn 1－ － － )＝np(p＋q)n－1＝np.
3．二项分布的综合运用
二项分布与统计的综合运用是高考重要的考点，熟练运用必修统计、概率的
知识综合解决问题．
三、 数学运用
例 1 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率是 0.8,且各次射
击的结果互不影响．
(1) 求该射手在 5次射击中，恰有 3次击中目标的概率；
(2) 求该射手在 5次射击中，至少有 4次击中目标的概率．[1]
(见学生用书课堂本 P73)
[规范板书] 解 用随机变量ξ表示击中目标的次数，则ξ～B(5, 0.8)．
(1)“ξ＝3”的概率为 P(ξ＝3)＝C35×0.83×(1－0.8)2＝0.2048.
(2)“ξ≥4”的概率为
P(ξ≥4)＝C54×0.84×(1－0.8)1＋C55×0.85×(1－0.8)0
＝0.4096＋0.32768＝0.73728.
[题后反思] (1)随机变量服从二项分布，即可套用概率公式；(2)对于解决“至
少”“至多”情形的概率问题，需要对事件进行拆分或考虑对立事件，由互斥事件
的概率加法公式和对立事件概率公式进行加法或减法运算．
某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率是 0.8,且各次
射击的结果互不影响．
(1) 求该射手在 5次射击中，至少有 2次击中目标的概率；
(2) 求该射手在 3次射击中，至少有 2次连续击中目标的概率；
(3) 求该射手在第 3次射中目标时，恰好射击了 4次的概率．
[规范板书] 解 (1) 设随机变量ξ表示射手击中目标的次数，“ξ≥2”的概
率为 P(ξ≥2)＝1－P(ξ≤1)＝1－＝0.99328.
(2) 由概率的加法公式和乘法公式得，所求概率为 0.83＋0.82×0.2＋0.2×0.82
＝0.768.
(3) 由题意知前 3次射击中有 2次击中目标，第 4次射击击中目标，因此，
所求概率为(C230.82×0.2)×0.8＝0.3072.
例 2 已知一批产品的次品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放
回地抽取 50次，用 X表示抽到的次品数，求 E(X)，D(X)．[2]
(见学生用书课堂本 P73)
[处理建议] 引导学生先判断二项分布模型，再直接运用公式求解．
[规范板书] 解 由题意知 X 服从参数为 50, 0.02 的二项分布，即 X～
B(50,0.02)，所以
E(X)＝np＝50×0.02＝1，
D(X) ＝np(1－p)
＝50×0.02×(1－0.02)＝0.98.
[题后反思] 在运用二项分布的均值、方差公式时，关键是准确找到 n,p的
值．
从装有除颜色外完全相同的 3个白球和 m个黑球的布袋中随机摸
取一球，有放回地摸取 5次．设摸得白球数为 X，已知 E(X)＝3，求 D(X)．
[处理建议] 先根据二项分布的均值求出 m，再由二项分布的方差公式求解．
5 3，
[ 3规范板书] 解 由题意知，X～B m＋3 ，所以 E(X)＝5× ＝3，解
m＋3
5 3 3， 1－
得 m＝2, 3 6从而 X～B 5 ，故 D(X)＝5× × 5 ＝ .
5 5
例 3 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率直
方图，如图所示．
(例 3)
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1) 求在未来连续 3天里，有连续 2天的日销售量都不低于 100个且另一天
的日销售量低于 50个的概率；
(2) 用 X表示在未来 3天里日销售量不低于 100个的天数，求随机变量 X的
分布列、数学期望 E(X)及方差 D(X)．[3]
(见学生用书课堂本 P74)
[处理建议] 由频率直方图可求出相关事件的概率，再由相互独立事件的概
率乘法公式求出相应的概率．第(2)问要引导学生正确分析出随机变量 X服从二
项分布．
[规范板书] 解 (1) 设 A1表示事件“日销售量不低于 100个”，A2表示事
件“日销售量低于 50个”，B表示事件“在未来连续 3天里有连续 2天日销售
量不低于 100个且另一天的日销售量低于 50个”．因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6.
P(A2)＝0.003×50＝0.15.
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2) X的可能取值为 0, 1, 2, 3.由题意知 X～B(3, 0.6)，相应的概率为
P(X＝0)＝C03·(1－0.6)3＝0.064,
P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288,
P(X＝2)＝C32·0.62(1－0.6)＝0.432,
P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216.
因此，X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为 X～B(3, 0.6)，所以 E(X)＝3×0.6＝1.8, D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
[题后反思] 利用二项分布解决实际问题的关键是建立二项分布模型，解决
这类问题时要看随机试验是不是 n重伯努利试验，随机变量是不是在这 n重伯努
利试验中某事件发生的次数．
为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园环境噪音值(单位：
分贝)进行了 50天的监测，得到如下统计表：
环境噪音 (55, 57] (57, 59] (59, 61] (61, 63] (63, 65] (65, 67]
值
(单位：分
贝)
频 数 1 4 12 20 8 5
(1) 根据该统计表，求这 50天校园噪音值的样本平均数(同一组的数据用该
组的组中值作代表)．
(2) 若环境噪音值超过 65分贝，视为重度噪音污染，环境噪音值不超过 59
分贝，视为轻度噪音污染，把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：
① 求周一到周五的 5天中恰有 2天校园出现重度噪音污染而其余 3天都是
轻度噪音污染的概率．
② 学校要举行为期 3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这 3天校园出
现的重度噪音污染天数记为 X，求 X的分布列和方差 D(X)．
[规范板书] 解 (1) 由数据可知样本平均数为
56×1＋58×4＋60×12＋62×20＋64×8＋66×5
50
＝61.8(分贝)．
(2) 1①由题意，出现重度噪音污染的概率为 ，出现轻度噪音污染的概率为
10
1 .
10
设事件 A为“周一至周五的 5天中恰有 2天校园出现重度噪音污染而其余 3
1 2 1 3
1
天都是轻度噪音污染”，则 P(A)＝C52 10 10 ＝ .
10000
3 1，
② 由题意，得 X～B 10 ，于是随机变量 X的分布列为
1 k 9 3－k,
P(X＝k)＝C3k 10 10 k＝0, 1, 2, 3.
所以 D(X)＝np(1－p)＝0.27.
四、 课堂练习
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 4次，X表示“正面朝上”出现的次数，
则 E(X)＝__2__,D(X)＝__1__.
提示 由题意知 X～B(4,0.5), E(X)＝4×0.5＝2, D(X)＝4×0.5×(1－0.5)＝1.
2．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 0.80.现有 5人接种该疫苗，至少
有 3人出现发热反应的概率为__0.94__. (结果精确到 0.01)
提示 P＝C35×0.83×0.22＋C45×0.84×0.2＋C55×0.85≈0.94.
3．(多选)下列说法中正确的是(ABC)
6 1，
A. 设随机变量 X～B 2 ，则 P(X 5＝3)＝
16
B. 1一批产品中，次品率为 ，现有放回地连续抽取 4次，若抽取的次品件数
4
X D(X) 3记为 ，则 的值为
4
C. 两点分布是当 n＝1时的一类特殊的二项分布
D. E(2X＋1)＝2E(X)＋1,D(2X＋1)＝2D(X)＋1
4 3．某一中学心理咨询中心服务电话接通率为 ，某班 3名同学商定明天分别
4
就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数 X
的分布列，并求 E(X)．
3 3，
解 由题意可知 X～B 4 ，
3 k 1 3－k
所以 P(X＝k)＝C3k× 4 × 4 , k＝0, 1, 2, 3，
3 0 1 3
即 P(X＝0)＝C0 13× 4 × 4 ＝ ，
64
1 2
P(X＝1) 3 9＝C13× × 4 ＝ ，
4 64
3 2
P(X＝2)＝C2 1 273× 4 × ＝ ，
4 64
3 3
P(X 3) 27＝ ＝C33× 4 ＝ .
64
因此，X的分布列为
X 0 1 2 3
P 1 9 27 27
64 64 64 64
方法 1 E(X)＝0 1 9 27 27 9× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .
64 64 64 64 4
3 3，
方法 2 因为 X～B 4 3 9，所以 E(X)＝3× ＝ .
4 4
五、 课堂小结
1．二项分布的数字特征： 设 X～B(n,p)，则 E(X)＝np, D(X)＝np(1－p), σ＝
np 1－p .
2．综合问题的求解：结合古典概型及其性质、统计知识，判断随机变量服
从二项分布.
[1] 巩固二项分布概率模型的理解．随机变量满足 n次独立重复试验的条件：
①相同条件；②多次重复；③各次之间相互独立．
[2] 巩固二项分布的均值、方差的求法．
[3] 本例是二项分布与统计知识等的综合应用.

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