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第 9课时 超几何分布
知识技能
1．理解超几何分布，并能解决一些简单的实际问题．
2．掌握超几何分布的均值计算公式．
3．了解超几何分布与二项分布的区别与联系．
思想方法
1．通过对实例的研究， 经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性
的认知过程．
2．渗透类比思想(二项分布与超几何分布的区别与联系)．
核心素养
1．通过对超几何分布的理解，发展数学抽象素养．
2．在建立超几何分布概率模型的过程中，发展数学建模素养．
3．在运用相关公式求概率及均值的过程中，发展数学运算素养．
超几何分布的理解与应用．
问题导引
预习教材 P119～121，思考下面的问题：
1．若随机变量 X～H(n,M,N)，则参数 n,M,N的含义分别是什么？
2．超几何分布与二项分布有什么区别与联系？
即时体验
1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)：
(1) 超几何分布问题是有放回抽样问题，二项分布问题是不放回抽样问题；
(×)
(2) 超几何分布问题的总体分为两类；(√)
(3) 超几何分布与二项分布有联系．(√)
2. 若随机变量 X～H(n,M,N) nM，则 E(X)＝ .
N
3．一批产品共 10件，有 3件是次品，从中任取 3件，则抽到 1件次品的概
21
率是 .
40
一、 问题情境
一批产品共 100件，其中有 5件不合格品，分别采用有放回和不放回的方式
随机抽取 10件．设抽取的 10件产品中不合格品数为 X，求随机变量 X的分布列．
分析 1：如果采用有放回抽样，则每次抽到不合格品的概率为 0.05，且各次
抽样的结果相互独立，此时 X服从二项分布，即 X～B(5,0.05)．从而 X的分布列
易求．
问题：如果采用不放回抽样，那么抽取的 10件产品中不合格品数 X是否也
服从二项分布？此时如何求 X的分布列？
分析 2：采用不放回抽样，虽然每次抽到不合格品的概率都是 0.05，但每次
抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合 n重伯努利试验的
特征，因此 X不服从二项分布．此时可根据古典概型求 X的分布列．
二、 数学建构
1．超几何分布
从 100件产品中随机抽取 10件有 C 11000个等可能的结果，{X＝2}表示随机事
件“取到 2件不合格品和 8件合格品”，依据分步计数原理知有 C52C 895个等可能
的结果，根据古典概型，得
2 8
P(X 2) C5C95＝ ＝
C110
.
00
类似地，可以求得 X取其他值时对应的随机事件的概率，从而得不合格品
数 X的分布列如下：
X 0 1 2 3 4 5
C50C9105 C51C995 C52C895 C53C7P 95 C5
4C965 C55C595
C11000 C11000 C11000 C11000 C11000 C11000
对一般情形，一批产品共有 N件，其中有 M件不合格品，随机取出的 n件
产品中，不合格品数 X的分布列如下：
X 0 1 2 … l
P C
0 － － －MCnN M C1MCNn 1M C2MCnN 2M CMl CNn l－ － － … －M
CNn CNn CNn CnN
其中，l＝min{n, M }．
一般地，若一个随机变量 X的分布列为
r n－r
P(X＝r) CMCN M＝ － ，
CnN
其中 r＝0,1,2,3,…，l,l＝min{n,M},则称 X服从超几何分布，记为 X～H(n,M,N)，
CrP(X r) MC
n－N r
并将 ＝ ＝ －
M
记为 H(r; n, M, N)．
CNn
理解概念：
(1) 明确各参数的含义：N：总体中的个体总数；M：不合格品总数；n：样
本容量；r：样本中不合格品数．
(2) 超几何分布的特征：①超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量
为抽到的某类个体的个数；②考察类型分两类，已知各类对象的个数；③超几何
分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
(3) 超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用
公式求解，但不能机械地记忆公式，要理解公式的意义．
巩固概念：
(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的是(CD)
A. 抛掷三颗骰子，记所得向上的点数是 5的骰子的个数为 X
B. 有一批种子的发芽率为 70%，任取 10颗种子做发芽实验，记实验中发芽
的种子的个数为 X
C. 某班有男生 25人、女生 20人，选派 4名学生参加学校组织的活动，其
中女生人数记为 X
D. 盒子中有红球 3个、黄球 4个、蓝球 5个，任取 3个球，记不是红色的
球的个数为 X
解析 A、 B中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．C、
D符合超几何分布的特征，样本分为两类，随机变量 X表示抽取 n件样本某类样
本被抽取的件数．
2．超几何分布的数学期望
一般地，当 X～H(n, M, N)时，
E(X) nM＝错误!Pk＝ ，
N
其中 l＝min{n, M}．
3. 超几何分布与二项分布的区别与联系
区 别 联 系
假设一批产品共有 N件，其中有 M件次
品．从 N件产品中随机抽取 n件，用 X
二项分布和超几何分布都可以描述随机
表示抽取的 n件产品中的次品数，若采
抽取的 n件产品中次品数的分布规律，
用有放回抽样的方法抽取，则随机变量
并且二者的均值相同．对于不放回抽样，
X服从二项分布，即 X～
当 n远远小于 N时，每抽取一次后，对
p M其中 ＝
B(n,p) N N的影响很小，超几何分布可以用二项；若采用不放回抽样
X 分布近似(如例 2(3))的方法抽取，则随机变量 服从超几何
分布
三、 数学运用
例 1 (教材 P120例 1)生产方发出了一批产品，产品共 50箱，其中误混了 2
箱不合格产品．采购方接收该批产品的标准是：从该批产品中任取 5箱产品进行
检测，若至多有 1箱不合格产品，则接收该批产品．问：该批产品被接收的概率
是多少？[1]
(见学生用书课堂本 P75)
[处理建议] 根据题意正确设出随机变量 X，并分析 X服从超几何分布．
[规范板书] 解 用 X 表示“5 箱中不合格产品的箱数”，则 X～H(5, 2,
50)．这批产品被接收的条件是 5箱中没有不合格产品或只有 1箱不合格产品，
所以被接收的概率为 P(X≤1)，即
C02C458 C21P(X 1) C
448 243
≤ ＝ 5 ＋ 5 ＝ ≈0.99184.C50 C50 245
答：该批产品被接收的概率约是 0.99184.
[题后反思] 利用超几何分布求概率(分布列)的步骤：(1)验证随机变量服从
超几何分布，并确定 n, M,N的值；(2)根据超几何分布的概率计算公式计算随机
变量取每一个值时的概率．
一批零件共有 30 个，其中有 3个不合格．随机抽取 10个零件进
行检测，求至少有 1件不合格的概率．
[规范板书] 解 设抽取的 10 个零件中不合格品数为 X，则 X服从超几何
分布，且 N＝30, M＝3, n＝10. X的分布列为
C3kC10－P(X k) 27
k
＝ ＝ ， k＝0, 1, 2, 3.
C3100
至少有 1件不合格的概率为
P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
C13C9＝ 27 C＋ 3
2C827 C＋ 3
3C727
C10
≈0.7192.
30 C3100 C1300
也可以按如下方法求解：
0 10
P(X≥1) C C＝1－P(X＝0)＝1－ 3 2710 ≈0.7192.C30
答：至少有 1件不合格的概率约是 0.7192.
例 2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水
线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490, 495],
(495, 500],…， (510, 515]，由此得到样本的频率直方图如图所示．
(例 2)
(1) 根据频率直方图，求质量超过 505g的产品数量；
(2) 在上述抽取的 40件产品中任取 2件，设 X为质量超过 505g的产品数量，
求 X的分布列，并求其均值；
(3) 从该流水线上任取 2件产品，设 Y为质量超过 505g的产品数量，求 Y 的
分布列．[2]
(见学生用书课堂本 P76)
[处理建议] 正确区分超几何分布与二项分布概率模型．
[规范板书] 解 (1) 质量超过 505g的产品的频率为 5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以质量超过 505g的产品数量为 40×0.3＝12(件)．
(2) 质量超过 505g的产品数量为 12 件，则质量未超过 505g 的产品数量为
28件，X的取值为 0, 1, 2, X服从超几何分布．
2
P(X＝0) C＝ 28 63＝ ，
C420 130
1 1
P(X＝1) C12C28 28＝ 2 ＝ ，C40 65
2
P(X C12 11＝2)＝ 2 ＝ .C40 130
所以 X的分布列为
X 0 1 2
P 63 28 11
130 65 130
所以 X的均值为
1 E(X) 0 63 1 28 11 3方法 ： ＝ × ＋ × ＋2× ＝ .
130 65 130 5
方法 2：E(X) 2×12 3＝ ＝ .
40 5
(3) 根据样本估计总体的思想， 取一件产品，该产品的质量超过 505g的概
12 3
率为 ＝ .
40 10
从流水线上任取 2件产品互不影响，该问题可看成 2重伯努利试验，质量超
2 3，
过 505g的产品数量 Y的可能取值为 0, 1, 2，且 Y～B 10 ，
3 k 3 2－k,
k 1－P(Y＝k)＝C2× 10 × 10 k＝0, 1, 2，所以
7 2
P(Y＝0) C0 49＝ 2× 10 ＝ ，
100
P(Y＝1)＝C1 3 7 212× × ＝ ，
10 10 50
3 2
P(Y＝2)＝C22× 10 9＝ .
100
因此，Y的分布列为
Y 0 1 2
P 49 21 9
100 50 100
[题后反思] 区分超几何分布与二项分布的关键是看各次试验之间是否有
影响．
袋中有 8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取 3次，每次取 1
个球．
(1) 若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为 X，求 X的分布列；
(2) 若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为 Y，求 Y的分布列．
[规范板书] 解 (1) 若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为
1
2 1 3，
＝ .而 3次取球可以看成 3次独立重复试验，因此 X～B 5 ，所以
8＋2 5
1 0 4 3
P(X 64＝0)＝C30× 5 × 5 ＝ ，
125
1 1 4 2
P(X 1) C1 5 5 48＝ ＝ 3× × ＝ ，
125
1 2 4 1
P(X 12＝2)＝C23× 5 × 5 ＝ ，
125
1 3 4 0
P(X＝3)＝C33× 5 5 1× ＝ .
125
因此 X的分布列为
X 0 1 2 3
P 64 48 12 1125 125 125 125
(2)若每次抽取后都不放回，则随机抽取 3次可看成随机抽取 1次，但 1次
抽取了 3个，因此黑球数 Y服从超几何分布，即
Y～H(3, 2, 10)，
因此
0
P(Y＝0) C＝ 2C
38 7
C3
＝ ，
10 15
1
P(Y 1) C2C8
2 7
＝ ＝ 3 ＝ ，C10 15
2 1
P(Y 2) C2C8 1＝ ＝ 3 ＝ ，C10 15
因此，Y的分布列为
Y 0 1 2
P 7 7 1
15 15 15
例 3 某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以确定工资级
别．公司准备了两种不同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A
饮料，另外 4 杯为 B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 8 杯饮料中选出 4
杯 A饮料．若 4杯都选对，则月工资定为 4900元；若 4杯选对 3杯，则月工资
定为 4200元；否则，月工资定为 2800元．令 X表示此人选对 A饮料的杯数，
假设此人对 A和 B两种饮料没有鉴别能力．
(1) 求 X的分布列和数学期望；
(2) 求此员工月工资的数学期望．[3]
[处理建议] 引导学生分析得出 X服从超几何分布，第(2)题可用第(1)题的有
关结论．
[规范板书] 解 (1) X的所有可能取值为 0,1,2,3,4，则 X服从超几何分布：
i 4－i
P(X＝i) C4C4＝ ，i＝0,1,2,3,4.
C84
即 X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 1 16 36 16 1
70 70 70 70 70
E(X) 0 1 1 16 2 36 3 16 4 1＝ × ＋ × ＋ × ＋ × ＋ × ＝2.
70 70 70 70 70
(2) 设此员工月工资为 Y元，则 Y可能取值为 4900，4200,2800.
P(Y＝4900)＝P(X＝4) 1＝ ，
70
P(Y＝4200)＝P(X 16＝3)＝ ，
70
P(Y 53＝2800)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝ ，所以
70
E(Y)＝4900 1× ＋4200 16× ＋2800 53× ＝3150(元)．
70 70 70
因此，此员工月工资的数学期望为 3150元．
四、 课堂练习
1．(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的是(BC)
A. 某射手击中目标的概率为 0.7，现连续射击 3次，记击中目标的次数为 X
B. 在 10件产品中有 3件次品，不放回地随机抽取 4件产品，记取到的次品
数为 X
C. 从 10名男生、5名女生中选 3人参加植树活动，其中男生人数记为 X
D. 将一枚硬币连续抛掷 3次，记正面向上的次数为 X
2．设袋中有 80个红球、20个白球，若从袋中任取 10个球，则其中恰有 6
个红球的概率为(D)
C4A. 80C1
60 B. C8
60C410
C11000 C11000
C. C
480C260 D. C8
60C420
C11000 C11000
提示 取出的红球个数服从参数为 N＝100, M＝80, n＝10的超几何分布．由
C680C420
超几何分布的概率公式，知从中取出的 10个球中恰有 6个红球的概率为
C1
.
1000
3．某小组共有 10名学生，其中女生 3名，现选举 2名代表，至少有 1名女
生当选的概率为(A)
A. 8 B. 7
15 15
C. 4 D. 1
15 15
C17C13 C70C23 8提示 由题意可得所求概率为 ＋
C120 C12
＝ .
0 15
4．某 12人的兴趣小组中，有 5名“三好生”，现从该小组中任意选 6人参
C3C3
加竞赛，用ξ表示这 6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于 5 76 的是(B)C12
A. P(ξ＝2) B. P(ξ＝3)
C. P(ξ≤2) D. P(ξ≤3)
5．已知 10 件商品中有 7 件是一等品，其余为二等品．现从中随机选购 2
件，记买到一等品的件数为 X,则 E(X)＝1.4.
提示 由题意知 X～H(2,7,10)，则 E(X) nM 2×7＝ ＝ ＝1.4.也可以先求出分布
N 10
列再求均值．
五、 课堂小结
r n－r
1．超几何分布：X～H(n,M,N) X P(X r) CMCN M的分布列为 ＝ ＝ － .明确各参
CnN
数的含义．
2 nM．超几何分布的数学期望：若随机变量 X～H(n,M,N)，则 E(X)＝ .
N
3．超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道 n, M, N，
CkMCn－N kM
就可以根据概率公式 P(X＝k)＝ － Xn 求出 取不同 k值时的概率．CN
4．正确区分超几何分布与二项分布：超几何分布是一种不放回抽样的概率
分布，而二项分布是有放回抽样的概率分布.
[1]例 1是超几何分布模型的直接运用．
[2]例 2是超几何分布与二项分布的综合运用．
[3] 从解决实际问题中体会超几何分布概率模型的作用．

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