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第 10课时 正态分布
知识技能
1．通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态密度曲线的特征
及曲线所表示的意义．
2．了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ), (μ－2σ，μ＋2σ), (μ－3σ，μ＋3σ)内的概
率大小．
3．会查标准正态分布表，求满足标准正态分布的随机变量 X在某一范围内
的概率．
4．会用正态分布解决实际问题．
思想方法
让学生充分体会转化化归、数形结合等数学思想方法在本节学习中的运用．
核心素养
1. 通过对正态密度曲线、正态分布等概念的理解，发展数学抽象素养．
2．在根据正态密度曲线的对称性理解概念、解决问题的过程中，发展直观
想象素养．
重点：认识正态密度曲线的特征及曲线所表示的意义．
难点：求满足标准正态分布的随机变量 X在某一个范围内的概率(3σ原则)．
问题导引
预习教材 P123～127，思考下面的问题：
1．频率直方图、频率折线图的意义和作法是什么？
2．正态密度曲线的函数解析式是什么？解析式中的参数μ， σ有何意义？
3．正态密度曲线有哪些特征？
4．什么是 3σ原则？
即时体验
1．给出下列 4个关于正态密度曲线的叙述：①曲线在 x轴的上方，与 x轴
不相交；②当 x>μ时，曲线下降，当 x<μ时，曲线上升；③当μ一定时，σ越小，
总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中；④曲线关于直线 x＝μ对称，且当 x
＝μ时，位于最高点．其中正确的叙述为__①②④__.(填序号)
提示 当μ一定时，σ越小，总体分布越集中；σ越大，总体分布越分散．
2．给出下列 3个正态密度曲线的函数解析式，请分别写出均值μ和标准差σ：
(1) f(x) 1 e x
2
＝ － ，x∈(－∞，＋∞)，则μ＝__0__,_σ＝__1__;_
2π 2
2
(2) f(x) 1＝ e x－1 － ，x∈(－∞，＋∞)，则μ＝__1__,_σ＝__2__；
2 2π 8
(3) f(x) 2＝ e－2(x＋1)2，x∈(－∞，＋∞)，则μ＝__－1__,_σ＝__0.5__.
2π
3. 设随机变量 X～N(μ， σ2)，且 P(X≤c)＝P(X＞c)，则 c等于(D)
A. 0 B. σ
C. －μ D. μ
提示 由 P(X≤c)＝P(X＞c)，知直线 x＝c为对称轴．又由 X～N(μ， σ2)知
对称轴为直线 x＝μ，故 c＝μ.
一、 问题情境
某制造商生产长度为 6cm的金属棒，抽样检查 40根，测得每根长度(单位：
cm，保留两位小数)如下：
6．02 6.01 6.04 5.94 5.97 5.96 5.98
6．01 5.98 6.02 6.00 6.03 6.07 5.97
6．01 6.00 6.03 5.95 6.00 6.00 6.05
5．93 6.02 5.99 6.00 5.95 6.00 5.97
5．96 5.97 6.03 6.01 6.00 5.99 6.04
6．00 6.02 5.99 6.03 5.98
测量一次，你能确定测量的结果在区间(5.97,6.03)内的概率吗？
二、 数学建构
问题 1 如何解决上述问题？
要解决上面的问题，就要了解随机试验所得数据的分布规律，可用频率直方
图描述这组数据的分布．将这组数据以 0.02为组距进行分组，可得如图 1 所示
的频率直方图，频率直方图中每个小矩形的面积表示数据落在相应区间内的频率，
所有小矩形的面积之和为 1.
图 1
问题 2 从图 1可以看出，上述数据的分布特点有哪些？
观察图 1可知：这个直方图大体呈中间高、两边低、左右大致对称的特点.
问题 3 如果分组越来越细，你能画出频率直方图的轮廓线吗？有何特点？
如果样本数据无限增多且组距无限缩小，由频率的稳定性可知，频率直方图
的轮廓线就越来越稳定，频率直方图上的折线将趋于一条光滑的曲线，如图 2，
我们将此曲线称为概率密度曲线．
图 2
总结给出以下概念：
1．正态密度曲线
1 x－μ 2
函数 P(x)＝ e－ ，x∈R 的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，
2πσ 2σ2
其中μ和σ为参数(σ>0,μ∈R)．不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线，如图 3所
示.
(1)
,
(2)
图 3
2．正态密度曲线的特征
(1) 当 x<μ时，曲线上升；当 x>μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延
伸时，以 x轴为渐近线．
(2) 曲线关于直线 x＝μ对称(即μ决定正态密度曲线对称轴的位置)．
(3) σ越大(说明标准差越大，数据的集中程度越弱)，曲线越扁平；σ越小(说
明标准差越小，数据的集中程度越强)，曲线越尖陡．
(4) 在曲线下方和 x轴上方范围内的区域面积为 1.
3．正态分布
若 X是一个随机变量，若对任给区间(a,b],P(ax轴上(a,b]上方所围成的图形的面积(如图 4)，我们就称随机变量 X服从参数为μ
和σ2的正态分布，简记为 X～N(μ，σ2). 这里，μ是随机变量的均值，σ是随机变
量的标准差，即 E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
图 4
在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．例如某些物理量
的测量误差，某一地区同龄人群的身高、体重、肺活量等，正常条件下生产出来
的产品尺寸，等等．
4．服从正态分布的变量在 3 个特殊区间内取得的概率值(定值)
如图 5，若 X～N(μ， σ2)，则随机变量 X取值
图 5
① 落在区间内的概率约为 68.3%，即 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683；
② 落在区间内的概率约为 95.4%，即 P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954；
③ 落在区间内的概率约为 99.7%，即 P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.
由此看到，尽管正态分布中随机变量的取值范围是全体实数，但在一次试验
中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外的概率只有约 0.03，通常认
为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从正态分
布 N(μ，σ2)的随机变量 X只取中的值，这在统计学中称为 3σ原则．
对于“问题情境”中的问题，由于随机的测量误差，使得测量的长度 L服从
均值约为 6的正态分布，再用样本方差估计总体方差，得σ≈0.031，故随机测量
一次，其测量的长度在区间(5.97,6.03)内的概率约为 0.683.
5．标准正态分布
μ＝0且σ＝1时的正态分布 N(0,1)称为标准正态分布．通过查标准正态分布
表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率．
6．非标准正态分布转化为标准正态分布
X－μ
对任意的非标准正态分布 X～N(μ，σ2)，可通过 Z＝ 将其转化为标准正
σ
态分布 Z～N(0,1)．
三、 数学运用
例 1 (教材 P125例 1)若随机变量 Z～N(0,1)，查标准正态分布表，求：
(1) P(Z≤1.52)； (2) P(Z >1.52)；
(3) P(0.57(见学生用书课堂本 P77)
[处理建议] 根据正态密度曲线的对称性，画出大致图象，将所求概率进行
转化．
[规范板书] 解 (1) P(Z≤1.52)＝0.9357(图(1))．
(2) P(Z>1.52)＝1－P(Z≤1.52)＝1－0.9357＝0.0643.
(3) P(0.57(4) P(Z≤－1.49)＝P(Z≥1.49)＝1－P(Z≤1.49)＝1－0.931 9＝0.0681(图(3))．
[题后反思] (1) 正态密度曲线在曲线下方和 x轴上方范围内的区域面积为
1，因此 P(X＜a)＝1－P(X≥a)．
(2) 正态密度曲线关于直线 x＝μ对称，因此正态密度曲线在关于直线 x＝μ
对称的区域面积相等，即概率相等：P(X＜μ－a)＝P(X>μ＋a)．
(3) 由正态密度曲线的意义知 P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．
例 2 据统计，某脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布 N(80,52)，求果
实横径在内的概率．[2]
附：若 X ～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827,P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)
≈0.9545.
(见学生用书课堂本 P78)
[处理建议] 画出草图进行分析．
[规范板书] 解 由题意得σ＝5，则 P(80－5≤X≤80＋5)≈0.6827，即
P(75≤X≤85)≈0.6827.
P(80－10≤X≤80＋10)≈0.9545，即 P(70≤X≤90)≈0.9545.
P(85 X 90) 0.9545－0.6827所以 ≤ ≤ ≈ ＝0.1359.
2
因此，果实横径在内的概率约为 0.6827＋0.1359＝0.8186.
[题后反思] (1) 利用正态分布求概率时应先根据对称轴(x＝μ)画出正态密
度曲线草图，这样有助于寻找所求概率区间与已知概率区间之间的关系．(2)利
用 3σ原则求概率时，要注意把给出的区间或范围与μ，σ进行对比联系，确定它
们属于， , 中的哪一个．
设ξ～N(1,22)，求：(1) P(－1≤ξ≤3)；(2) P(3≤ξ≤5)．
[规范板书] 解 因为ξ～N(1, 22)，所以μ＝1, σ＝2.
(1) P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827;
(2) 因 为 P(3≤ξ≤5) ＝ P( － 3≤ξ≤ － 1) ， 所 以 P(3≤ξ≤5) ＝
1
2
已知随机变量ξ～N(2,σ2)，且 P(ξ＜4)＝0.8,则 P(0＜ξ＜2)等于(C)
A. 0.6 B. 0.4
C. 0.3 D. 0.2
[规范板书] 解 因为随机变量ξ服从正态分布 N(2, σ2)，
所以μ＝2，对称轴是直线ξ＝2.
因为 P(ξ＜4)＝0.8，所以 P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，
从而 P(0＜ξ＜4)＝0.6，
所以 P(0＜ξ＜2)＝0.3，故选 C.
例 3 某厂生产的圆柱形零件的外直径 X(单位：cm)服从正态分布 N(4,
0.52)．质检人员从该厂生产的 1000件零件中随机抽查 1件，测得它的外直径为
5.7cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？[3]
(见学生用书课堂本 P78)
[处理建议] 认真审题，运用 3σ原则分析问题．
[规范板书] 解 由于外直径 X～N(4, 0.52)，则 X在之内取值的概率约为
0.9973，在之外取值的概率约为 0.0027.
而 5.7 ，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此
可以认为这批零件是不合格的．
[题后反思] 解题时，应当注意零件尺寸应落在区间内，否则可以认为该批
产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一
旦发生了，就可以认为这批产品不合格．
有一种精密零件，其尺寸 X(单位：mm)服从正态分布 N(20, 4)．若
这批零件共有 5000个，
(1) 求这批零件中尺寸在 18～22mm间的零件所占的百分比；
(2) 若规定尺寸在 24～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件
大约有多少个？
[规范板书] 解 (1) 因为 X～N(20, 4)，所以μ＝20, σ＝2，从而μ－σ＝18, μ
＋σ＝22.因此，尺寸在 18～22mm间的零件所占的百分比大约是 68.27%.
(2) 因为μ－3σ＝14, μ＋3σ＝26, μ－2σ＝16, μ＋2σ＝24，
所以尺寸在 24 26mm 99.73%－95.45%～ 间的零件所占的百分比大约是 ＝
2
2.14%.因此，尺寸在 24～26mm间的零件大约有 5000×2.14%＝107(个)．
例 4 “公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念
的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每
次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？
能获得什么样的职位？……
某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)招录 300人，其中 275个高
薪职位和 25个普薪职位．实际报名人数为 2000，考试满分为 400分(一般地，对
于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布)．考试后考试成绩的部分统
计结果如下：考试平均成绩是 180分，360分及其以上的高分考生有 30人．
(1) 最低录取分数是多少(结果保留整数)
(2) 考生甲的成绩为 286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录
取，请说明理由．
参考资料：(1)当 X～N(μ σ2) Y X－μ， 时，令 ＝ ，则 Y～N(0, 1)．
σ
(2) 当 Y ～ N(0, 1) 时 ， P(Y≤2.17)≈0.985, P(Y≤1.28)≈0.900,
P(Y≤1.09)≈0.863, P(Y≤1.04)≈0.85.
[处理建议] 理解题意，充分利用已知条件，将正态分布转化为标准正态分
布．
[规范板书] 解 (1) 设考生成绩为 X，依题意 X应服从正态分布，即 X～
N(180, σ2)．
Y X－180令 ＝ ，则 Y～N(0, 1)．
σ
由 360 30分及其以上的高分考生有 30人，可得 P(X≥360)＝ ，即 P(X＜360)
2000
Y 360－180＜
＝1 30－ ＝0.985，亦即 P σ ＝0.985，
2000
360－180
则 ＝2.17，解得σ≈83.
σ
所以 X～N(180, 832)．
Y x0－180≥
设最低录取分数线为 x0，则 P(X x ) P 83 300≥ 0 ＝ ＝ ，
2000
Y x0－180＜
P 83 1 300 0.85 x0－180＝ － ＝ ，所以 ＝1.04，从而 x0＝266.32.
2000 83
即最低录取分数线为 266分或 267分．
(2) 考生甲的成绩 286＞267，所以能被录取．
Y 286－180＜
P(X＜286)＝P 83 ≈P(Y＜1.28)≈0.90，
表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的 1－ 0.90＝ 0.10.因为
2000×0.1＝200，所以考生甲大约排在第 200名，排在 275名之前，所以他能获
得高薪职位．
[题后反思] 本题将正态分布转化为标准正态分布，然后利用所附的标准正
态分布表求解，体现了转化化归数学思想的应用．在解决正态分布应用题时，首
先将实际问题与正态分布“挂钩”；其次掌握正态分布的性质，特别是正态密度曲
线的对称性以及各个区间上概率之间的关系．
四、 课堂练习
1. 正态分布 N(0, 1)在区间(－2, －1)和(1, 2)上取值的概率分别为 P1,P2，则
二者大小关系为(A)
A. P1＝P2 B. P1＜P2
C. P1＞P2 D. 不确定
提示 根据正态密度曲线的特点，曲线关于直线 x＝0对称，可得在区间(－
2, －1)和(1, 2)上取值的概率相等．
2. 已知某批零件的长度误差(单位：mm)服从正态分布 N(0, 32)，从中随机取
一件，其长度误差落在区间(3, 6)内的概率为(B)
(附：若随机变量ξ服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.27%, P(μ
－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.45%)
A. 4.56% B. 13.59%
C. 27.18% D. 31.74%
1 1
提示 P(3＜ξ＜6)＝ ≈ (95.45%－68.27%)＝13.59%.
2 2
3．若随机变量ξ～N(0,1)，查标准正态分布表，求：
(1) P(0<ξ<1.90); (2) P(－1.83<ξ<0)；
(3) P(|ξ|<1)．
解 (1) P(0<ξ<1.90)＝0.9713－0.5＝0.4713.
(2) P(－1.83<ξ<0)＝0.9664－0.5＝0.4664.
(3) P(|ξ|<1)＝2×(0.8413－0.5)＝0.6826.
4. 袋装食盐标准质量为 400g，规定误差的绝对值不超过 4g就认为合格．假
设误差服从正态分布，随机抽取 100袋食盐，误差的样本均值为 0，样本方差为
4.请你估计这批袋装食盐的合格率．
解 由题意可知，可设误差为 X，则 X～N(0, 4)．
所以 P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，故合格率约
为 95.45%.
五、 课堂小结
1．正态密度曲线的函数解析式：
P(x) 1 e x－μ
2
＝ － ， x∈R.
2πσ 2σ2
2．正态密度曲线的特征(结合图象理解)．
3．参数μ， σ的意义：在正态分布 N(μ， σ2)中，参数μ是随机变量的均值，
反映了正态分布的集中位置，它可以用样本的均值来估计，其取值是任意的实数；
参数σ是随机变量的标准差，反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度，它
可以用样本的标准差来估计，其取值范围是正数，即σ>0.
4．利用正态分布求概率的两种方法：
(1) 对称法：利用正态密度曲线关于直线 x＝μ对称及曲线与 x轴之间的区域
面积为 1；
(2) “3σ”法：利用 X落在区间， , 内的概率分别是 0.6827, 0.9545, 0.9973
求解.
[1] 培养学生的识图能力，加深对正态密度曲线的认识和理解．
[2]利用正态分布求概率．
[3] 在解决实际问题中感悟正态分布概率模型的作用，提升数据分析素养．

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