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章末复习 考法探究&素养提升
知识技能
1．能计算简单随机事件的条件概率，会利用乘法公式、全概率公式计算概
率．
2．会求离散型随机变量的分布列、均值与方差．
3．掌握离散型随机变量的概率模型(二项分布、超几何分布)及其数字特征，
并能解决简单的实际问题．
4．理解连续型随机变量的概率模型(正态分布)及其数字特征．
思想方法
转化化归思想(将较复杂的概率问题转化为简单的概率问题)；类比思想(随机
变量的定义与函数的定义进行类比，几种概率模型的类比等)；数形结合思想(利
用图形直观理解概率问题)．
核心素养
本章重点提升数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学
学科核心素养(具体表现见表)．
条件概率与全概率公式；离散型随机变量的分布列(二项分布、超几何分布)
及其均值、方差；正态分布及其均值、方差.
一、 要点回顾
(一) 本章知识结构图
(二) 本章中涉及的数学核心素养
核心素养 在概率章节中的具体表现
在具体概念如条件概率、随机变量、n重伯努利试验、正态密度曲线
数学抽象
等生成过程中，理解概念，完善知识结构
数学建模 建立二项分布、超几何分布、正态分布等概率模型解决实际问题
通过韦恩图理解全概率公式；借助频率直方图的几何直观，理解正态
直观想象
分布的特征；根据对称性求正态密度曲线在某个区间内取值的概率
求条件概率，利用乘法公式、全概率公式计算较复杂事件的概率；求
数学运算 离散型随机变量的分布列及其均值、方差；二项分布、超几何分布及
其均值、方差的计算；利用正态分布求概率
数据分析 体会均值、方差在推断随机现象的规律进而做出决策中的重要作用
(三) 本章方法规律归纳
1．求事件的概率
(1) 互斥事件、对立事件、独立事件的概率公式
① 若事件 A,B是互斥事件，则 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；
② 若事件 A,B是对立事件，则 P(A)＝1－P(B)；
③ 若事件 A,B相互独立，则 P(AB)＝P(A)P(B)．(③为概率乘法公式的特殊
形式)
(2) 条件概率与概率的乘法公式
① 条件概率的两种求法：(i)(定义法)P(B|A) P AB ＝ ；(ii)(缩小样本空间
P A
)P(B|A) n AB 法 ＝ .
n A
② 条件概率的加法公式：若 B1,B2互斥，则 P((B1＋B2)|A)＝P(B1|A)＋P(B2|A)．
③ 概率的乘法公式：P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)．
(3) 全概率公式
P(B)＝错误!(BAi)＝错误!(Ai)P(B|Ai )，
其中 A1,A2,…， An两两互斥，且 A1＋A2＋…＋An＝Ω.
全概率公式用来计算一个复杂事件的概率，适用于“整体难算，分开易算”
的情况．运用全概率公式求较复杂事件概率的步骤：①用字母表示分拆事件和所
求事件(注意：各分拆事件两两互斥，并且它们的和是样本空间Ω)；②求出各分
拆事件的概率和条件概率；③根据全概率公式求解.
2．随机变量的分布列的性质
若随机变量 X的分布列如下：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则 pi满足条件：①pi≥0; ②p1＋p2＋…＋pn＝1.通常利用这两条性质验证分
布列是否正确以及求分布列中参数的值．
3．求离散型随机变量数学期望(均值)、方差的方法
① 利用定义：离散型随机变量 X的概率分布如下：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
其中，pi≥0,i＝1,2,…，n,p1＋p2＋…＋pn＝1，则
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，
D(X)＝(x1－ E(X))2p1＋(x2－ E(X))2p2＋…＋(xn－ E(X))2pn.
② 利用性质：E(aX＋b)＝aE(X)＋b, D(aX＋b)＝a2D(X)．
③ 利用特殊的概率分布：
若随机变量 X服从参数为 p的两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；
若随机变量 X服从参数为 n,p的二项分布，即 X～B(n,p)，则 E(X)＝np,D(X)
＝np(1－p)；
若随机变量 X服从参数为 n, M,N的超几何分布，即 X～H(n,M,N)，则 E(X)
nM
＝ .
N
若随机变量 X服从参数为μ， σ2的正态分布，即 X～N(μ， σ2)，则 E(X)＝μ，
D(X)＝σ2.
4．二项分布与超几何分布
(1) 二项分布：若随机变量 X服从参数为 n,p的二项分布，即 X～B(n,p)，则
P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k.其中 n为同一个伯努利试验重复做的次数，p为在 n重伯
努利试验中，每次试验事件 A发生的概率．
(2) 超几何分布：若随机变量 X服从参数为 n, M,N的超几何分布，即 X～
r
H(n,M,N) P(X r) CMC
－
Nn r－M，则 ＝ ＝ ，记为 H(r; n, M, N)n ．其中 N为总体中的个体总CN
数，M为不合格品总数，n为样本容量，r为样本中不合格品数．
(3) 二项分布、超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可
以直接运用公式求解，但不能机械地记忆公式，要理解公式的意义．
(4) 二项分布与超几何分布的区别与联系
① 区别：二项分布是有放回抽样问题，超几何分布是不放回抽样问题；
② 联系：当 n远小于 N时，超几何分布可以用二项分布近似．
5．正态分布
(1) 正态密度曲线
P(x) 1 e x－μ
2
函数 ＝ － ， x∈R 的图象为正态密度曲线，其中μ和σ为参
2πσ 2σ2
数(σ>0,μ∈R)．当μ＝0, σ＝1时，相应曲线称为标准正态曲线．
(2) 正态密度曲线(正态曲线)的特征
① 当 x<μ时，曲线上升；当 x>μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸
时，以 x轴为渐近线．
② 曲线关于直线 x＝μ对称．
③ σ越大，曲线越扁平；σ越小，曲线越尖陡．
④ 在曲线下方和 x轴上方范围内的区域面积为 1.
(3) 正态分布的定义
若 X是一个随机变量，若对任给区间(a,b],P(ax轴上(a,b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量 X服从参数为μ和σ2的
正态分布，简记为 X～N(μ，σ2). 这里，μ是随机变量的均值，σ是随机变量的标
准差．
(4) 正态分布的 3σ原则
在实际应用中，通常认为服从正态分布 N(μ，σ2)的随机变量 X只取中的值，
这在统计学中称为 3σ原则．即：
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827,
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545,
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
(5) 利用正态分布求概率
① 利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态
密度曲线关于直线 x＝μ对称以及曲线与 x轴之间的区域的面积为 1.
② 利用 3σ原则求概率时，要注意把给出的区间或范围与μ，σ进行对比联系，
确定它们属于， , 中的哪一个．
二、 考法探究
考法 1 条件概率与全概率公式
例 1 已知抽奖盒中装有大小、形状完全相同的奖票 12张，其中一等奖 2
张，二等奖 4张，三等奖 6张．小明每次从中任抽一张且不放回，则在他第一次
抽到的是一等奖的前提下，第二次抽到三等奖的概率为(D)
A. 1 B. 1
6 3
6
C. 1 D. 11 [1]
2
(见学生用书课堂本 P80)
[规范板书] 解 记“第一次抽到一等奖”为事件 A，“第二次抽到三等奖”
为事件 B.
1( ) P(A) 2 1方法 定义法 ：由题意知 ＝ ＝ ， P(AB 2 6) × 1＝ ＝ ，故 P(B|A)
12 6 12×11 11
1
P AB 6
＝ ＝11＝ .
P A 1 11
6
方法 2(缩小样本空间法)：已知第一次抽到的是一等奖，这是还余下 11道题，
6
其中三等奖 6张，因此 P(B|A)＝ .故选 D.
11
[题后反思] 计算条件概率时需注意以下几点： (1)要明白是在谁的条件下，
计算谁的概率；(2)明确 P(A), P(B|A)以及 P(B)三者间的关系，实现三者间的互化；
(3)计算的方法可以利用定义中的条件概率公式，也可以用缩小样本空间法，有
时用缩小样本空间法计算更简便.
题组训练
1. 连续掷一颗骰子两次，设事件 A为“两次的点数不相等”，事件 B为“第
一次为偶数点”，则 P(B|A)的值为(C)
A.10 B.5
11 6
C.1 D. 5
2 12
提示 由题意可知，事件 A出现的情况有 6×6－6＝30种，事件 A,B同时出
现的情况有 3×5＝15 种，从而 P(A) 30 5 15 5＝ ＝ ， P(AB)＝ ＝ ，因此，P(B|A)
36 6 36 12
5
P AB
＝ ＝12 1＝ .故选 C.
P A 5 2
6
2.某种病毒的使人患病率为 0.03，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的
概率为 0.87，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为(C)
A. 1 B.0.9
29
C.2.61% D.0.251%
提示 记“患该种疾病”为事件A，“血检呈阳性”为事件B，依题意知P(A)
＝0.03, P(B|A)＝0.87，由概率的乘法公式得 P(AB)＝ P(A) P(B|A)＝ 0.03×0.87＝
0.0261.故选 C.
例 2 长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有 40%的人近视，
而该校大约有 20%的学生每天玩手机超过 1h，这些人的近视率约为 50%.现从每
天玩手机不超过 1h的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率．[2]
(见学生用书课堂本 P81)
[处理建议] 理解题意，找到运用全概率公式的条件．
[规范板书] 解 记“任意调查一名学生，玩手机超过 1h”为事件 A，则
P(A)＝0.2，从而 P( A )＝1－0.2＝0.8.
记“任意调查一名学生，该学生近视”为事件 B，则由全概率公式得
P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( A )P(B| A )
＝0.2×0.5＋0.8×P(B| A )＝0.4，
解得 P(B| A )＝0.375，即从每天玩手机不超过 1h的学生中任意调查一名学
生，他近视的概率为 0.375.
[题后反思] 本例直接求概率不易，利用全概率公式列方程容易求解．利用
全概率公式时关键要找到待分解的事件“B”，进而得到事件 B发生的各个前提条
件．
题组训练
1. 已知甲袋中有 6个红球、4个白球，乙袋中有 8个红球、6个白球，随机
41
取一个袋子，再从该袋中随机取一球，该球是红球的概率为 .
70
提示 记“从袋中任取一球，该球是红球”为事件 B，“该球取自甲袋”为
1
事件 A1，“该球取自乙袋”为事件 A2，由题意得 P(A1)＝ P(A2)＝ ，P(B|A1 )
2
6
＝ ，P(B|A2 ) 8＝ .
10 14
所以由全概率公式得
P(B)＝P(A1)P(B|A1 )＋P(A2)P(B|A2 )
1 6 1 8 41
＝ × ＋ × ＝ .
2 10 2 14 70
2．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中与否互不影响，三人击
中的概率分别为 0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而击落的概率为 0.2，被两人击中而
击落的概率为 0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率．
解 设事件 B为“飞机被击落”，事件 A1,A2,A3分别表示“飞机被 1 人击
中”“飞机被 2人击中”“飞机被 3人击中”，则 B＝A1B＋A2B＋A3B.
依题意得 P(B|A1)＝0.2, P(B|A2)＝0.6, P(B|A3)＝1.
由相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，得
P(A1)＝0.4×(1－0.5)×(1－0.7)＋(1－0.4)×0.5×(1－0.7)＋(1－0.4)×(1－
0.5)×0.7＝0.36，
P(A2)＝ 0.4×0.5×(1－0.7)＋0.4×(1－0.5)×0.7＋(1－0.4)×0.5×0.7＝0.41，
P(A3)＝ 0.4×0.5×0.7＝0.14.
由全概率公式得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋
0.14×1＝0.458.
因此，飞机被击落的概率为 0.458.
考法 2 离散型随机变量的均值(数学期望)与方差
例 3 元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个
纸盒中装有 1个红球、1个黄球、1个白球和 1个黑球，这些球除颜色外完全相
同．参与游戏的某位同学不放回地每次摸出 1个球，若摸到黑球，则停止摸球，
否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球
或黄球表演 1个节目，摸到黑球不用表演节目．
(1) 求该同学摸球三次后停止摸球的概率；
(2) 记 X为该同学摸球后表演节目的个数，求随机变量 X的概率分布和数学
期望及方差．[3]
(见学生用书课堂本 P81)
[规范板书] 解 (1) 设“该同学摸球三次后停止摸球”为事件 A，则 P(A)
A32 1 1
＝ 3＝ ，故该同学摸球三次后停止摸球的概率为 .A4 4 4
(2) 随机变量 X的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4.
2 1 2
P(X＝0) 1＝ ， P(X 2 1 1 A 1 C A＝1)＝ ＝ ， P(X＝2)＝ 2 2 2
4 A24 6 A2
＋
4 A3
＝ ， P(X＝3)＝ ＝
4 6 A34
1 3
， P(X A 1＝4)＝ 34＝ .6 A4 4
所以随机变量 X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P 1 1 1 1 1
4 6 6 6 4
1 1 1 1 1
所以数学期望 E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝2，
4 6 6 6 4
D(X)＝(0 1－2)2× ＋(1－2)2 1 (2 2)2 1× ＋ － × ＋(3－2)2 1× ＋(4－2)2 1 7× ＝ .
4 6 6 6 4 3
[题后反思] (1) 求随机变量的均值与方差的关键是确定随机变量的所有可
能值，正确写出随机变量的概率分布列，进而运用均值、方差的公式进行计算；
(2)注意性质 E(aX＋b)＝aE(X)＋b, D(aX＋b)＝a2D(X)的应用；(3)均值反映了随机
变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值的离散程度，在一些决策问题中，
一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
题组训练
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各 10株的分蘖数据，计算出样本均值
E(X 甲)＝E(X 乙)，方差分别为 D(X 甲)＝11, D(X 乙)＝3.4.由此可以估计(B)
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
2．(多选)已知随机变量 X的分布列是
X 1 2 3
P 13 a b
若 E(X) 11＝ ，则 (ABC)
6
A 1 1．a＝ B.b＝
2 6
C．D(X) 17＝ D.D(X) 23＝
36 18
提示 由题意得 a＋b 2＝ ①. 1 11 3由 E(X)＝ ＋2a＋3b＝ ，得 2a＋3b＝ ②.
3 3 6 2
1 1
联立①②，得 a＝ ， b＝ .
2 6
1 11
2 2 2
－ 1 2
11 11
－ 3－
所以 D(X)＝ 6 × ＋ 6 1 1 17× ＋ 6 × ＝ .故选 ABC.
3 2 6 36
3. 编号为 1, 2, 3的三名学生随意入座编号为 1, 2, 3的三个座位，每名学生
坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数为 X，求 E(X), D(X)．
2 1 C1
解 由题意知，X的可能取值为 0, 1, 3，则 P(X＝0)＝ 3＝ ， P(X＝1)＝
3
A3 3 A33
1
＝ ， P(X 3) 1 1＝ ＝ 3＝ ，所以 X的分布列为2 A3 6
X 0 1 3
P 1 1 1
3 2 6
1 1 1 1 1
因此，E(X)＝0× ＋1× ＋3× ＝1, D(X)＝(0－1)2× ＋(1－1)2× ＋(3－
3 2 6 3 2
1)2 1× ＝1.
6
4. 某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研．
项目 A：通信设备．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为：获利
40%、损失 20% 7 1、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， ， a.
12 6
项目 B：新能源汽车．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为：获利
30%、亏损 10%，且这两种情况发生的概率分别为 b,
C.
经测算，当投入 A, B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即数
学期望)也相等．
(1) 求 a, b, c的值；
(2) 若将 100万元全部投到其中的一个项目，请你从投资回报稳定性考虑，
为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
解 (1) 7 1依题意， ＋ ＋a＝1 1，解得 a＝ .
12 6 4
设投入到项目 A, B的资金都为 x万元，变量 X1和 X2分别表示投资项目 A和
B所获得的利润，则 X1的分布列为
X1 0.4x －0.2x 0
P 7 1 1
12 6 4
X2的分布列为
X2 0.3x －0.1x
P b c
由分布列计算得 E(X1)＝0.4x 7× ＋(－0.2x) 1× ＋0 1× ＝0.2x，
12 6 4
E(X2)＝0.3bx－0.1cx.
因为 E(X1)＝E(X2)，所以 0.3bx－0.1cx＝0.2x，即 0.3b－0.1c＝0.2.
3 1
又 b＋c＝1，解得 b＝ ， c＝ .
4 4
1
综上知 a＝ ， b 3＝ ， c 1＝ .
4 4 4
(2) 当投入 100万元资金时，由(1)知 x＝100，所以 E(X1)＝E(X2)＝20，
D(X ) (40 20)2 71 ＝ － × ＋(－20－20)2 1× ＋(0－20)2 1× ＝600，
12 6 4
D(X2)＝(30 3 1－20)2× ＋(－10－20)2× ＝300.
4 4
因为 D(X1)＞D(X2)，说明虽然项目 A和项目 B的平均收益相等，但项目 B
更稳妥，所以从风险控制角度，建议该投资公司选择项目 B.
考法 3 n 重伯努利试验及二项分布
例 4 1甲、乙两人各进行 3次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击
2
2
中目标的概率为 .
3
(1) 记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望 E(ξ)；
(2) 求甲恰好比乙多击中目标 2次的概率．[4]
(见学生用书课堂本 P83)
[处理建议] (1) 根据二项分布概率模型的特点确定是否是二项分布；(2)利
用互斥事件、对立事件概率公式求概率．
[规范板书] 解 (1) ξ的取值为 0, 1, 2, 3，则
1 3 1 3 1 3
P(ξ 0) C0 2 1 3 3＝ ＝ 3 ＝ ， P(ξ＝1)＝C13 2 ＝ ， P(ξ＝2)＝C23 2 ＝ ， P(ξ＝3)
8 8 8
1 3
1
＝C33 2 ＝ ，所以ξ的概率分布如下：
8
ξ 0 1 2 3
P 1 3 3 18 8 8 8
1 3 3 1 或 E ξ ＝3
1
× ＝1.5
故 E(ξ)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝1.5 2 .
8 8 8 8
(2) 设“甲恰好比乙多击中目标 2次”为事件 A，“甲恰击中目标 2次且乙
恰击中目标 0次”为事件 B1，“甲恰好击中目标 3 次且乙恰击中目标 1次”为
事件 B2，则 A＝B1＋B2,B1,B2为互斥事件．所以
1 3 1 3 1 3 2 1 1 2
P(A)＝P(B 11)＋P(B2)＝C32 2 C30 3 ＋C33 2 C31 3 3 ＝ .
24
2 1因此，甲恰好比乙多击中目标 次的概率为 .
24
[题后反思] 与二项分布有关的问题解题关键是二项分布的判定，可从以下
几个方面判定：(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的；(2)各次试验中的事
件是相互独立的；(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；(4)
随机变量是这 n重伯努利试验中某事件发生的次数．
题组训练
1. 小明连续投篮 20 次，他投篮的命中率为 0.8.若ξ为投篮命中的次数，则
E(ξ)＝__16__.
提示 由题意知ξ～B(20, 0.8)，所以 E(ξ)＝20×0.8＝16.
2．若 1个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9，则服用这种药的 4个病
人中至少有 3人被治愈的概率为__0.9477__.
提示 若共有 3人被治愈，则 P1＝C34×(0.9)3×(1－0.9)＝0.291 6；若共有 4
人被治愈，则 P2＝(0.9)4＝0.6561.故至少有 3人被治愈的概率 P＝P1＋P2＝0.9477.
6 1，
3. 已知随机变量 X～B 2 ，则 D(2X＋1)等于(A)
A．6 B.4
C.3 D.9
1 1－
提示 D(2X＋1)＝4D(X) 1 3，因为 D(X)＝6× × 2 ＝ ，所以 D(2X＋1)＝
2 2
4 3× ＝6.
2
4. 80一射手对同一目标独立地进行 4次射击，已知至少命中一次的概率为 ，
81
则此射手的命中率是(D)
A. 1 B. 1
4 3
C. 2 D. 2
5 3
80
提示 设此射手的命中率为 x，由题意知 4次射击没有命中的概率为 1－ ＝
81
x 41
，有 C0
＝ 舍去
4(1 1 2－x)4＝ ，解得 x＝ 3 .
81 81 3
5. 某学校为了解学生课后进行体育运动的情况，对该校学生进行简单随机
抽样，获得 20名学生一周进行体育运动的时间数据如表，其中运动时间在(7, 11]
的学生称为运动达人．
分组区间(单位：h) (1, 3] (3, 5] (5, 7] (7, 9] (9, 11]
人数 1 3 4 7 5
(1) 从上述抽取的学生中任取 2人，设 X为运动达人的人数，求 X的分布列；
(2) 以频率估计概率，从该校学生中任取 2人，设 Y为运动达人的人数，求
Y的分布列．
2 1 1
解 (1) X C 14 C C的可能取值为 0, 1, 2，因为 P(X＝0)＝ 8＝ ， P(X＝1)＝ 8 12＝
C220 95 C220
48 2P(X 2) C12 33， ＝ ＝ 2 ＝ ，所以 X的分布列为95 C20 95
X 0 1 2
P 14 48 33
95 95 95
(2) 3由表中数据可得，抽到运动达人的频率为 ，将频率视为概率，则随机
5
2 3，
变量 Y～B 5 .
2 2 3 2
因为 P(Y＝0)＝C20 5 4 2 3 12 9＝ ，P(Y＝1)＝C21× × ＝ ，P(Y＝2)＝C22 5 ＝ ，
25 5 5 25 25
所以 Y的分布列为
Y 0 1 2
P 4 12 9
25 25 25
考法 4 正态分布
例 5 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态
分布 N(70,100)．已知成绩在 90分以上(含 90分)的学生有 12人．
(1) 此次参赛学生的总数约为多少人？
(2) 如果成绩在 80分以上(含 80分)为优，那么此次竞赛成绩为优的学生约
有多少人？
附：若 X ～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827,P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)
≈0.9545.[5]
(见学生用书课堂本 P84)
[处理建议] 利用正态密度曲线的对称性解题．
[规范板书] 解 (1) 设参赛学生的成绩为 X，因为 X～N(70,100)，所以μ＝
70, σ＝10.
从而 P(X≥90)＝P(X 1 1 1≤50)＝ ＝ ≈ ×(1－0.9545)＝0.02275.
2 2 2
12÷0.02275≈527(人)．
因此，此次参赛学生的总数约为 527人．
(2) 由 P(X≥80)＝P(X≤60) 1 1 1＝ ＝ ≈ ×(1－0.6827)＝0.15865.
2 2 2
527×0.15865≈84(人)．
因此，此次竞赛成绩为优的学生约有 84人．
[题后反思] 正态密度曲线的应用及求解策略：(1)正态密度曲线是轴对称图
形，常借助其对称性解题；(2)正态分布的概率问题常借助， , 三个区间内的概
率值求解；(3)注意正态密度曲线与频率直方图的结合．
题组训练
1．当σ取三个不同值σ1, σ2, σ3时，正态曲线 N(0，σ2)的图象如图所示，则下
列选项中正确的是(A)
(第 1题)
A．σ1<σ2<σ3
B．σ1<σ3<σ2
C．σ2<σ1<σ3
D．σ3<σ2<σ1
提示 由正态密度曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，
曲线越“瘦高”，所以σ1<σ2<σ3，故选 A.
2. 设随机变量ξ服从正态分布 N(2,5)，若 P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则 a的值
为(A)
A.5 B.2
3
C.7 D.5
3
提示 依题意，随机变量ξ服从正态分布 N(2,5)，所以μ＝2，即正态密度曲
线关于直线 x＝2对称，所以由 P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，得(2a－3)＋(a＋2)＝2×2，
5
解得 a＝ .故选 A.
3
3. (多选)红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而
降低了潜在的感染风险．为防控新冠肺炎，某厂家生产了一批红外线自动测温门，
其测量体温误差服从正态分布，设 X表示其体温误差，且 X～N(0.2, 0.32)，则下
列结论中正确的是(BD)
(附：若随机变量 X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ＝0.6826, P(μ－2σ≤X≤μ
＋2σ)＝0.9544)
A. E(X)＝0.2, D(X)＝0.3
B. P(X≤0.2)＝0.5
C. P(X＞0.8)＝0.0456
D. P(X＜－0.1)＝0.1587
提示 测量体温误差 X服从正态分布，且 X～N(μ， σ2)，其中μ＝0.2, σ＝0.3，
所以 E(X)＝μ＝0.2, D(X)＝σ2＝0.32＝0.09，故 A错误；
P(X≤0.2)＝P(X≤μ)＝0.5，故 B正确；
P(X 0.8) P(X 0.2 2 0.3) P(X μ 2σ) 1－P μ－2σ＜X＜μ＋2σ ＞ ＝ ＞ ＋ × ＝ ＞ ＋ ＝ ＝
2
1－0.9544
＝0.0228，故 C错误；
2
P(X 0.1) P(X μ σ) 1－P μ－σ＜X＜μ＋σ 1－0.6826＜－ ＝ ＜ － ＝ ＝ ＝0.1587，故
2 2
D正确．
4. 对一个物理量做 n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后
0 2，
结果．已知最后结果的误差εn～N n .为使误差εn在(－0.5, 0.5)的概率不小于
0.9545，至少要测量的次数为(D)
(参考数据：若 X～N(μ， σ2)，则 P(μ－2σA. 8 B. 10
C. 30 D. 32
提示 根据正态曲线的对称性知：要使误差εn在(－0.5, 0.5)的概率不小于
0.9545，则(μ－2σ， μ＋2σ) (－0.5, 0.5)．
又因为μ＝0, σ 2＝ ，所以 0.5≥2 2，解得 n≥32.故选 D.
n n
5．在某市的高二期末考试中，学生的数学成绩 X～N(90,σ2)，已知
P(70≤X≤90)＝0.35，则从全市高二考生中任选一名学生，他的数学成绩小于 110
分的概率为__0.85__.
提示 因为 X～N(90,σ2)，所以μ＝90.
又因为 P(70≤X≤90)＝0.35，所以 P(90≤X<110)＝0.35，从而 P(X≥110)＝
1－0.35×2
＝0.15，则 P(X<110)＝1－0.15＝0.85.
2
因此，他的数学成绩小于 110分的概率为 0.85.
[1] 例 1考查条件概率的计算．
[2] 考查全概率公式的应用．
[3] 考查一般求概率问题的均值与方差的方法.
[4] 考查 n重伯努利试验及二项分布．
[5] 考查正态分布，理解其中参数的含义．

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