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第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.2 直线与平面平行
学案
一、学习目标
1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理以及性质定理.
2.掌握由线线平行证明线面平行以及由线面平行推出线线平行.
3.能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.
二、基础梳理
1.直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
符号表示：，，且.
图形表示：
2.直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
符号表示：，，.
图形表示：
三、巩固练习
1.在三棱锥中，E，F分别是和上的点，若，则直线与平面的位置关系是( ).
A.平行 B.相交
C.直线在平面内 D.不能确定
2.如图，正方体的棱长为a，M，N分别为和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是( )
A.相交但不垂直 B.平行 C.垂直 D.不能确定
3.下列选项中，一定能得出直线m与平面平行的是( ).
A.直线m在平面外
B.直线m与平面内的两条直线平行
C.平面外的直线m与平面内的一条直线平行
D.直线m与平面内的一条直线平行
4.如图所示，在四棱锥中，M，N分别为AC，PC上的点，且平面PAD，则( )
A. B. C. D.以上均有可能
5.如图，下列正三棱柱中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出平面MNP的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则( )
A. B.四边形MNEF为梯形
C.四边形MNEF为平行四边形 D.
7.如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD的中点，F在PA上，，平面BEF，则的值为( )
A.1 B. C.2 D.3
8.如图，在五面体FEABCD中，四边形为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是_____________.
9.如图，在正方体中，，点E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则线段EF的长度等于__________.
10.如图，在三棱柱中，D是BC的中点，E是上一点，且平面，则的值为_______________.
11.如图，长方体中，，E，F分别是侧棱，上的动点，，点P在棱上，且，若平面PBD，则________.
12.在直三棱柱中，D为的中点，点P在侧面上运动，当点P满足条件__________时，平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)
13.如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，，，M是线段EF的中点.求证：平面BDE.
14.如图，在四面体ABCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.
求证：平面BCD.
15.如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，点M在棱PD上.
（1）求证：平面PAB；
（2）若平面MAC，求的值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为，所以.又平面，平面，所以平面.故选A.
2.答案：B
解析：如图，过点M作交于点P，过点N作交BC于点Q，连接PQ，，且，，，四边形MNQP为平行四边形，，又平面，平面，平面.故选B.
3.答案：C
解析：选项A不符合题意，是因为直线m在平面外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，是因为缺少条件；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面平行，故选项C符合题意.故选C.
4.答案：B
解析：平面PAD，平面平面，平面PAC，.故选B.
5.答案：C
解析：在A，B中，易知，平面MNP，平面MNP，所以平面MNP；在D中，易知，平面MNP，平面MNP，所以平面MNP.故选C.
6.答案：B
解析：在平行四边形中，，，，，.又平面ABC，平面ABC，平面ABC.又平面MNEF，平面平面，，.显然在中，，，四边形MNEF为梯形.故选B.
7.答案：D
解析：设AO交BE于点G，连接FG，因为E为AD的中点，四边形ABCD为平行四边形，
所以，所以，故，因为平面BEF，平面平面，所以，所以，即.故选D.
8.答案：平行
解析：因为M，N分别是BF，BC的中点，所以.又四边形为矩形，所以，所以.又平面，平面，所以平面.
9.答案：
解析：因为在正方体中，，所以，又E为AD的中点，平面，平面ADC，平面平面，所以，所以F为DC的中点，所以.
10.答案：
解析：连接交于点F，连接EF，因为平面平面，平面，所以，所以，因为，所以，所以，
因为D是BC的中点，所以，所以.
11.答案：2
解析：连接AC，交BD于点O，连接PO，因为平面PBD，平面EACF，平面平面，所以，在上截取，连接QC，则，所以，所以易知四边形EFCQ为平行四边形，则，又，，所以，故.
12.答案：P是中点
解析：取中点P，连接，
因为在直三棱柱中，D为中点，
点P在侧面上运动，
所以当点P满足条件P是中点时，，
因为平面，平面BCD，
所以当点P满足条件P是中点时，平面BCD.
13.解析：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
，且，
四边形AOEM是平行四边形，.
又平面BDE，平面BDE，
平面BDE.
14.解析：取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得，连接OP，OF，FQ如图.
，，
，且.
，P分别为BD，BM的中点，，且.
为AD的中点，.，且，
四边形OPQF是平行四边形，.
又平面BCD，平面BCD，平面BCD.
15.解析：（1），平面PAB，平面PAB，
平面PAB.
（2）连接BD交AC于点O，连接MO.
平面MAC，且平面PBD，平面平面，
，，
.
，易得，则，.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由等角定理可知，为60°或120°.故选D.
2.答案：B
解析：由于E，F分别是，的中点，故，因为和棱平行的棱有AD，BC，，所以符合题意的棱共有4条.故选B.
3.答案：B
解析：的两边与的两边分别平行，所以易知或.故选B.
4.答案：B
解析：如图所示，由三角形中位线的性质，可得，，再根据基本事实4可得四边形EFGH为平行四边形，所以，故选B.
5.答案：D
解析：如图所示，连接BD，，，且，同理，，且，，当时，，四边形EFGH是平行四边形，故A，C正确，D错，当时，，四边形EFGH是梯形，故B正确.故选D.
6.答案：B
解析：当时，若A，B，C，D四点共面且，M，N两点重合，故A错误；若M，N重合，则，故，此时直线AC与直线l不可能相交，故B正确；当AB与CD相交，直线时，直线BD与l平行，故C错误；当AB与CD是异面直线时，MN不可能与l平行，故D错误.故选B.
7.答案：D
解析：对于A，由基本事实4易得，所以M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B，根据等角定理，得，故B正确；对于C，由等角定理，知，，所以，故C正确；由三角形中位线的性质知，，，，所以，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D不正确.故选D.
8.答案：平行
解析：在中，，，
又，.
9.解析：在题图1中，四边形ABCD为梯形，，E，F分别为BC，AD的中点，
且.
在题图2中，易知.
，H分别为，的中点，
且，
，，
四边形EFGH为平行四边形.
10.解析：（1）连接BD，.
，F分别为AD，AB的中点，
在中，且.
同理，且.
又在正方体中，，
四边形为平行四边形，
且，.
（2）取的中点M，连接BM，，则.
又，，
四边形为平行四边形，.
，分别为，的中点，，
而，且，
四边形为平行四边形，.
又，.
同理.
与的两边分别对应平行，即，且方向都相反，.

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