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第6讲 数列
数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称
为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。
等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这
样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
3、常用公式
等差数列的总和=（首项+末项）项数2
项数=（末项-首项）公差+1
末项=首项+公差（项数-1）
首项=末项-公差（项数-1）
公差=（末项-首项）（项数-1）
等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数
重点是对数列常用公式的理解掌握
难点是对题目的把握以及对公式的灵活运用
例1、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？
　　
答案：共有67个数，第201个数是603
解析： （1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：
项数=（末项-首项）公差+1,便可求出。
（2）根据公式：末项=首项+公差（项数-1）
解：项数=（201-3）3+1=67
末项=3+3（201-1）=603
答：共有67个数，第201个数是603
例2、全部三位数的和是多少？
答案：全部三位数的和是494550　　
解析：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这 一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。
　　解： 　 （100+999）9002
=10999002
=49455
答：全部三位数的和是494550。
例3、求自然数中被10除余1的所有两位数的和。
答案：459
解析：在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算。
解： 11+21+31+……+91
=（11+91）92
=459
例4、求下列方阵中所有各数的和：
1、2、3、4、……49、50；
2、3、4、5、……50、51；
3、4、5、6、……51、52；
……
49、50、51、52、……97、98；
50、51、52、53、……98、99。
答案：125000　
解析：这个方阵的每一横行（或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行（或竖行）数列之和，再求出这个方阵的和。
解：每一横行数列之和：
第一行：（1+50）502=1275
第二行：（2+51）502=1325
第三行：（3+51）502=1375
……
第四十九行：（49+98）502=3675
第五十行：（50+99）502=3725
方阵所有数之和：
1275+1325+1375+……+3675+3725
=（1275+3725）502
=125000
例5、班级男生进行扳手腕比赛，每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次。若一共扳了105次，那么共有多少男生参加了这项比赛
答案：n=15,即共有15个男生参加了比赛
解析：设共有几个选手参加比赛，分别是A、A2、A3 A、……An 。从A开始按顺序分析比赛场次：
A必须和 A2 、A3、A4、……，An逐一比赛1场，共计（n-1）场；
A2已和A赛过，他只需要和A 3、A4 、A5 、……、An各赛1场，共计（n-2）场
A 3已和A A2赛过、他只需要和A4、 A5、 A6、……、An 、各赛1场，共计（n-3）场。
以此类推，最后An-1只能和An赛1场
解： Sn=（n-1）+（n-2）+……+2+1
=（1+n-1）（n-1）=n(n-1)（场）
根据题意，Sn=105(场)，则n（n-1）=210，因为n是正整数，通过试算法，可知1514=210.
则n=15,即共有15个男生参加了比赛。
答：有15个男生参加了比赛。
例6、若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？
答案：最外圈有102人，最内圈有12人
解析：从已知条件912人围成16圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少6人，也就
是告诉我们这个等差数列的和是912，项数是16，公差是6。题目要求的是等差
数列末项 a- a=d(n-1)=6(16-1)=90(人)
解： a+a=S2n=912216=114（人）
外圈人数=（90+114）2=102（人）
内圈人数=（114-90）2=12（人）
答： 最外圈有102人，最内圈有12人。
A
1、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4，这串数中第2003个数是 。
答案：8014
2、等差数列0、3、6、9、12、……、45是这个数列的第 项。
从2开始的连续100个偶数的和是 。
答案：16
3、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有 个座位。
答案：10100
一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层
放 本书，最下面一层放 本书。
答案：100、140
5、除以4余1的三位数的和是 。
答案：123525
B
6、在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？
答案: 第48项是286，508是第85项
7、求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
答案:1000
8、求不超过500的所有被11整除的自然数的和。
答案: 11385
C
9、求下列方阵中100个数的和。
0、1、2、3、……8、9；
1、2、3、4、……9、10；
2、3、4、5、……10、11；
……
9、10、11、12、……17、18。
答案: 900
从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？答案：625种
11、若干人围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少4人，如果共有304人，最外圈有几人？
答案：52人
有10只金子，54个乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不相等？
答案：不能
13、小明家住在一条胡同里，胡同里的门牌号从1号开始摸着排下去。小明将全胡同的门牌号数进行口算求和，结果误把1看成10，得到错误的结果为114，那么实际上全胡同有多少家？
答案：14
14、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有7根园木，每面下层增加1根，最下面一层有95根，问：这堆圆木一共有多少根？
答案：4539
15、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……这个六边形点阵共100层，问，这个点阵共有多少个点？
答案：29701
X+Y+Z=1993有多少组正整数解？
答案：共有1983036组正整数解。
1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？
答案：120
2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有多少个？
答案: 880个
3、小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项
答案：29项。
4、建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
答案：52
5、一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。一共有多少根圆木？
答案：2485根
（不用添加内容，也不做修改）
1、用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒
答案：165根
2、用相同的小立方体摆成如图所示的形状,如果共摆成10层,那么最下面有多少个小立方体
答案：55个
3、有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次
答案：至多要试1225次
4、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次
答案：1770次
5、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了
答案:8把
6、一辆公共汽车有66个座位,空车出发后,第一站上一位乘客,第二站上两位乘客,第三站上三位乘客,依次类推,第几站后,车上坐满乘客
答：第11站
7、四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？
答案：990次
8、学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？
答案:120场
9、在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？
答案：1378次
10、一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次。如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，问参加聚会的共有多少人？
答案：8人第6讲 数列
数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称
为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。
等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这
样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
3、常用公式
等差数列的总和=（首项+末项）项数2
项数=（末项-首项）公差+1
末项=首项+公差（项数-1）
首项=末项-公差（项数-1）
公差=（末项-首项）（项数-1）
等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数
重点是对数列常用公式的理解掌握
难点是对题目的把握以及对公式的灵活运用
例1、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？
例2、全部三位数的和是多少？
例3、求自然数中被10除余1的所有两位数的和。
例4、求下列方阵中所有各数的和：
1、2、3、4、……49、50；
2、3、4、5、……50、51；
3、4、5、6、……51、52；
……
49、50、51、52、……97、98；
50、51、52、53、……98、99。
例5、班级男生进行扳手腕比赛，每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次。若一共扳了105次，那么共有多少男生参加了这项比赛
例6、若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？
A
1、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4，这串数中第2003个数是 。
2、等差数列0、3、6、9、12、……、45是这个数列的第 项。
从2开始的连续100个偶数的和是 。
3、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有 个座位。
一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层
放 本书，最下面一层放 本书。
5、除以4余1的三位数的和是 。
B
6、在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？
7、求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
8、求不超过500的所有被11整除的自然数的和。
C
9、求下列方阵中100个数的和。
0、1、2、3、……8、9；
1、2、3、4、……9、10；
2、3、4、5、……10、11；
……
9、10、11、12、……17、18。
从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？
11、若干人围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少4人，如果共有304人，最外圈有几人？
有10只金子，54个乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不相等？
13、小明家住在一条胡同里，胡同里的门牌号从1号开始摸着排下去。小明将全胡同的门牌号数进行口算求和，结果误把1看成10，得到错误的结果为114，那么实际上全胡同有多少家？
14、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有7根园木，每面下层增加1根，最下面一层有95根，问：这堆圆木一共有多少根？
15、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……这个六边形点阵共100层，问，这个点阵共有多少个点？
X+Y+Z=1993有多少组正整数解？
1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？
2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有多少个？
3、小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项
4、建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
5、一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。一共有多少根圆木？
（不用添加内容，也不做修改）
1、用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒
2、用相同的小立方体摆成如图所示的形状,如果共摆成10层,那么最下面有多少个小立方体
3、有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次
4、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次
5、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了
6、一辆公共汽车有66个座位,空车出发后,第一站上一位乘客,第二站上两位乘客,第三站上三位乘客,依次类推,第几站后,车上坐满乘客
7、四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？
8、学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？
9、在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？
10、一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次。如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，问参加聚会的共有多少人？

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