资源简介

弧度制及其与角度制的换算
学习目标 核心素养
1．了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算。（重点） 2．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式。（难点） 1．通过弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养。 2．借助角度与弧度的互化、扇形的弧长与面积的计算，培养学生的数学运算核心素养。
【学习过程】
一、初试身手
1．1080°等于（ ）。
A．1080 B．
C． D．6π
2．与角π终边相同的角是（ ）。
A．π B．2kπ－π（k ∈ Z）
C．2kπ－π（k ∈ Z） D．（2k＋1）π＋π（k ∈ Z）
3．圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为________。
二、合作探究
类型一：弧度制的概念
【例1】下列命题中，假命题是（ ）。
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
[思路探究]由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手。
类型二：角度制与弧度制的转换
【例2】设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝π，β2＝－π。
（1）将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
（2）将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角。
[思路探究]由题目可获取以下主要信息：
（1）用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角π，－π；
（2）终边相同的角的表示。
解答本题（1）可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2kπ＋α（k ∈ Z，0≤α<2π）的形式，解答（2）可先将β1、β2用角度制表示，再将其写成β＋k·360°（k ∈ Z）的形式。
类型三：弧长公式与扇形面积公式的应用
[探究问题]
1．用公式|α|＝求圆心角时，应注意什么问题？
【提示】应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负。
2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？
【提示】若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错。
【例3】（1）设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）。
A．1 rad B．2 rad
C．3 rad D．4 rad
（2）已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【思路探究】（1）可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；（2）可通过建立扇形面积的目标函数来求解。
[母题探究]
（变条件）用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则
∵l＋2r＝30
∴l＝30－2r，从而S＝·l·r＝（30－2r）·r＝－r2＋15r＝－2＋。
∴当半径r＝ cm时，l＝30－2×＝15 cm，扇形面积的最大值是 cm2，这时α＝＝2 rad．
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大，为 cm2．
三、学习小结
1．角度制与弧度制的定义
（1）角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制。角度制规定60分等于1度，60秒等于1分。
（2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。
2．角的弧度数的计算
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为α rad，则α＝。
3．角度与弧度的互化
4．一些特殊角与弧度数的对应关系
角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150°
弧度 0
角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 π 2π
5．扇形的弧长与面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
α为度数 α为弧度数
扇形的弧长 l＝ l＝αr
扇形的面积 S＝ S＝lr＝αr2
四、精炼反馈
1．把56°15′化为弧度是（ ）。
A． B．
C． D．
2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为（ ）。
A．π B．π
C．π D．π
3．将－1 485°化成2kπ＋α（0≤α<2π，k ∈ Z）的形式为________。
4．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数。
答案解析
一、初试身手
1．【答案】D
【解析】1 080°＝180°×6，所以1 080°化为弧度是6π。
2．【答案】C
【解析】选项A中＝2π＋π，与角π终边相同，故A项错；2kπ－π，k ∈ Z，当k＝1时，得[0，2π）之间的角为π，故与π有相同的终边，B项错；2kπ－π，k ∈ Z，当k＝2时，得[0，2π）之间的角为π，与π有相同的终边，故C项对；（2k＋1）π＋π，k ∈ Z，当k＝0时，得[0，2π）之间的角为π，故D项错。
3．【答案】6π
【解析】扇形的面积为×62×＝6π。
二、合作探究
例1．【答案】D
【解析】根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C项均为真命题。
例2．【答案】（1）要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α0（k ∈ Z，0≤α0<2π）的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限。
α1＝－570°＝－π＝－4π＋π，
α2＝750°＝π＝4π＋。
∴α1在第二象限，α2在第一象限。
（2）β1＝＝108°，设θ＝β1＋k·360°（k ∈ Z），
由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k·360°<0°，
∴k＝－2或k＝－1，
∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°。
同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°。
例3．【答案】（1）B
【解析】设扇形半径为r，弧长为l，由题意得解得
则圆心角α＝＝2rad．
（2）解：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S。
则l＝20－2r，∴S＝lr＝（20－2r）·r＝－r2＋10r＝－（r－5）2＋25（0＜r＜10）。
∴当半径r＝5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2．
此时α＝＝＝2 rad．
∴当它的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为25 cm2．
四、精炼反馈
1．【答案】D
【解析】56°15′＝56.25°＝×＝。
2．【答案】A
【解析】240°＝240× rad＝π rad，∴弧长l＝α·r＝π×10＝π，选A．
3．【答案】－10π＋π
【解析】由－1 485°＝－5×360°＋315°，所以－1 485°可以表示为－10π＋π。
4．【答案】设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则2r＋l＝4． ①
由扇形的面积公式S＝l·r，得lr＝1． ②
由①②得r＝1，l＝2，∴α＝＝2rad。
∴扇形的圆心角为2 rad。
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