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南昌市西湖区2021-2022学年高一下学期4月期中检测
数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1．复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．下列结论中正确的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量，是一个单位向量 D．零向量没有方向
3．已知三角形的边长分别为2，3，4，则它的最大内角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．（ ）
A． B． C． D．
5．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（ ）
A．sin 30°＋icos 30° B．cos 160°＋isin 160°
C．cos 30°＋isin 30° D．sin 160°＋icos 160°
6．设x，，向量，，，且，，则等于（ ）
A． B． C．3 D．4
7．在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．3
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若的终边上的一点坐标为（），则
B．若是第一象限角，则是第一或第三象限角
C．若，，则
D．对，恒成立
10．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知，均为非零向量，若，则存在唯一实数，使得
B．在中，若，则点为边上的中点
C．已知，均为非零向量，若，则
D．若且，则
11．已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数，则
B．若复数z满足，则复平面内Z对应的点Z在一条直线上
C．若是纯虚数，则实数
D．复数的虚部为
12．已知，又，且的最小值为，下列关于讨论正确为（ ）
A．图象是由图象向右平移个单位而得到
B． 是奇函数
C． 在上单调递增
D． 在上恰有2个零点
第II卷（非选择题）
三.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）
13．已知是虚数单位，则=___________.
14．求值：___________.
15．已知函数，在内的值域为，则的取值范围为___________.
16．已知是内一点，，设的面积为的面积为，则_______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．已知复数，其中是虚数单位，m为实数．
(1)当复数为纯虚数时，求m的值；
(2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．
18．已知．
(1)化简；
(2)若，求的值．
19．在下列条件中任选一个：
①，②， ③.
补充题中的条件，并解答: 已知，___________，.
(1)求； (2)求.
20．函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在的值域.
21．已知函数，向量，，在锐角中内角的对边分别为，
（1）若，求角的大小；
（2）在（1）的条件下，，求的取值范围．
22．某中学校园内有块扇形空地，经测量其半径为，圆心角为.学校准备在此扇形空地上修建一所矩形室内篮球场ABCD，初步设计方案如图1所示.
求出初步设计方案中矩形ABCD面积的最大值.
你有没有更好的设计方案来获得更大的篮球场面积？若有在图2画出来，并证明你的结论.
数学答案
选择题：DBBD BBAC 二、多选题：9．BC 10．ABC 11．AB 12．BD
12．【详解】因为
又，且的最小值为，故的最小正周期为，
即，解得，则.
对：图象向右平移可得，故A错误；
对B：因为，又其定义域为，则为奇函数，故B正确；
对C：当，，而在不单调，故C错误；
对D：令，故可得，又，
故当或时，或，故在区间上有两个零点，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：13． 14． 15． 16．
16．【详解】过点作,交于点,交于点连接并延长交于点,作,垂足为,作,垂足为因为，,
所以
因为,
所以.
四、解答题：
17．【答案】(1) (2)
18. 【解析】
(1)，
即；
(2)由（1）得到，
所以
19. 【解析】(1)选①：因为，所以，
因为，所以，所以.
所以.
选②：因为，所以，
所以，因为，所以，，
所以.
选③：因为，所以，
所以，
所以，因为，所以，，
所以.
(2)由（1）知，，因为，，所以；
因为，所以，
又，所以，所以，
所以
，因为，所以.
20．【解析】，
（1）由解析式知：最小正周期.
（2），则，故，
∴在上值域为.
21．【解析】（1）由题意，，
即，又，
所以， ，即.
（2）由正弦定理得，即，，
∴，
即，
在锐角三角形中，由，即，得，
∴ ，∴ ，
∴，故的取值范围为．
22．【解析】
(1)如图所示，取PQ弧的中点E，连接OE，
设交于，交于，显然矩形 关于对称，而分别为，的中点.
设
在 中，，，
所以，
即，而，
故矩形的面积
因为，所以，所以.
故当，即时，取得最大值，此时，
所以矩形面积的最大值为
(2)如图所示，在半径OP上截取线段AB为矩形的一边,作得矩形ABCD.
设，可得，
则
所以
，
因为，可得，
所以当时，即时，有最大值为.
即教室面积的最大值为.
现将两种方案的最大值进行比较大小：
因为, 所以方案2更合算 (
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